第6节 椭圆

变式 如果点M (x, y) 在运动过程中，总满足关系式： (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 6 ,那么点M的轨迹是 什么曲线？为什么？
1.椭圆 x2 y2 1上一点P到一个焦点的 25 16
距离等于3, 则到另一个焦点的距离为B
A 5 B 7 C 8 D 10
▪ 2为.已F1知、椭F2圆，abx22=4，by22离心1(率a＞为b＞53.0过)的F1焦的点直分线别交 椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ D ）
x2 a2
y2 b2
1
（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个
动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 3 . （1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆
交于不同的两点A、B，使 OA ⊥ OB （其中O为坐
标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存
变式1 已知B（-3,0）,C（3,0），|CA|、 |BC|、|AB|成等差数列，求三角形ABC的 顶点A的轨迹方程。
变式2 已知B（-3，0），C（3，0），且 sinB+sinC=2sinA,求三角形ABC的顶点A的 轨迹方程。
例4 线段AB的两端点A、B分别在x轴、y 轴上滑动，|AB|=8，点M是AB上一点，且 |AM|=3，点M随线段AB的运动而变化， 求点M的轨迹方程。
2.设点．
y
M
F
1
OF
2
x
设M（x , y）为轨迹上的任意一点,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| + |MF2|=2a
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
椭圆定义及标准方程

菜 单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)∵x＝1 是圆 x2＋y2＝1 的一条切线， 1 1 ∴椭圆的右焦点为(1,0)，即 c＝1，设 P(1， )，则 kOP＝ ， 2 2 ∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线 AB 的方程为 y＝－2(x－1)，它 与 y 轴的交点为(0,2)，∴b＝2. x2 y 2 2 2 2 ∴a ＝b ＋c ＝5，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 5 4 【尝试解答】 ① |PF1|＋|PF2|＝2a， 2 2 2 (2)由题意知|PF1| ＋|PF2| ＝4c ， ② |PF1|· 2|＝18， ③ |PF 把①平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· 2|＝4a2， |PF 把②、③代入上式得 4c2＋36＝4a2， ∴a2－c2＝9，即 b2＝9，∴b＝3.
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
【思路点拨】 (1)根据离心率和右焦点坐标直接求出a、b. (2)设出直线l的方程，表示出线段AB的中点E的坐标，利用PE⊥AB，
课 时 知 能 训 练
求出直线l的方程．
菜 单
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【尝试解答】
c 6 (1)由已知得 c＝2 2， ＝ ，解得 a＝2 3. a 3
又 b2＝a2－c2＝4， x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 ＋ ＝1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
y＝x＋m， 2 2 由 x y 得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.① 12＋ 4 ＝1，

2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆 的标准方程。 (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程。 3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大 距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。 (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可 求得e(0＜e＜1)。 (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依 据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。
x 2 y2 1．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| 4 9 等于( A．4 ) B．8
C．6 D．18 解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。
答案：C
x2 y2 2．方程 ＋ ＝1表示椭圆，则m的范围是( 5－m m＋3 A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
坐标轴 (－a,0) (0，－b) (a,0) (0，b) 2a 2c (0,1) (0，－a) (－b,0)
原点 (0，a) (b,0) 2b
a2－b2
1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系 x 2 y2 给出椭圆方程 2＋ 2 ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a＞b＞0；椭圆的焦点在y轴上 a b ⇔0＜a＜b。 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思 考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理 清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。

又∵P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a， 2a 将①代入得|PF2|＝ ∈(a－c，a＋c)，同除以 a 得，1－ e＋1 2 e< <1＋e，得 e＋1 2－1<e<1.
答案：( 2－1,1)
• 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1. •(1)求椭圆C的标准方程； •(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两 点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆 过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求 出该定点的坐标．
•椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系？ •提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越 接近0，椭圆就越接近于圆．
x2 y2 1．椭圆m＋ 4 ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值为( A．5 或 3 C．5 B．8 D．16
)
•解析：当m>4时，m－4＝1，m＝5； •当m<4时，4－m＝1，m＝3. •答案：A
【解析】 法一
x2 y2 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝ a b
1(a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， x2 y2 故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.(4 分) 16 12
•答案：(0,1)
已知对称轴为坐标轴的椭圆经过点 M(2， 3)和 N(2 3， 1)，求椭圆的标准方程．
【思路导引】
椭圆焦点位置不明确 →
设椭圆方程为Ax2＋By2＝1 → 代入点的坐标列方程组 → 解方程组得A、B → 回代得椭圆方程