第6章 解线性方程组的迭代法1

数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，则方程组有唯一解。

把这种方程中的方阵A分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C是非奇异的，把A它代入方程Ax=b中，得出 (C-D)x=b，两边左乘C-1，并令 M=C-1D，g= C-1b，移项可将方程Ax=b变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式： xk+1=Mx k+g，M=C-1D称为迭代矩阵。

《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi）迭代法如果方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成： A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k + D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k=[( x k) 1,( x k) 2, …,(x k) n]T, k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。

数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 非奇异，则方程组有唯一解。

把这种方程中的方阵A 分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C 是非奇异的，把A 它代入方程Ax=b 中，得出(C-D)x=b ，两边左乘C -1，并令M=C -1D ，g= C -1b ，移项可将方程Ax=b 变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式：xk+1=Mx k +g ，M=C -1D 称为迭代矩阵。

《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi ）迭代法如果方程组Ax=b 的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成：A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k+ D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k =[( x k ) 1,( x k ) 2, …,(x k ) n ]T , k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB》《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。

,

BG

=
3 ab 100
故高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件是 ab < 100。 3
5、对线性方程组13
2 2


x1 x2

=

3 -1
若用迭代法x(k+1)
=x(k)
+
Ax(k) -b ,
k=0,1L 求解。问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可
第6章 解线性方程组的迭代解法
5x1+2x2 +x3=-12 1、对方程组 -x1+4x2 +2x3=20，试判断雅克比迭代法，
2x1-3x2 +10x3=3
高斯 — 赛德尔迭代法解此方程组的敛散性。
5 2 1
解:因A=

-1
4
2 ，
2 -3 10
5>2+1=3 , 4>1+2=3,10>2+3=5,
使迭代收敛最快？
解：所给迭代公式的迭代矩阵为B=I+ A=
1+3


其特征方程为
I -B
=
-（1+3） -
-2 -（1+2）=0
2
1+2

即2 -（2+5）+4 2 +5 +1= 2 -（2+5）+ +14 +1 = - +1 -4 +1 =0
-a

0
0
-a 10
0


解：雅可比法的迭代矩阵BJ
=

x1(0)
x1(1)
x1(k)
x(0) x2(0) , x(1) x2(1) , , x(k) x2(k ) ,
x3(0)
x3(1)
x 3( k
)
迭代到第10次有 x(10) (3.000032,1.999838,0.9998813)T ;
x* (3, 2, 1)T
A.
2020/6/18
第6章 解线性方程组的迭代法
4
例1 设有矩阵序列
A
0
1
,
A2
2
0
且设 ，1 考查其极限.
2 2
,
,
Ak
k
0
k
k1 k
,
解 由于，当 时1，有 lim k 0. k
所以
lim
k
Ak
lim Ak k
0 0
0 0
.
2020/6/18
第6章 解线性方程组的迭代法
5
定理 1 lim x(k) x* lim x(k) x * 0,
第6章 解线性方程组的迭代法
6
6.1.2 迭代法的基本概念
Ax b, 为非奇A异矩阵 当 A为低阶稠密矩阵时，选主元消去法是有效方法.
WHY
迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组。 迭代法通常都可利用 中A有大量零元素的特点.
WHAT
构造迭代格式产生迭代序列 由迭代序列来逼近原方程组的解
x(0) (初始向量)，
6.1.1 向量序列与矩阵序列的极限
定义2 设有向量序列 {x(k)} Rn , x(k) (x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T Rn ,
如果存在 x (x1 , x2 , ,，xn )使T Rn