第二章 参数方程章末复习课对应学生用书P37][对应学生用书P38]将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程的考查有三个热点考向，其一给出参数方程，直接化为普通方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．[例1] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．[解析] 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． [答案] (1,1)[例2] 已知曲线C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．[解] 因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.[例3] 已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t sin θ， ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t cos θ， ②(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝x t ＋1t，由②得cos θ＝yt －1t. ∴x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝1.它表示中心在原点，长轴长为2|t ＋1t|，短轴长为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －1t ，焦点在x 轴上的椭圆．当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2,2]，它表示在x 轴上[－2,2]的一段线段． (2)当θ≠k π2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1t. 由②得ycos θ＝t －1t.平方相减得x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝4，即x 24sin 2θ－y 24cos 2θ＝1， 它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|， 焦点在x 轴上的双曲线．当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±(t ＋1t )．∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1t≤－2(t ＜0时)，∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)，它表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线．[例4] 已知线段|BB ′|＝4，直线l 垂直平分BB ′交BB ′于点O ，并且在l 上O 点的同侧取两点P ，P ′，使|OP |·|OP ′|＝9，求直线B ′P ′与直线BP 的交点M 的轨迹．[解] 如图，以O 为原点，l 为x 轴，BB ′为y 轴，建立直角坐标系xOy .依题意，可知B (0,2)，B ′(0，－2)，又可设P (a,0)，P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫9a，0，其中a 为参数，可取任意非零的实数．直线BP 的方程为x a ＋y2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a＋y－2＝1.两直线方程化简为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得直线BP 与B ′P ′的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18a 9＋a 2，y ＝－18＋2a 29＋a2(a 为参数)，消去参数a ，得x 29＋y 24＝1(x ≠0)．∴所求点M 的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆(除去B ，B ′点).程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．[例5] 如图，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.[解] (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.设这个二次方程的两个根分别为t 1，t 2， 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 |PM |＝|t 1＋t 2|2＝1516.(2)|AB |＝|t 2－t 1| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5738.[例6] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [解] (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.由于圆、距离的最值、定值、轨迹等问题带来很大的方便，因此高考中主要考查圆锥曲线参数方程在这些方面的应用，当圆锥曲线由普通方程给出时，需先化为参数方程再应用，最终转化为三角的运算问题，求解．[例7] 点P 在圆x 2＋(y －2)2＝14上移动，点Q 在椭圆x 2＋4y 2＝4上移动，求|PQ |的最大值及相应的点Q 的坐标．[解] 设圆的圆心为O ′，在△PO ′Q 中， |PQ |≤|PO ′|＋|O ′Q |＝12＋|O ′Q |，设Q 点的坐标为(2cos α，sin α)，而O ′(0,2)，则|O ′Q |2＝4cos 2α＋(sin α－2)2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋232＋283≤283. ∴|O ′Q |≤2321，此时sin α＝－23，cos α＝±53.∴|PQ |的最大值为12＋2321，相应点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±235，－23. [例8] 设P 是椭圆4x 2＋9y 2＝36上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值． [解] 法一：令x ＋2y ＝t ，且x ，y 满足4x 2＋9y 2＝36，故点(x ，y )是方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋9y 2＝36x ＋2y ＝t的公共解．消去x 得25y 2－16ty ＋4t 2－36＝0， 由Δ＝(－16t )2－4×25×(4t 2－36)≥0， 即t 2≤25， 解得－5≤t ≤5，∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.法二：由椭圆方程4x 2＋9y 2＝36，得x 29＋y 24＝1，设x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，代入x ＋2y 得x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5.∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.[对应学生用书P40]一、选择题 1．直线⎩⎨⎧x ＝4－3t ，y ＝5＋3t(t 为参数)上与点P (4,5)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(3,6)C ．(3,6)或(5,4)D ．(－4,5)或(0,1) 解析：选C 由题意，可得－32＋32|t |＝2⇒t ＝±33，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4，所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ上的点到直线4x ＋33y －20＝0的最小距离为( )A.44343 B.204343C.444343D ．2解析：选A 点P (3cos θ，4sin θ)到直线4x ＋33y －20＝0的距离d ＝|12cos θ＋123sin θ－20|43＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－2043.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，d 取最小值为443＝443433．设r ＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定解析：选B 易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0,0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．4．直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0,2π))交于A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A.7π6 B.5π4 C.4π3D.5π3解析：选C 由已知得圆D ：(x －3)2＋(y －1)2＝3，则圆心D 到直线y ＝33x ＋2的距离等于d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33×3－1＋213＋1＝62， 故cos 12∠ADB ＝d 3＝22，12∠ADB ＝π4，∠ADB ＝π2； 又AD ＝BD ，因此有∠DBA ＝π4. 而直线y ＝33x ＋2的倾斜角是π6，因此结合图形可知，在直线AD ，BD 中必有一条直线的倾斜角等于π6＋π4，另一条直线的倾斜角等于π6＋π4＋π2，因此直线AD ，BD 的倾斜角之和等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＋π2＝4π3.二、填空题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．解析：将直线l 1的参数方程化成普通方程为y ＝3x －2，又l 2：y ＝3x ＋4，故l 1∥l 2，在l 1上取一点(0，－2)，其到l 2：3x －y ＋4＝0的距离就是l 1与l 2的距离，即d ＝|0＋2＋4|10＝3105.答案：31056．(湖北高考)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝3t3 ⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4x 2＝3y2，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．答案：(3，1)7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22＜3，故直线与圆的交点个数是2. 答案：28．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则它的普通方程为________．设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y ＝sin θ.∴(x －1)2＋y 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .又点M (x 0，y 0)在圆C 上运动， ∴(x 0－1)2＋y 20＝1.故(2x －1)2＋4y 2＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝1 (2x －1)2＋4y 2＝1 三、解答题9．已知椭圆C 1：⎩⎨⎧x ＝m ＋2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)及抛物线C 2：y 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.当C 1∩C 2≠∅时，求m 的取值范围．解：将椭圆C 1的参数方程代入C 2：y 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，得3sin 2φ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2cos φ－32，∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3， 即(cos φ＋2)2＝8－2m ，∵1≤(cos φ＋2)2≤9，∴1≤8－2m ≤9. 解之，得－12≤m ≤72.∴当C 1∩C 2≠∅时，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，72.10．经过P (－2,3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A ，B 两点． (1)若线段AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0，于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若P 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0.即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0. (2)|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6sin α＋8cos αsin 2α2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－7sin 2α ＝2sin 2α16＋12sin2α.又α＝π4，∴|AB |＝2sin2π416＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＝87.对应学生用书P43](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)1．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0)C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：选C 由已知得圆心在相应的直角坐标系下的坐标为(cos 1，sin 1)， 所以圆在直角坐标下的方程为(x －cos 1)2＋(y －sin 1)2＝1，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入上式，得ρ2－2ρcos(θ－1)＝0.所以ρ＝0或ρ＝2cos(θ－1)，而ρ＝0表示极点，适合方程ρ＝2cos(θ－1)，即圆的极坐标方程为ρ＝2cos (θ－1)．3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝2－2t (t为参数)与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的交点坐标是( )A ．(0,2)或(2,0)B ．(4,0)或(0,4)C ．(0,2)或(4,0)D ．(4,2)解析：选C 法一：直线参数方程消去参数t ，得x ＋2y －4＝0.椭圆参数方程消去θ，得x 216＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y24＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴直线与椭圆的交点坐标为(4,0)或(0,2)． 法二：∵两曲线相交∴⎩⎪⎨⎪⎧4t ＝4cos θ，2－2t ＝2sin θ.即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝cos θ，1－t ＝sin θ.两式平方相加，消去θ，得t 2＋(1－t )2＝1.整理，得2t (t －1)＝0. 解得t 1＝0，t 2＝1.分别代入直线的参数方程，得交点坐标为(0,2)或(4,0)． 4．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线方程为( )A ．ρcos θ＝－2B ．ρsin θ＝2C ．ρsin θ＝－2D ．ρ＝2sin θ解析：选B ∵直线x ＝2关于直线y ＝x 对称的直线是y ＝2， ∴直线方程为ρsin θ＝2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析：选D 将参数方程进行消参，则有t ＝1x，把t ＝1x 代入y ＝1tt 2－1中，当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0； 当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.6．过点(0,2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)的夹角为30°的直线方程为( )A ．y ＝x ＋33或x ＝0 B ．y ＝33x ＋2或y ＝0 C ．y ＝33x ＋2或x ＝0 D ．y ＝233x ＋3或x ＝0解析：选C 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t的斜率k ＝3，倾斜角为60°.故所求直线的倾斜角为30°或90°.所以所求直线方程为y ＝33x ＋2或x ＝0. 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t ，y ＝－1＋2t(t 为参数)与双曲线x 2－y 2＝1没有公共点，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22C.⎝⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1－22，－1＋22解析：选C 把x ＝m ＋t ，y ＝－1＋2t 代入x 2－y 2＝1并整理得 －3t 2＋2(m ＋2)t ＋m 2－2＝0，由题意得 Δ＝4(m ＋2)2＋12(m 2－2)<0.即2m 2＋2m －1<0，得－1－32<m <－1＋32.8．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．9．已知点(4,2)是直线l 被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ所截的线段中点，则l 的方程是( )A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：选D 法一：∵(4,2)在直线l 上，∴点的坐标满足方程，把点(4,2)的坐标代入四个选项中的直线方程，排除A ，B ，C.法二：曲线化为普通方程是：x 236＋y 29＝1. 设曲线与l 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1， ①x 2236＋y 229＝1. ②①－②得：136(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－19(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∴y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－936×2×42×2＝－12.∴直线l 的斜率为－12，由点斜式方程可得l 方程．10．已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ(|θ|≤π4)，则点(a ，b )的轨迹是( )A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧解析：选D 由题⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ.a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.又|θ|≤π4.∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________．解析：x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∴最大值为2 2. 答案：2 212．(重庆高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析：依题意，直线l 与曲线C 的直角坐标方程分别是x －y ＋1＝0，y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝4x得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，则y ＝2，因此直线l 与曲线C 的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为12＋22＝5，即直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝ 5.答案： 513．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：1614．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32. 答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和圆C 相交．16．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.17．(本小题满分12分)(辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.18．(本小题满分14分)已知直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．定点A (0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左，右焦点．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程．(2)在(1)条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长． 解：(1)由圆锥曲线C 的参数方程知其普通方程为x 24＋y 23＝1.A (0，－3)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴直线l 的斜率k ＝3，l ：y ＝3(x ＋1)．∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ＋ 3. 即2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝ 3. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3x ＋得5x 2＋8x ＝0.∴EF ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝165.16 5.即弦EF的长为。
