2.4.1抛物线及其标准方程说课稿

2.4.1 抛物线及其标准方程教学内容抛物线及其标准方程三维目标【知识与技能】1．理解抛物线的定义。

明确焦点、准线的概念2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0>e）的动点的轨迹”。

其中当()1,0∈e时是椭圆，当()+∞∈,1e时是双曲线。

那么，当1=e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．实验观察、实现构建探究1 点F与直线l的位置关系（1）点F在直线l上（引导学生求出动点的轨迹）点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。

（2）点F不在直线l上用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？FlFHMl· oF y x lK (学生会猜想到轨迹是抛物线)3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。

）4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。

2.4.1抛物线的标准方程教学目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．教学难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．教学过程问题导思1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【答案】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【答案】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立直角坐标系xOy (如图所示)．设|KF |=p (p >0)，则焦点F 的坐标为(2p ，0 )，准线l 的方程为x =- 2p . 设M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点M 在抛物线上的充要条件是|MF |=d .因为|MF 22(),2p x y -+.2p d x =+ 所以上述条件转化为坐标表示，就是22().22p px y x -+=+将上式两边平方并化简，得方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 坐标是(2p ，0 )；它的准线方程是x = 2p，其中p 是焦点到准线的距离. 典例精析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.解：(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为 3,02（） ，准线方程为3.2x =-(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且2,4,2pp ==故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 练一练1、一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．22(0).y px p =>①解 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)．解 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a .课后检测1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2xy 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 66．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)， 因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4. 【答案】 48．求适合下列条件的拋物线方程． (1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点． 解 (1)由题意p2＝4，∴p ＝8.∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)， ∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)， ∴拋物线方程为y 2＝－12x . 课堂小结图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F (p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)F (－p2，0)x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F (0，p 2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)F (0，－p2)y ＝p 2。

《抛物线及其标准方程》教案永城市高级中学数学组陈小琴各位评委、老师：大家好！我是永城市高级中学的数学教师陈小琴，很高兴有机会参加这次说课活动，希望专家和评委对我的说课提出宝贵意见．我说课的内容是《抛物线及其标准方程》的教学设计，下面我分别从教学内容的分析、教学目标的确定、教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来汇报我对这节课的教学设想．一．教材分析（一）教材前后联系，地位与作用：抛物线及其标准方程是普通高中课程标准实验教科书（人教版）选修2-1中的第二章第四节的内容。

学生已经学习了椭圆，双曲线的定义，方程和几何性质，对坐标法已有了初步的认识，这些为学习抛物线奠定了基础，同时，对抛物线的定义，方程的学习能让学生进一步深化对坐标法的认识，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质做好铺垫。

抛物线在生产和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系，这就要求我们在教学中注意理论联系实际，培养学生应用数学的能力，学以致用。

（二）教学目标根据课程标准和学生发展的需要，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。

2.过程与方法：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法。

通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。

3.情感，态度与价值观：通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。

（三）教学重点，难点根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下：重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；（2）抛物线的四种标准方程和p的几何意义。

难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系。

二．教法与学法（一）教法：本节课主要采用启发引导法。

在整个教学过程中，引导学生观察，分析，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念。

教学过程：一、设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张姚明的图片。

（此时学生的兴趣来啦！）师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？生：天赋、身高！生：勤奋练习！（再给出两张姚明的图片）生：与投篮时的弧线有关！生：这弧线是抛物线！师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。

（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。

【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。

二、引导探究，获得新知师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。

师：这抛物线是怎么画出来的啊！师：（出示预先准备的圆锥曲线教具）师：现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直固定在黑板上，再将绳子的一个端点固定在定点上，拉紧白线，就可以画出来了。

谁上来试试？（两位学生积极上台板演）师：在作图的过程中请注意观察笔尖到点F与到直线L的距离有什么关系？师：这两位同学表现非常好！这就是我们见过的拋物线！【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。

【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。

在尝试的过程中，学生可能会遇到困难，教师应给予指导。

【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用，同时教师应多鼓励学生，多引导学生间进行合作交流，培养合作学习的意识，体验成功带来的喜悦。

师：接下来我也来演示下抛物线的形成过程。

（打开几何画板软件）师：笔尖到点F与到直线L的距离有什么关系？（利用几何画板软件同步动态演示）生：AP+PC和AP+PF等于AC所以点P在运动时，CP始终等于PF。

师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！师：那这样画出来的图象是？众生：抛物线！师：很好！【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。