四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试文数试题及答案(超清word版)

四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试文数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{ 2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：22<x，命题q ：12<x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位7.三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（ ） A ．38 B ．611 C ．311 D ．358.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免标价的30元； 优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元9.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos = C ．αβ2cos 22cos = D ．02cos 22cos =+αβ10.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=4a （ ）A ．2B ．1C ．161D ．32111.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．112.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数41)(2+-+=b x a x x f (b a ,是正实数)只有一个零点，则ab 的最大值为 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]21,21[-上的最大值与最小值.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=，（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若12log +=n n a b ，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T .19.已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅. （1）求A 2tan 的值； （2）若53cos =C ，且2||=-AB AC ，求ABC ∆的面积S .20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）若k x f >)(对任意的),0(π∈x 恒成立，求实数k 的取值范围；（2）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论.（参考数据：4.12≈，4.26≈）21.已知函数1ln )(2-+=x x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试文科数学参考答案 一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、A7、D8、B9、C 10、A 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、13 15、11616、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题 17、试题解析：(1)由图得：2=A ． 由213165424=-==ωπT ，解得πω=．………………3分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ，又2πϕ<，可得6πϕ=，∴)6sin(2)(ππ+=x x f ．………………………………6分(2) ∵]2121[，-∈x ，∴]323[6ππππ，-∈+x ，∴3-≤)6sin(2ππ+x ≤2，即)(x f 的最大值是2，最小值是3-．………12分考点：求三角函数解析式，三角函数性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18、试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分 由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2）， ∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分 (2) n a b n n n ===+2log log 212， ∴111)1(111+-=+=+n n n n b b n n ， ∴1111)111()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-=n nn n n T n ．……12分考点：由和项求通项，裂项相消求和19、【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积及三角形面积公式得1cos sin 2bc A bc A =，即tanA=2,再根据二倍角正切公式得22tan 4tan 21tan 3A A A ==--（2）由向量减法得2AC AB BC a -===，这样结合（1）就已知两角一边，利用正弦定理可求另一边，最后根据面积公式求三角形面积试题解析：(1) 由已知AB AC S ⋅=有1cos sin 2bc A bc A =，可得tanA=2, …………2分∴22tan 4tan 21tan 3A A A ==--．……………………………………………………4分考点：向量数量积及三角形面积公式，二倍角公式20、【答案】（1）1-<k （2）有且只有1个零点（2）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='， ∴0)()20(>'∈x f x ，，π，0)()2(<'∈x f x ，，ππ，即)(x f 在)20(π，递增，在)2(ππ，递减，故{})()0(min )(min πf f x f ，=．又1cos )(1)0(-===ππf f ，，(2)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ， ∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数．………8分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，……10分 ∵75.04263)43sin(312sin 31211sin 33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos ≈+-=--=-=<ππππ， ∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上有且只有1个零点．…………12分考点：函数零点，利用导数研究不等式恒成立21、【答案】（1）增函数（2）3m e≥ 试题解析：(1) 因为函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，又xx x x x f 1221)(2+=+='， ∵x>0，2x2+1>0，∴0)(>'x f ，)(x f 在定义域)0(∞+，上是增函数． ………………………3分 (2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3．①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x xme x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）415试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+，整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间，∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集（2）将方程转化为对应函数11+--+=x x x a ，再根据绝对值定义将其转化为分段函数21111121x x a x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，，，，，，最后结合分段函数图像确定实数a 的取值范围.试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分考点：绝对值定义。