随机过程习题详细答案
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1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自
相关函数分别为Rx(τ)和Ry(τ)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：
（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+=
[][]
)
()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++==
：独立的性质和利用
（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +⨯+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++=
仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++=
2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2
的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。
答案： （1）
该系统的系统函数为RCs
s X s Y s H +==
11
)()()( 则频率响应为Ω
+=
ΩjRC j H 11
)(
而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2
)(0
n j P X =
Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2
202
12
/)()()(Ω
+=
ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：
R
C
电压：
电压：
电流：
()⎰⎰
∞
∞-Ω∞
∞
-ΩΩΩ+=
ΩΩ=
d e RC n d e j P R j j Y Y τ
τπ
π
τ22012/21)(21)(
（2） 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输
出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。
均值：已知输入均值m x =0，则输出均值m y =m x H(0)=0
方差：2
)()0(y Y m Y Var R +=
因为均值
为0，所以方差
()⎰∞
∞-ΩΩ+=
=d RC n R Y Var Y 22012
/21
)0()(π
一维PDF ：略
3、 理想带通滤波器的中心频率为fc 、带宽为B ，其在通带的频率增益为1。假定输入是均
值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的平均功率；（3）求输出信号的一维概率密度函数。 答案：类似上一题，仅需注意的是：
(a) 此处滤波器的频率响应为⎩⎨
⎧+≤Ω≤-=Ωotherwise
B f B f j H c c 0
)
2/(2)2/(2,
1)(ππ
(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在0=τ处的值，
即)0(Y R
4、 设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI 系统所得的输出
为y1(t)，x2(t)通过同一个LTI 系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。 答案：就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。
由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。 所以，我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。
设LTI 系统的单位冲激响应为h(t)，则： ⎰
∞
∞
--=
τττd h t x t y )()()(11
⎰∞
∞--=τττd h t x t y )()()(22
所以有：
[][]⎰
⎰⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞
-∞∞-∞
∞-∞
∞-∞∞---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=dv
d v h h v t x t x E dv d v h h v t x t x E dv v h v t x d h t x E t y t y E τττττττττ)()()()()()()()()()()()()()(2
1
212121
再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有：
[][][]0)()()()()()(2
1
21=--=⎰
⎰∞
∞-∞
∞
-dv d v h h v t x E t x E t y t y E τττ，从而完成证
明。
教材：2.8和2.9题 答案略
