集合内容的单元设计框架

整体理解是本次新课程改革的重要关键词，那么，为什么要整体把握高中数学新课程呢？对于老师来说，如何做到在教学中整体把握高中数学新课程呢？如何在整理理解的基础上进行单元教学设计呢？下面，我以集合为例来加以说明，敬请各位同仁斧正。

一.内容定位
首先，我们可以比较一下《大纲》与《课标》的异同，来把握集合在高中数学新课程中的一个定位。

在旧课程中，集合与简易逻辑是整个高中数学课程的开篇之作，受“集合论是近现代数学的基础”的影响，集合显然也被当作是整个高中数学甚至是大学继续学习数学的基础。

所以，强调集合的抽象和形式化、人为拔高集合学习的深度和难度、大量增加集合教学的课时也就不足为怪了。

在后续学习中，由于集合论在近现代数学中的基础性地位，可以说，所有的数学研究对象都…无一幸免‟的可以用集合语言来加以描述和界定，当然，也就…无一幸免‟的需要涉及到集合的表示方法。

然而，在新课程中，《课程标准》中写到：集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容。

这里强调的是数学中的“一些内容”，而不是“全部内容”。

任何一种语言，只是有利于表达某些东西。

新课程高中数学将集合作为“一种”（多种语言中平等的一种）语言来学习，作为描述和表达问题的一种语言（与其它语言比较并没有什么优先权）来学习的。

学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用语言进行表达和交流的能力。

数学里有自然语言、符号语言、图形语言，还有图表语言等，集合就是一种特殊的符号语言。

这应该是新课程对集合的一个基本定位。

其次，集合作为一个数学概念，对于数学中的分类思想，可以起到一个促进的作用。

集合主要是要把各种不同的事物能按类刻划清楚。

古语有云：人以类聚，物以群分。

这实际上就是一种集合思想。

不过，在中学使用的具体集合，元素和集合之间的关系都是非常清楚的。

其实，无论是中学还是大学，都不必要去追究那些元素与集合的关系不清楚的集合。

例如：身体较高的人，我国的小河流等，这种集合不仅在中学甚至在大学也是不需要讨论的。

这就表明，有关集合的“三性”的讨论其实只需了解就可以了，不必要太深入的讨论。

再次，我们可以通过厘清集合在数学课程内容中的一个基本脉络，进而搞清楚集合在整个高中数学新课程中的一个定位。

首先应该考虑集合“来自何方”，也就是与集合有联系的、学过的内容到底有哪些。

在生活中，诸如：中国人、上海市民、高一（2）班同学、田径项目、苹果、钢笔等等，无一不是集合的“生活原型”；在小学和初中的学习中，像一维数集：自然数、整数、分数、小数、有理数等；一维点集（数轴上的点集）：一元不等式的解集、一元方程的解等；二元数集：二元方程的根、二元不等式的解集等；二元点集：平面上的圆、线段、线段的中垂线等；（当然，我们可以通过数形结合将同一维度上的数集和点集完美的统一起来）。

另外还有一些量的范围，比如张三跟李四要约见，张三七点到八点有空，李四六点半到七点半有空，这些都是表达集合的生动的实例和重要的载体。

可以说，“集合”早已成为我们的老朋友了。

同时也要向学生简单讲解一下有关集合的数学史知识，让学生了解集合论的来之不易与重要价值。

然后，我们还要考虑集合将“去向何方”，也就是考虑集合和将要学习的内容之间有何联系。

在必修一中，学完集合以后，我们还要学函数的定义域、单调区间、函数图象以及图像上的一些特殊点、函数的应用等，这些都需要集合作为一种支撑语言；在必修二中，首先是立体几何中的点、线、面、体之间的关系，如点在线上（外）、线在面内（外）、面面平行（相交）、各种几何体之间的关系等；其次在解析几何中，方程与曲线、动点轨迹、平面直角坐标系中的某些特殊点等等，这些都需要我们运用集合语言去准确简洁的刻画和描述；在必修三中，数据的分类、直方图、扇形图等，这些都是集合的比较好的载体；在必修四中，三角函数的周期、零值点、最值、单调区间、向量与平面点集的刻划等等；在必修五，一元二次不等式、目标函数的可行域、特殊点等等，这些内容都少不了集合。

在限定选修课和任意选修课中也都有这样的载体。

也就是说，在必修一学过集合之后，集合的学习并没有停止，后续课程中有很多的内容可以帮助我们不断的加深对于集合作为一种语言的认识。

最后，我们还需要对学生进行一个分析，弄清哪一些载体是学生比较容易掌握的，哪一些载体是学生不容易掌握的。

在讲集合的时候，我们建议最好选用一维的载体，比如说数、数轴、一元不等式的解集、数量的范围等等，这些都是一维的载体。

但是平面点集的定量刻划，就比较困难了。

不仅在中学是一个比较困难的地方，在大学数学系的学习中，也需要多次反复的去介绍这个点集和它的意义。

在分析里要讲，实变里要讲，代数里也要讲，所以这一点需要有一个比较长的过程，才能帮助学生去了解平面点集的定量刻划。

另外一点，就是有限点集学生比较容易理解。

开区间是个特例，它虽然也是无限的，但是学生有一个有限
的范围的感觉，与射线相比，就要容易一点。

有了这样的分析之后，我们就知道在讲集合的开始阶段，我们选用什么样的载体来支持学生学习集合的语言，从而使得我们能够更好的把握课程的定位，更好的理解集合所发挥的作用了。

二.单元教学设计
根据上面的分析，我们就可以进行单元教学设计了。

比如说第一个课时，我们讲集合的含义和表示，就可以淡化“集合元素的三性”，重点是常见数集和一元点集，而对于二元的数集与点集要“手下留情”，最多提及可以用等量关系刻画的二元数集与点集，而对于需要用不等关系刻画的二元数集和点集一定要留在后续学习中逐步到位。

第二课时是集合之间的基本关系。

本节课的重点是从不同的角度加深学生对集合之间基本关系的理解，也就是从自然语言、符号语言、图形语言，特别是符号语言与图形语言的对比和互译来加深对本节课重点的理解和掌握。

运用实数的三歧性和传递性，类比联想得到集合的包含关系和传递性，看上去自然流畅，没有任何的思维障碍，但事实上这可能是一个“温柔陷阱”。

实数具有“三歧性”（即任意两个实数只存在唯一的大或小或等三中关系），而两个集合之间却没有这样的“三歧性”（两个集合之间可以相等或包含，但还存在着既不相等也不包含的关系）；另外，实数遵循“整体大于部分”的欧氏几何法则，而集合却遵循“整体等于部分”的“康托尔法则”。

这些内容完全可以不让学生知道，但作为教师应该做到心中有数（其实，阅读与思考中已经设计到这样的问题）。

在涉及到集合的子集和真子集时，与课本上的要求相当即可，不必人为拔高，特别是一些编造嫌疑过大的问题（如以集合为元素的集合等）都不必涉及。

第三、第四课时是集合的基本运算。

类比联想实数的运算得到集合的运算，对于学生来讲是不难理解的，但是，我们仍然可能在以下两个方面给学生制造人为的学习障碍。

一是运算载体的设置。

本节课的重点仍然是以学生过去所学的一维数集和点集为载体，从符号语言和图形语言两个角度来帮助学生理解掌握集合的运算。

而对于二维的数集和点集应谨慎处理。

人教A版第9页的例7，我们可以从数形结合的角度加以拓展延伸，帮助学生逐步加深对二元数集和点集的运算的理解，除此之外的加深和拓展都应该小心谨慎；二是有关参数的讨论。

如：例1 设S={2.4.1-a},A={2,a2-a+2},若C S A＝｛-1｝，则a＝。

[说明]由C S A＝｛-1｝知-1∈S，且-1不属于A，所以1-a＝-1，且a2-a+2＝4，解得a＝2。

例2 已知集合A＝
{m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值。

这两个例题都是伴随着新课程培训一起下发的国家“十五”重点课题的研究成果。

但显然与课程标准中关于集合的定位——一种基本的语言和提高运用集合语言进行表达和交流能力，相去甚远。

对于学生而言，集合学习的入口并不难，但由于其自身的抽象性，深入下去还是有一定难度的。

过多参数的引入，会令学生心存畏惧，从而影响和打击学生学习数学的兴趣和学好数学的信心。

第五节课时，可以做一节复习课。

这节复习课可以关注一下三点：一是从表示、关系、运算等角度帮助学生梳理一下在集合以前所学过的所有数学内容，特别是一元数集、点集和二元数集、点集（等量关系）；二是针对学生近期学习过程中的疑难点进行总结、提升和突破；三是引导学生用框图（有意识的与算法相结合）或知识树的形式做好复习和总结，培养学生整体把握课程的意识和能力。