2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：2.4

标为(2cos θ+6,2sin θ).
所以点 M 的轨迹的参数方程为
������ ������
= =
62s+in2������cos������,(������为参数).
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典例透析
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S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
即取值范围是[11-2 3, 11 + 2 3].
反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题, 从而简化整个运算过程.
题型一 题型二 题型三
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【变式训练3】 若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最值. 解:由(x-1)2+(y+2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆. 设x=1+2cos θ,y=-2+2sin θ, 则S=2x+y=2+4cos θ-2+2sin θ =4cos θ+2sin θ=2 5sin (θ+φ),其中 tan φ=2. 由-2 5≤S≤2 5, 得S 的最大值为 2 5, 最小值为-2 5.
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12345
1 若曲线
������ ������
= =
1+ 2������
������2,(������为参数)经过点(2,

������-������ ������
=
cos������
������-������ ������
=
sin������
或
������-������ ������
=
sin������
或
������-������ ������
=
cos������
, ,
于是就得到该圆的参数方程为
������ ������
解析:根据参数方程,可知 a=3 2, ������ = 2 3.
所以 c= (3 2)2-(2 3)2 = 18-12 = 6,
所以焦距为 2c=2 6. 答案: 2 6
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3.双曲线的参数方程
点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角,而不是 OM 的旋转角,
如图所示.
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【做一做 2-1】
椭圆
������2 9
+
������2 4
= 1 的参数方程为
.
解析:根据题意,a=3,b=2,
������ ������
= =
csoins������������,(������为参数).
所以 x2+2xy+3y2=cos2α+2cos αsin α+3sin2α
=
1+cos2������ 2
+

(2)求点(1,1)到直线 AB 距离的最大值．
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第二讲 参数方程
解析：(1)设 A( 2cos α， 2sin α)，

B

2cos α＋π2，
2sin α＋π2，
即 A( 2cos α， 2sin α)，B(－ 2sin α， 2cos α)
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第二讲 参数方程
【真题 7】 (2016·广东广州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：
x＝t＋1 y＝1－2t
(t
为参数)与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ θ
(θ 为参数，a>0)．
(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；
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第二讲 参数方程
【真题 5】 (2016·河北衡水模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，－2)，直线 l：
x＝1＋m， y＝－2＋m
(m 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝2cos θ，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B.
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第二讲 参数方程
考法四 直线的参数方程及其应用
1．利用直线的参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)中参数的几何意义，在解决
直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数 t 没有明显的几何意义．在直线
8x＝cos θ，
得 2
y
3＝sin

第二讲 2.4一、选择题1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )， 则x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．故选D ．2．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则基圆的直径为( B )A ．6B ．12C ．3D ．2解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B ．3．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)解析：将θ＝π代入参数方程得x ＝2(cos π＋πsin π)＝－2，y ＝2(sin π－πcos π )＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．4．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( A )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)解析：由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ)(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ(φ为参数)解析：由摆线产生的过程知，M 的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C ．6．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( C )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.二、填空题7．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (1－cos θ)，y ＝r (θ－sin θ)(θ为参数)．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ－φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.9．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )y ＝2(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 解析：对应点的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝⎛⎭⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝⎛⎭⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝⎛⎭⎫22－π4·22＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 三、解答题10．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．11．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解析：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)． 12．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M 的坐标．解析：由摆线方程知 φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫10π＋336，12r ，⎝⎛⎭⎫12r (7π＋2)，r。