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多元统计分析人大何晓群第一章PPT课件

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多元统计分析人大何晓群第一章ppt课件

多元统计分析人大何晓群第一章ppt课件

维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 np矩
阵，其元素是 covX(i,Yj )，即 cX o , Y ) ( v c X i , ( Y j ) o ,i ) v 1 , , n ; ( j 1 , ,p( 1 . 1 ) 若covX(,Y)0，称 X和Y是不相关的。
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标
差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，
推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵
，这1 就是马氏
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
2021/5/24
精选课件PPT
8
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§1.1.2 分布函数与密度函数
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
X
j
X j E(X j)
(var
X
)1/ 2
j
j 1, , p
X
(
X
1
,
X
2
,,Xp)于是(1.12)
E(X) 0
D(X) corr(X) R
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()H x)(h y ()y)
（1.4）
多元统计分析课件 (1)

多元统计分析课件 (1)


的 F 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。
（1）Wilks分布
定义：设 ~ W p ( n1 , ) 和 ~ W p ( n2 , ) ，且 , 相互独立， 和 n1 p ， n2 p ，则称
|| ||
0
服从Wilks分布，记 ~ ( p, n1 , n2 ) 。
2
定理：设 x1,x2, ,xn1 是来自多元正态总体 Np (,) 的简单 随机样本，
x 2 ( x 21 , x 22 , , x 2 p ) x 1 ( x11 , x12 , , x1 p )
…
x n ( x n 1 , x n 2 , , x n p )
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,)
X j Xj nXX 则有 S i 1
1 1、 ~ N p ( , ) n 2、和S相互独立 3、S ~ W p (n 1, )
证明：
设 令 * * 1 n * 1 * * 2 为一正交矩阵 ij nn 1 n n 2 n ) X1 X 2 X n *
2 k
n
a 1

k
na
xa x , x ,, x
(a) 1 (a) 2
(a) na


1 k n (a) x xi n a 1 i 1 1 n (a) a x xi na i 1
a a
W E B
a 1 i 1 k na
(xi
k na
(a)
x)(x(a) i x) x )(x x )
应用多元统计分析01

应用多元统计分析01


• 点击饼图，在Chart Editor中，可对图 做细微改进。 • 在Elements中选Show Data Lables, 在跳 出的Properties新窗口, 将percent 和 “语种”选入Displayed， • 再在TextStyle 中的Font中选 FangSong_GB2312或FangSong等汉字 体
数据的描述
Descriptive Statistics 描述统计 -用表格、图形和数值对数据进行 直观的描述
广告投入和销售额之间的关系
例 1.1（数据ads.sav，ads.txt）显示了某企业 的广告投入和销售额之间的关系（万元）。
散点图
定量变量的图表示- 直方图、盒 形图、茎叶图和散点图
•
多变量的图表示：脸谱图
• 由美国统计学家Herman Chernoff（也称 为Chernoff图）提出。 将观测的p（1518）个变量分别用脸的某一部位的形状 和大小来表示 。 一个样品/观测可以画 成一张脸。 • 如果左右脸不对称，可以画36个变量。 • 15个变量- 1脸的范围；2脸的形状； 3鼻子的长度；4 嘴的位置；5 笑容曲线； 6 嘴的宽度；7-11眼睛的位置、分开程度、 角度、形状和宽度；13-15眼眉的位置、 角度和宽度。
R软件library(“aplpack”)中faces var1= "height of face", var2 = "width of face ", var3= "structure of face", var4 = "height of mouth ", var5 = "width of mouth", var6 = "smiling ", var7 = "height of eyes ", var8 = "width of eyes ", var9 = "height of hair ", var10 = "width of hair ", var11 = "style of hair ", var12 = "height of nose ", var13 = "width of nose ", var14 = "width of ear ", var15 = "height of ear "
《多元统计分析》课件

《多元统计分析》课件


采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析

多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析

多元统计分析
——基于R语言
中国人民大学：何晓群
苏州大学：马学俊
03
聚类分析
➢学习目标：
1.了解适合用聚类分析解决的问题;
2.理解对象之间的相似性是如何测量的;
3.区别不同的距离;
4.区分不同的聚类方法及其相应的应用;
5.理解如何选择类的个数;
6.简述聚类分析的局限。
3.1 聚类分析的基本思想
3.1.1 目的
的关系越密切; 的绝对值越接近0,表示指标和指标的关系越疏远。对于间隔尺度,常用的
相似系数有夹角余弦和相关系数。
(1)夹角余弦：指标向量 1 , 2 , … , 和 1 , 2 , … , 之间的夹角余弦
ij 1 =
间隔尺度定义
σ=1
+ )个样品,它们的重心用ത , ത , ത 表示,则
1
ത = ( ത + ത )

某一类 的中心为ത ,它与新类 的距离为2 (, ) = (ത − ത )’ (ത −ത ),经证明重心法的递推
公式为:






聚类分析不仅可以用来对样品进行分类,而且可以用来对变量进行分类。对样品的分类
常称为型聚类分析,对变量的分类常称为型聚类分析。与多元分析的其他方法相比,
聚类分析的方法还是比较粗糙的,理论上也不算完善,但由于它能解决许多实际问题,所
以很受实际研究者重视,同回归分析、判别分析一起称为多元分析的三大方法。
和ഥ
间距离。
(5)离差平方和法： = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ， = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ,
′
+ = σ∈ ⊔ ( −)ҧ ( − ),
第一讲绪论

第一讲绪论

5
基础知识

统计学 线性代数 计算机
6
多元统计分析及其发展


多元统计分析是统计学中一个非常重要的分支， 研究客观事物中多个随机变量（或多个因素） 之间相互依赖关系及内在统计规律性的学科。 它的重要基础之一是多元正态分析。又称多元 分析 。 如果每个个Байду номын сангаас有多个观测数据，或者 从数学上说， 如果个体的观测数据能表为 P维 欧几里得空间的点，那么这样的数据叫做多元 数据，而分析多元数据的统计方法就叫做多元 统计分析 。

第一、数据结构简化或数据压缩。 第二、分类和组合。 第三、变量间的关系。 第四、预测。 第五、假设的构建与检验。 第六、信息的提取。
15
一元统计与多元统计简单比较
主要内容 随机变量 统计分布 参数估计 假设检验 一元 一维随机变量 一元分布 似然估计、最小二乘估 计、矩估计
U检验、t检验、F检验 卡方检验
8
多元统计的应用






在工业、农业、经济、生物和医学等领域得到广 泛应用 个人信用评估/企业税务稽查 红学研究 石油勘探 抽血检验 体育运动(linden于1977年对八项奥林匹克运动会 十项全能成绩运用多元方法，确定了四个基本体 力因子：短跑速度、臂力、长跑耐力、腿力。) 教育心理学中的心理测量
统计前沿——国外期刊
• • • • •
Journal of Business & Economic Statistics （商业经济统计） Journal of Computational & Graphical Statistics （计算绘图统计） The Canadian Journal of Statistics （加拿大统计学杂志） Review of Economics and Statistics （经济统计评论） Probability and Statistics （概率与统计）
多元统计分析(第一章)PPT课件

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第七章 对应分析
第八章 典型相关分析 两组变量的相关分析
使用的教材
21世纪统计学系列教材
多元统计分析
(中国人民大学出版社,何晓群,2012.1)
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，
xx 1
min xAx x0
xx p
(2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，
《静静地顿河》，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写， 而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫)
静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有 全局意义的数字计算”。（陈希孺）
(3)若A为p阶对称矩阵，则存在正交矩阵T及对角矩阵 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp)，使得 A=TΛT′
二、矩阵的迹
设A为p阶方阵，则它的对角线元素之和称为A的迹， 记作tr(A)，即
tr(A)=a11+a22+⋯+app 方阵的迹具有下述基本性质：
➢ (1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab′)=b′a。
2、统计学是收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。
3、一堆数字，就像一对沙子，谁喜欢？但是，一旦你发现了这 一堆数字中隐藏的奥秘，你就会喜欢这对数据了，在你眼里， 就是一堆沙子变成了一堆财富。统计学，就是帮你把一堆沙子 变成财富的方法。即吕洞宾那根“点石成金”的手指。
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-因子分析

多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-因子分析


6.2 因子载荷的求解
6.2.3 极大似然法
假定公共因子F和特殊因子ε服从正态分布,则能够得到因子载荷和特殊
因子方差的极大似然估计。设, , … , 为来自正态总体(, )的随
极
大
似
然
法
机样本,其中Σ=AA'+Σε。 从似然函数的理论知:
(, )=

()/ ||/
6.2.1 主成分法
由主成分法很容易得出由Y到X的转换Hale Waihona Puke 系为:主成分
法
1 = 11 1 + 12 2 + ⋯ + 1
2 = 21 1 + 22 2 + ⋯ + 2
⋮
3 = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
对上面每一等式只保留前m个主成分而把后面的部分用代替，
式中,为标准化后的第i门科目的考试成绩,均值为0,方差为1;, , … , 是彼此独立的
公共因子,都满足均值为0,方差为1;为特殊因子,与每一个公共因子均不相关且均值为
0; ,,…,为对第i门科目考试成绩的因子载荷。对该模型,有
() = + + ⋯ + + () =
独立这个限制,因而可能达到更为简洁的形式,其实际意义也更容易解释。
6.2 因子载荷的求解
6.2.5 因子得分
在因子模型中,公共因子的个数少于原始变量的个数,且公共因子是不可观测的隐变量,
载荷矩阵A不可逆,因而不能直接求得公共因子用原始变量表示的精确线性组合。解
决该问题的一种方法是建立如下以公共因子为因变量、原始变量为自变量的回归方
6.2 因子载荷的求解
多元统计分析讲义(第一章)

多元统计分析讲义(第一章)

Equation Chapter 1 Section 1 Array《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院许启发（******************）统计学院应用统计学教研室School of Statistics2004年9月第一章绪论【教学目的】1．让学生了解什么是多元统计分析？它的发展与现状；2．让学生了解多元统计分析的主要范畴、功能；3．回顾相关的矩阵理论和多元正态分布理论；4．阐述多元数据的表示方法。

【教学重点】1．从一元到多元的过度；2．多元正态理论及其相关命题。

§1 引言一、什么是多元统计分析在实践中，常会碰到需要同时观测若干指标的问题。

例如衡量一个地区的经济发展水平：总产值、利润、效益、劳动生产率等；在医学诊断中，有病还是无病，需做多项检测：血压、体温、心跳、白血球等①。

提出问题：如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和处理？有两种做法：分开研究；同时研究。

但前者会损失一定的信息量。

多元统计分析就是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门学科，利用其中的不同方法可对研究对象进行分类和简化。

二、多元统计分析的产生和发展1．1928年Wishert发表论文《多元正态总体样本协方差阵的精确分布》，是多元统计分析的开端；2．20世纪30年代，Fisher, Hotelling, 许宝碌等奠定了多元统计分析的理论基础；3．20世纪40年代，在心理学、教育学、生物学等方面有不少应用，但由于计算量大，发展受到限制；4．20世纪50年代中期，随着计算机的出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学和社会学方面得到广泛应用；5．20世纪60年代，通过应用和实践又完善和发展了理论，使得它的应用范围更广；6．20世纪70年代初期，才在我国受到各个领域的极大关注，近30多年在理论上和应用上都取得了若干新进展。

三、多元统计分析的主要范畴（研究内容）在对社会、经济、技术系统的认识过程中，都需要收集和分析大量表现系统特征和运行状态的数据信息。

应用多元统计分析-第一章 总论

应用多元统计分析-第一章 总论




经济学上的应用 ：如不同地区的经济发展水平比较， 综合的经济效益评价等 医学上的应用 ：如研究某种病的起因，研究某种新 药或某种医疗方法的治疗效果，利用计算机初步诊 断病情等。 体育科学的研究：如对运动员的心理研究、体能研 究等。 另外在生态学、地质学、社会学、考古学、生物学、 军事科学等等领域，多元统计都得到了广泛的应用。

请将下表数据以变量形式输入SPSS中，并能以该表 的形式输出，以文件保存。
观点：赞成
低收 入 中等收入 高收入
观点：不赞成
低收入 中等收入 高收 入
男
女
20 25
10 15
5 7
5 2
8 7
10 9

如何同时对多个变量进行有效的分析和研究？ 一种做法是把多个变量分开分析，一次仅分析一个 变量，最多也就是研究两个变量之间的关系，这就 是我们已经在统计学中学过的一元统计分析； 另一种做法是对这些所要研究的变量同时进行分析 研究，即多元统计分析。


多元统计分析是研究多个变量之间关系以及内在的 统计规律的一门统计学科。 利用多元统计分析的方法不仅可以对多个变量之间 的相互依赖关系以及内在的统计规律进行分析，而 且还可以对研究对象进行分类和简化。

现有统计系某年级三个班（经分、调预、电统）的 学生（部分）在某学期完成的课程学习成绩资料 （见下表）。其中三个班级相同的课程有六门：经 济统计、管理统计、调查理论与方法、银行信用学、 统计预测和计量经济学。请将这三个班学生的学号、 班级、性别以及六门课程的成绩输入到SPSS中，并 保存（自己可现编几个数据）。Fra bibliotek
复旦大学李贤平教授与它的学生对《红楼梦》进 行了多元统计分析。 把《红楼梦》的120回，作为120个样本，以虚词 做为变量，计算在每一回中（样本）变量（虚词） 出现的次数，然后用聚类的方法进行分类。 结论：120回分为两类 前80回为一类—进一步与曹雪琴著作 相比分析，答案是肯定的。 后40回为一类—进一步分析，证实不是 高鹗一人所写。
多元统计分析(人大何晓群)绪论PPT课件

多元统计分析(人大何晓群)绪论PPT课件

17
考试
期中（20%） 期末（闭卷）（60%） 平时（20%）
上课+作业 注：作业大部分为上机作业，没有上机课，
但课堂上会演示。
18
2024/10/30
、宽等特征来 判别是男或女，根据挖掘出来的动物牙 齿的有关测试指标，判别它属于哪一类 动物、是哪一个时代的。
环境保护
研究多种污染气体的浓度与污染源的排 放和气象因子（风向、风速、温度、湿 度）等之间的相互关系。
14
军事科学 研究某飞机洞库可燃性气体变化的规律以 及对气体浓度的预测。
生态学 对1000个类似的鱼类样本，如何根据测量的特 征如体重、身长、鳍数、鳍长、头宽等，将这 些鱼分成几个不同品种？
12
地质学 在地质勘探中，如何根据岩石样本的多种特征 来判别地层的地址年代，是有矿还是无矿，是 铜矿还是铁矿等？
社会学 调查青年对婚姻家庭的态度、对文化和职业的 要求、对经济收入的态度、对老人的责任、对 相貌的重视等等作主要因素分析以便进行正确 的引导
3
如何同时对多个随机变量的观测数据进 行有效的分析和研究？
做法1：把多个随机变量分开分析（避免 不了变量之间的相关性，会丢失信息， 也不容易取得好的研究结果）。
做法2：同时进行分析研究（采用多元统 计分析方法，通过对多个随机变量观测 数据的分析，来研究变量之间的相互关 系以及揭示这些变量内在的变化规律。 4
某一产品用两种不同的原料生产，产品 的寿命有无显著差异？某商业行业今年 和去年的经营状况有无显著差异？（多 元正态的假设检验）
8
其他领域的应用
工业 企业经济效益的评价？ 服装企业如何确定适应大多数顾客的服装的主 要指标以及分类的型号？
农业 如何按照城乡居民消费水平，对我国30个省市 自治区进行分类？ 如何根据全国各地区农民生活消费支出情况研 究农民消费结构的趋势？

多元统计分析知识点多元统计分析课件

多元统计分析（1）题目:多兀统计分析知识点研究生___________________________ 专业____________________________ 指导教师________________________完成日期2013年12月目录第一章绪论 (1)§.1什么是多元统计分析 (1)§.2多元统计分析能解决哪些实际问题 (2)§.3主要内容安排 (2)第二章多元正态分布 (2)弦.1基本概念 (2)弦.2多元正态分布的定义及基本性质 (8)1. （多元正态分布）定义 (9)2•多元正态变量的基本性质 (10)§2.3多元正态分布的参数估计X =（X1,X2^|,X p） (11)1•多元样本的概念及表示法 (12)2. 多元样本的数值特征 (12)3」和a 的最大似然估计及基本性质 (15)4.Wishart 分布 (17)第五章聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 (18)§5.2距离和相似系数 (19)1 • Q—型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)2. .......................................................................................................................................... R型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)§5.3八种系统聚类方法 (26)1. 最短距离法 (27)2. 最长距离法 (30)3. 中间距离法 (32)4. 重心法 (35)5. 类平均法 (37)6. 可变类平均法 (38)7. 可变法 (38)8. 离差平方和法（Word方法） (38)第六章判别分析 (39)§5.1什么是判别分析 (39)§5.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2•多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1•不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2•多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1•基本思想 (58)2•多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1. 基本思想 (61)2•引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3. .......................................................................................................................................... Bartlett 近似公式 (63)第一章绪论§ 1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。

多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-主成分分析


5.2 总体主成分及其性质
5.2.4 由相关阵求主成分时主成分性质的简单形式
我们将由相关阵得到的主成分的性质总结如下:
(1) 的协方差矩阵为对角阵;
(2)
性质
σ
= ()
= () = () = =

σ= () ;
(3) 第个主成分的方差占总方差的比例,即第个主成分的方差贡献率
④各主成分之间互不相关
5.1 主成分分析的基本原理
5.1.2 主成分分析的基本理论
设对某一事物的研究涉及p个指标,分别用, , … , 表示,这p个指标构成的p维随机向量为
= (, , … , )′。设随机向量X的均值为μ,协方差矩阵为Σ
对进行线性变换,可以形成新的综合变量,用表示,也就是说,新的综合变量可以由
(1) = ′,即为阶正交阵;
(2)的分量之间互不相关,即() = (, , … , );
(3)的个分量按方差由大到小排列,即 ≥ ≥ ⋯ ≥
5.2 总体主成分及其性质
5.2.2 主成分的性质
定义5.1
称 =

+ +⋯+
σ
= ，
′
′
≠
=
5.2 总体主成分及其性质
5.2.1 从协方差矩阵出发求解主成分
设随机向量 = (, , … , )′的协方差矩阵为, , , … , ( ≥ ≥ ⋯ ≥ )
为的特征根, , , … , 为矩阵Σ各特征根对应的标准正交特征向量,则第个主成
=1
性质5


=1
=1
1
2
2
෍ , =
෍ = 1

5.2 总体主成分及其性质

多元统计分析ppt课件


dij xik x jk
k 1
❖ 当各变量的单位不同或测量值范围相差很大时，应
先对各变量的数据作标准化处理。最常用的标准化
处理是，令
xi*j
xij
xj s jj
,
i 1, 2,
, n,
j 1, 2,
,p
变其量中的xj样 本1n i均n1 x值ij 和和样s jj 本 n方1差1 i。n1 xij xj
则可求得第一主成分为
y1 t11x1 t21x2 t p1xp t1x
它的方差具有最大值 1 。
❖ 如果第一主成分所含信息不够多，还不足以代表原 始的 p 个变量，则需考虑再使用一个综合变
量 y2 a2x ，为使 y2所含的信息与y1 不重叠，应要求
Cov y1, y2 0
我们在此条件和约束条件 a2a2 1 下寻求向量a2 ，使
❖ 主成分分析的目的就是为了减少变量的个数，因而 一般是不会使用所有 p个主成分的，忽略一些带有
较小方差的主成分将不会给总方差带来大的影响。
❖ 前 m个主成分的贡献率之和
称为主成分 y1, y2,
m
p
i i
i 1
i 1
, ym 的累计贡献率，它表明
y1, y2, , ym解释 x1, x2, , xp的能力。
动态聚类法
❖ 动态聚类法的基本思想是，选择一批凝聚点或给出 一个初始的分类，让样品按某种原则向凝聚点凝聚， 对凝聚点进行不断的修改或迭代，直至分类比较合 理或迭代稳定为止。类的个数k可以事先指定，也可 以在聚类过程中确定。选择初始凝聚点(或给出初始 分类)的一种简单方法是采用随机抽选(或随机分割) 样品的方法。
最短距离法
❖ 定义类与类之间的距离为两类最近样品间的距离， 即
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x22
…
x2 p
n
x n1
xn2
…
x np
2020/4/15
.
7
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 L
XxM 21
x22 L M
xn1 xn2 L
x1p
M x2p(x1,x2,L
x(/1)
,xp)xM (/2)
xnp
x(/n)
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布；
• 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/4/15
.
3
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密度 f 并称 X为连续型随机向量。
一个p维变量的函数f(·)能作为R P 中某个随机向
量的分布密度，当且仅当
(i) f(x)0 xRp
(ii) f(x)dx1 Rp
2020/4/15
.
10
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X和 Y称为是相互独立的，若
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§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
CO(VX2,X1) D(X2)
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.1 随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E ( X1 ) 1
E ( X )p E (
E (
X2 ) XP )
2
P
μ
是一个p维向量，称为均值向量.
1.6
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
( 2 )E (A) X A (X B ) E B
CO(VX2,XP)
CO(VXP,X1) CO(VXP,X2) D(X P)
(ij)
(1.9)
称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X的协
方差阵。称cov(X, X)为 X的广义方差，它是协差阵的行
列式之值。
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（1.4）
若 (X , Y)有密度 f (x,y)，用g(x)和h(y)分别表示 X和 Y
的分布密度，则 X和 Y 独立当且仅当 (1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y的维数一般是不同的。
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X1,X2,L,Xp)有P个分量。若 E(Xi)i (i1,2,L p)
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X , Y)的联合分布函
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()x H )(h y ()y)
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2,,Xp常 用向量
X(X1,X2,,Xp)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
个样本。
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§1.1.1 随机向量
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2,L ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2,L,xp) 称为随机向量。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
定义1.2 设 X(x1,x2,L,xp)是以随机向量，它的多元分布
函数是
F ( X ) F ( x 1 , x 2 , , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p ) 1 . 1
式中：
x (x 1 ,x 2 ,L ,x p ) R P ， 并 记 为 X :F 。
பைடு நூலகம்多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念 §1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5 常用分布及抽样分布
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第一章 多元正态分布
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2,,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
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横看表1-1，记 X ()(x1,x2,,xp)'， 1,2,n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j(x1j,x2j, ,xn)j ', j 1,2,p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1
j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21