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人教A版(2019)必修第一册3.2.1 单调性与最大(小)值 学案

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【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A 版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值. 难点：根据定义证明函数单调性．一、 预习导入阅读课本76-80页，填写。

1．增函数、减函数的定义征图示2、单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D 叫做y ＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( ) (3)任何函数都有最大值或最小值．( ) (4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]，[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]3．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________．题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x .跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x在区间(0,1)内为减函数.跟踪训练三 1.求证：函数f(x)＝21x 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值 例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值. 跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x ∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五 函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f 34⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小. 跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t 的取值范围. 题型六 单调性最值的实际应用例6 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为h （t ）=-4.9t 2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？ 跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。

5.f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是____________．6.证明函数f(x)=-√x在定义域上为减函数.7.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？答案小试牛刀1．（1）×（2）×（3）×（4）√2-4．CC B3．1 1 2自主探究例1【答案】见解析【解析】(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R 上是增函数. (2)函数y=- 1x的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数. 跟踪训练一【答案】单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2] 【解析】f(x)=x|x-2|={x(x −2),x ≥2,x(2−x),x <2,图象如下图所示.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]. 例2 【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2] 【解析】y=-|x-1|+2={3−x,x ≥1,x +1,x <1,函数图象如图所示由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]跟踪训练二【答案】(1)见解析 （2）最小值为f(1)=1,无最大值 【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 例3【答案】见解析【解析】证明:设x 1,x 2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)(1-1x 1x 2) =(x 1-x 2)(x 1x 2-1)x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 1x 2>0,x 1x 2-1<0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).故函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三【答案】见解析【解析】 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，有f(x 1) －f(x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x 22. ∵x 1＜x 2＜0，∴x 2－x 1＞0，x 1＋x 2＜0，x 21x 22＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x)＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，有 f (x 1)－f(x 2)＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x22.∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21x 22＞0. ∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴函数f(x)＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数．例4 【答案】见解析【解析】(1)设x 1,x 2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时,x 1x 2>0,1<x 1x 2<4, 即x 1x 2-4<0.∴f (x 1)>f (x 2),即f (x )在区间[1,2]上是减函数.(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2),f (2)=2+ =4;f (x )的最大值为f (1).∵f (1)=1+4=5,∴f (x )的最小值为4,最大值为5.跟踪训练四 【答案】见解析则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2+4x 1−4x 2=(x 1-x 2)(1-4x 1x 2)=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2.【解析】设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[x 2－1－x 1－1]x 1－1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1.由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，于是f(x 1)－f(x 2) ＞0，即f(x 1)＞f(x 2)． 所以函数f(x)＝2x －1是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4. 例5【答案】f (34)≥f(a 2-a+1).【解析】∵a 2-a+1=(a −12)2+34≥34,∴34与a 2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, ∴f (34)≥f(a 2-a+1).跟踪训练五【答案】t 的取值范围为(14,1].【解析】∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),∴{-2≤t≤2,-2≤1-3t≤2,t >1−3t,即{-2≤t≤2,-13≤t ≤1,t >14,∴14<t ≤1.∴t 的取值范围为(14,1].例6【答案】t 的取值范围为(14,1].【解析】画出函数h （t ）=-4.92x +14.7t+18的图象（图3.2-4）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。

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3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册


A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

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四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析3．2函数的基本性质3．2。

1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性［目标］1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2。

会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点］函数单调性定义的理解及函数单调性的证明．知识点一增函数与减函数的定义［填一填］一般地，设函数f（x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1，x2∈D，当x1〈x2时，都有f(x1）〈f(x2），那么就称函数f(x）在区间D上单调递增．特别地,当函数f（x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1）〉f（x2）,那么就称函数f(x）在区间D上单调递减．特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．[答一答］1．在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D"改为“∃x1,x2∈D”？提示:不能，如图所示：虽然f(－1）〈f（2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f（x）定义域某一个子区间M上的两个变量,如果f(x)满足以下条件，该函数f（x）是否为增函数?(1）对任意x1〈x2，都有f（x1)<f（x2)；（2）对任意x1，x2，都有［f（x1）－f(x2）]（x1－x2）〉0;（3）对任意x1、x2都有错误!>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题?提示：减函数（x1,x2∈M)⇔任意x1<x2,都有f(x1）>f（x2）⇔错误! <0⇔［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0.知识点二函数的单调性与单调区间［填一填］如果函数y＝f(x）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．［答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f（x）＝错误!的单调减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）吗？提示:不是．例如:取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f （1）＝1，f(x2）＝f(－1）＝－1，故有f(x1)〉f（x2)．这样与函数f(x）＝错误!在(－∞，0)∪（0,＋∞）上单调递减矛盾．事实上，f（x)＝错误!的单调减区间应为（－∞，0）和(0,＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填］1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）,当k〉0时,函数y ＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若a>0,则该函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．若a<0，则该函数在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝错误!（k≠0)．若k〉0，则函数y＝错误!在(－∞，0）上是减函数，在(0，＋∞）上也是减函数;若k 〈0,则函数y＝错误!在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示:函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1］证明:函数y＝x＋错误!在（0,3]上递减．[证明]设0<x1<x2≤3，则有y1－y2＝错误!－错误!＝(x1－x2）－错误!＝（x1－x2)错误!。

3.2.1单调性与最大(小)值第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册同步讲义

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第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大（小）值第1课时单调性的概念及证明【课程标准】1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．2．掌握定义法证明函数单调性的步骤．3．掌握函数单调区间的写法.【知识要点归纳】1、增函数与减函数的定义（1）如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.此时称函数在区间上具有单调性.（2）单调性是函数的局部性质 （3）任意性（4）单调区间的写法：最好写成开区间 （5）多个单调区间用和连接（6）等价变形：增函数，x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.减函数，x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.2.判断函数单调性的方法 （1）定义法（2）图象法：图象法判断函数单调性也就是看函数的图象从左到右是上升还是下降总结：基本初等函数的单调区间如下表所示：【经典例题】()()()()()()()()21+3121,324(1]24(1)1f x x R f x x xf x x x xy x +∞∞∞+例1用定义证明函数的单调性函数＝2在上单调递增函数＝＋在上是减函数．函数＝＋在－，－上是减函数．函数＝在－，＋上为增函数．例2 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.例3求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥15－x，x<1；例4 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．[跟踪训练] 函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解． (3)要注意：“函数f (x )的增区间是(a ，b )”与“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a ，b )是函数f (x )的增区间的一个子集． 例5 (1)f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )(2)如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠3(3)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围为________．[函数值不等式](4)()[)1+f x x a a =-∞若函数在区间，为增函数，则的取值范围_________ [跟踪训练] 4 已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是减函数，且f (1－m )＞f (m )，求实数m 的取值范围．()()314,1,1111111,0,,,,833883a x a x f x R a ax x -+<⎧=⎨-≥⎩⎡⎫⎛⎫⎡⎫⎛⎤⎡⎫+∞-∞+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎢⎥⎢⎣⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦⎣⎭(5)若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3fx x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()f x x =-2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．3x y -=B ．y =C ．0.5log y x =D ．3y x=3．已知函数()f x 是定义在[0，)+∞上的减函数，则当1(21)()3f a f ->时，实数a 的取值范围为( )A ．2(,)3+∞B ．2(,)3-∞C ．12[,)23D ．11(,)234．当0x >时，2()f x x x=+，则()f x 的单调递减区间是( ) A ．(2,)+∞ B ．)+∞C ．D ．(0,2)二．填空题（共2小题）5．已知函数21y x ax =-++在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．6．函数()|2|f x x =+的单调递增区间是 ． 三．解答题（共1小题） 7．已知函数23()1x f x x -=+． （1）判断函数在区间[1，)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()f x x =-【分析】对选项逐一分析函数在(0,)+∞上的单调性，由此选出正确选项． 【解答】解：对于A 选项，()3f x x =-在(0,)+∞上递减，不符合题意．对于B 选项，2()3f x x x =-在3(0,)2上递减，在3(,)2+∞上递增，不符合题意．对于C 选项，1()f x x=-在(0,)+∞上为增函数符合题意． 对于D 选项，()f x x =-在(0,)+∞上递减，不符合题意． 故选：C ．【点评】本题主要考查常见的函数单调性的基本判断，能利用常见结论进行初步的判断，考查单调性的定义，属于简单题．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( )A ．3x y -=B ．y =C ．0.5log y x =D ．3y x=【分析】结合基本初等函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：13()3x x y -==在区间(0,)+∞上单调递减，y =(0,)+∞上单调递增，0.5log y x =在区间(0,)+∞上单调递减，3y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3．已知函数()f x 是定义在[0，)+∞上的减函数，则当1(21)()3f a f ->时，实数a 的取值范围为( )A ．2(,)3+∞B ．2(,)3-∞C ．12[,)23D ．11(,)23【分析】根据题意可建立两个不等式 然后解不等式组即可求解．【解答】解：由题意可得：2101213a a -⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得1223a <， 所以a 的取值范围为12[,)23，故选：C ．【点评】本题考查了函数在已知区间上解不等式问题，涉及到函数的单调性，属于基础题． 4．当0x >时，2()f x x x=+，则()f x 的单调递减区间是( ) A ．(2,)+∞B ．)+∞C．D ．(0,2)【分析】根据对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：根据对勾函数单调性，()fx 在上单调递减，故选：C ．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，结合对勾函数的单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．二．填空题（共2小题）5．已知函数21y x ax =-++在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是 [4，)+∞ ． 【分析】根据题意，求出函数的对称轴，若函数21y x ax =-++在区间[1，2]上是增函数，则22a，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数21y x ax =-++为二次函数，对称轴为2a x =， 若函数21y x ax =-++在区间[1，2]上是增函数，则22a，解可得4a ； 即实数a 的取值范围为[4，)+∞； 故答案为：[4，)+∞．【点评】本题考查二次函数的单调性的判断，注意分析函数的对称轴，属于基础题． 6．函数()|2|f x x =+的单调递增区间是 [2-，)+∞ ．【分析】去绝对值号得到22()22x x f x x x +-⎧=⎨--<-⎩，根据一次函数的单调性便可看出()f x 的单调递增区间为[2-，)+∞．【解答】解：22()|2|22x x f x x x x +-⎧=+=⎨--<-⎩；2x ∴-时，()2f x x =+单调递增；()f x ∴的单调递增区间为[2-，)+∞．故答案为：[2-，)+∞．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性，分段函数的单调性．三．解答题（共1小题） 7．已知函数23()1x f x x -=+．（1）判断函数在区间[1，)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值． 【分析】（1）直接用函数单调性的定义证明即可；（2）由（1）易得函数在[1，4]上的单调性，从而得到最值． 【解答】（1）证明：函数()f x 在[1，)+∞上是增函数． 证明如下：任取1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，12122112121212122323(23)(1)(23)(1)5()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x ---+--+--=-==++++++， 120x x -<，12(1)(1)0x x ++>，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 在[1，)+∞上是增函数．（2）解：由（1）知函数()f x 在[1，4]上是增函数，最大值f （4）1=，最小值f （1）12=-．【点评】本题考查函数单调性的定义．利用函数单调性求最值，属于基础题．。