微积分建立时代背景和历史意义

微积分建立的时代背景和历史意义微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用． 积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3V r =他用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪，伽利略发现了自由落体的运动规律212S gt =，落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆． 当t ∆很小时，这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650）建立了坐标系，使几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具． 在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()ba F x dx Fb F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示了微分和积分的逆运算关系．所不同的是，牛顿（Newton ，1642~1727）创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题，而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．19世纪，法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套完整的、严谨的理论体系．微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。

微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰,日取其半，万世不竭"。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》,开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.例如,计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。

但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的.第二类问题是求曲线的切线的问题.这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于:曲线的“切线"的定义本身就是一个没有解决的问题。

微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。

例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。

但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。

古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。

中国微积分的发展历程微积分是数学中的一个重要分支，也是物理、工程、经济学等学科中的基础知识之一，其发展经历了漫长而曲折的历程。

而中国微积分的发展历程更是充满了变化和发展的阵痛，下文将分步骤介绍中国微积分的发展历程。

一、受西方文化影响引入微积分近代以来，随着中国与西方国家的交往不断密切，西方文化开始在中国大地上广泛传播。

在这种背景下，西方的数学知识也渐渐传入中国，并在近代中国的各个领域得到了广泛的应用。

而微积分正是其中之一，最早引入中国的微积分知识可能要追溯到19世纪初。

二、创造性应用微积分研究国家实际问题20世纪初，中国开始走上了工业化的道路，这使得微积分理论的应用变得更加迫切。

此时一批数学家开始探索如何将微积分理论应用于工业、科学和经济领域，以带动国家的发展。

1927年，中国数学巨匠华罗庚发表了一篇《初等微积分教程》，为中国微积分的发展铺平了道路。

而后，华罗庚等一批中国数学名家，将微积分的理论与实际问题相结合，得到了大量成功的创新成果，其中最著名的便是华罗庚推导不等式和中国剩余定理。

三、微积分与现代科技紧密结合随着科学技术的不断发展，人们对微积分理论的应用越来越深入。

微积分理论不仅在数学中发挥着巨大的作用，而且在现代科技领域如工程、电子、通讯等方面也得到了广泛应用。

20世纪80年代以来，数学家们集中力量发展微积分理论，形成了微积分的“新发现”，如局部解析，调和分析，BVP理论等，为现代科技应用打下了坚实的理论基础。

四、探索大数据时代下的微积分进入21世纪，人类进入大数据时代，微积分理论的研究也跟随时代的变迁而变得更加深入和广泛。

在计算机技术高度发达的今天，微积分无疑是数据科学和人工智能等领域的重要基础知识。

微积分与数据科学的结合，可以为人们提供更快、更准确、更高效的数据分析和处理方法。

同时，微积分在人工智能领域也有重要应用，如深度学习、模式识别等技术，正是微积分理论的深入研究和开发让这些技术得以顺利推广。

微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。

2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。

3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。

牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。

这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。

4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。

5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。

这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。

6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。

来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。

7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。

爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。

8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。

函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。

微积分的发展史微积分的发展史微积分是数学中的一个重要分支，发挥着重要的作用，它具有重要的实用价值，是现代数学中一门重要的学科。

微积分在古代有着很长的历史，从古至今，在发展的过程中，受到了许多著名的数学家的不懈努力，其演变虽然有一定的规律，但是发展也呈现出复杂的趋势，下面来看看微积分的发展历史。

一：古代的微积分古代微积分的发源可以追溯到公元前三世纪古希腊哲学家斐波那契和欧几里德的古典时代，他们最早提出了微积分的相关概念，比如斐波那契提出的“变化率”的思想，欧几里德提出的“误差积分”的思想，他们发明出来的数学模型也是微积分发展的基础。

二：新罗马时代的微积分新罗马时期的微积分研究已经开始流行，公元七世纪达·索马里（d’Alembert）等科学家在此期间正式提出“积分”的概念，但他们只是把微积分引入到数学体系中，并没有真正深入的研究。

三：十七世纪的微积分在十七世纪，英国数学家派克完成了微积分的重大突破，他把斐波那契和欧几里德的相关概念作为微积分的基础，将微积分作为一个独立的学科，开始全面系统地研究微积分，由此开创了微积分的新观念，彻底改变了古代的微积分的思维模式，他的成果也在欧洲开始流行。

四：十八世纪的微积分到了十八世纪，派克的微积分在欧洲开始广泛受到关注和应用，微积分的研究开始更加深入和系统化，出现了许多在微积分领域有重大贡献的著名数学家，比如拉格朗日，瓦西里和弗拉基米尔，他们的成就使微积分的研究得到进一步的发展。

五：十九世纪的微积分到了十九世纪，微积分的研究开始发生重大变化，出现了许多在微积分领域有重大贡献的著名数学家，比如高斯，尤金和庞加莱，他们的发现把微积分推向了新的高度。

同时也有一些新的应用，使微积分的研究发生了重大变化，这个时期也是微积分发展史上的一个重要时期。

六：二十世纪的微积分到了二十世纪，微积分的研究取得了重大的进展，出现了许多在微积分领域有重大贡献的著名数学家，比如黎曼，爱因斯坦和明斯基，他们的成就使微积分的研究取得了突破性的进展，使微积分得到了全面的发展，成为现代数学中重要的学科之一。

分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。

微积分的基本概念和内容包微分学积分学。

但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。

十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。

1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。

流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。

牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。

微积分产生的历史背景数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。

恩格斯从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。

而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。

科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：（1）运动中速度与距离的互求问题（几何演示）即，已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0，而0/0是无意义的。

但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。

已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。

因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题（几何演示）这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

由于研究天文的需要，光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

微积分建立的时代背景和历史意义教学目的：1．了解微积分建立的时代背景和历史意义，进一步形成客观事物具有相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系的观点2．通过了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识，激发学习数学的热情内容分析：积分建立的时代背景和历史意义的内容这在中小学数学必修教科书中尚属首次，是教科书编写的创新了解数学的历史，既是提高自身修养的途径，又是自觉有效地学习、应用数学的催化剂数学作为人类文明的主要组成部分，它的发展规律及与其他文化的关系，应该为更多的公民所了解本节课的主要内容包括三个部分：第一部分是微积分思想方法的萌芽、积累、诞生的历史回顾，着重围绕与大量实际问题相关的求曲线的切线及求函数的极值（对文科学生）问题，阐述变量与极限思想；第二部分是微积分思想方法对数学科学及自然科学发展的作用；第三部分是牛顿、莱布尼茨发明微积分思想方法对我们的启发，主要是阐述自己对数学、数学方法以及发现发明的认识教科书对本节内容阐述得较详细、系统，讲授时可先让学生阅读，教师可挑选几位数学家如刘徽、笛卡尔、费马、牛顿等的工作作一介绍，着重阐述他们研究的问题与微积分思想方法的相关程度之后可让学生讨论自己对微积分发明的体会教学过程：一、引入：1．用电脑展示微积分发明者——牛顿与莱布尼茨的像片2．前面我们学习了极限与导数，已经领咯到了在利用导数求曲线的切线方程、讨论函数的单调性与极值问题中所显示出的无比优越性我们不禁会问；牛顿与菜布尼茨是怎样发明这样高明的数学方法的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？二、讲解新课：1．学生阅读教科书第135页至第138页内容，着重了解微积分思想方法的时代背景，之后，请学生提问，将教科书中不理解的问题提出来，师生共同讨论交流如：（1）17世纪自然科学的三大发明是指什么？（2）为什么说刘徽的“割圆术”包含着微积分概念的萌芽？（3）曲线在某点处的法线是指什么直线？（4）为什么说笛卡儿、费马等人发明的解析几何是数学中的转折点？……对上述问题，教师在课前应充分准备，有些不能三言两语解释的，应告诉学生阅读哪些参考资料（加龚昇著《话说微积分》，中国科学技术大学出版社，1998；上互联网：/2/23/104/0541.htm ）2．介绍刘徽、笛卡尔、费马、牛顿与菜布尼茨的数学方法（1）刘徽的“割圆术”魏晋南北朝时期的数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础其方法是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣”也就是说：刘徽用圆内接正多边形去逐步逼近圆如图，设圆面积为S ，半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ，周长为n L ，面积为n S 将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别记为n l 2、n L 2、n S 2，则22222222121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==n n n l r r l CD AC AD l ， r L CD AB n S n n ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=21212， )(222n n n n S S S S S -+<<当n 无限增大时，n S 2便趋于圆的面积，祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576边形时，得到圆周率π的上下限：3.1415926<π<3.1415927这是当时世界在这一领域的最高水平 刘徽割圆的逼近思想是以后极限思想的萌芽，为定积分概念的形成积累了素材（2）笛卡儿求切线的“圆法”法国数学家笛卡儿用代数方法（即圆法）求出了曲线在其上某一点处的切线方程笛卡儿求曲线y=f （x ）过点P （x ，f （x ））的切线斜率的“圆法”是：（如图）过C 点（曲线在点P 处的法线与x 轴的交点）作半径为r=CP 的圆C ：222)(r y v x =+-因CP 是曲线y=f（x ）在P 点的法线，则P 应是曲线与圆C 的“重交点”若2)]([x f 是多项式函数，有重交点就相当于方程222)()]([r v x x f =-+有重根x=e ，从而)()()()]([11212222+-+++++-=--+n n n n c x c x c x c e x r v x x f ，比较系数得v 与e 的关系，代入e=x ，便得过P 点的切线斜率)(x f x v k -=以3x y =为例点),(3x x P 设)()()()(432231422223c x c x c x c x e x r v x x ++++-=--+，经特定系数法得知： 544332213,51,4,3,2e e v e c e c e c e c +=+====故切线斜率23533)3(x x x x x x x v k =-+=-=笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的（3）费马求极值的代数方法法国数学家费马求函数y=f （x ）在点a 处极值（如果存在的话）的代数方法是：用a+e 代替a ，并使f （a+e ）与f （a ）“逼近”，即f （a+e ）→f （a ）消去公共项后，用e 除两边，再令e 消失，即0)()(0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=e e a f e a f ，由此方程求出的a 就是f （x ）的极值点以22)(2++=x x x f 为例，e e ae a f e a f 22)()(2++=-+，1,0220)()(0-==+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=a a e a f e a f e 即-1是f （x ）的极值点费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e 代替了增量△x 可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步，微积分的发明人也许要改弦易辙了（4）牛顿的“流数术”牛顿以他的运动学为背景，总结了笛卡尔、费马等人的方法，提出了具有一般意义的“流数”概念，他的《流数简论》的问世标志着微积分的诞生以函数*)(N n x y n ∈=为例说明流数概念设x 变为x+o ，则n x 变为∑=-⋅⋅=+nk k k n k n n o x C o x 0)(，1212)1(1)()(---++⋅-+=-+--n n n n n o o x n n nx x o x x o x ，设增量o 消失，它们的比就是11-n nx ，这就是x 的流数与n x 的流数之比 流数就是现在的微商dy dx然后牛顿使用流数概念应用于求曲线切线、曲率、拐点，曲线求长、求积、求引力与引力中心等大量问题，展示了流数及其算法的极大普通性与系统性同时莱布尼茨从几何角度关于特征三角形的研究也得到了与牛顿类似的结论与算法3．交流思想与体会主要谈谈对微积分发明的感想及其对自己的启示（1）微积分的发明不是一蹴而就的，而是人类集体智慧的结晶，是无数科学家长期奋斗的结果（2）数学来源于实践，没有当时大量实际问题的涌现，没有科学家深入实际，将大量实际问题转化为数学问题的研究，是不可能产生微积分理论的（3）渊博的知识，谦虚的治学作风，是学术上取得成就的必要条件牛顿说“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，牛顿与莱布尼茨的高明之处之一就是善于总结他人的研究成果提出自己的主张……三、课后作业：恩格斯说：“在一切理论在就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那就正是在这里”请你结合今天上课的内容，谈谈你对恩格斯这段话的理解四、板书设计（略）五、课后记：。

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

微积分发生的汗青配景数学中的转机点是笛卡尔的变数，有了变数，活动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学跟积分学也就破即成为须要的了，而它们也就破即发生，同时是有牛顿跟莱布尼兹年夜要上实现的，但不是由他们创造的。

恩格斯从15世纪初欧洲文艺振兴时代起，产业、农业、帆海奇迹与商贾商业的年夜范围开展，构成了一个新的经济时代，宗教变革与对教会思维监禁的疑心，西方进步的迷信技巧经过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国毁灭后希腊少量文献的流入欧洲，在事先的常识阶级眼前出现出一个完整斩新的相貌。

而十六世纪的欧洲，正处在资源主义抽芽时代，消费力掉掉了非常年夜的开展，消费理论的开展向天然迷信提出了新的课题，急切请求力学、地理学等根底学科的开展，而这些学科基本上深入依附于数学的，因此也推进的数学的开展。

迷信对数学提出的各种请求，最初汇总成车个中心咨询题：（1）活动中速率与间隔的互求咨询题〔多少何演示〕即，已经明白物体挪动的间隔S表为时间的函数的公式S=S〔t〕,求物体在恣意时辰的速率跟减速率；反过去，已经明白物体的减速率表为时间的函数的公式，求速率跟间隔。

这类咨询题是研讨活动时直截了当出现的，艰苦在于，所研讨的速率跟减速率是时时刻刻都在变更的。

比方，盘算物体在某时辰的刹时速率，就不克不及象盘算均匀速率那样，用活动的时间去除挪动的间隔，因为在给定的霎时，物体挪动的间隔跟所用的时间是0，而0/0是有意思的。

然而，依照物理，每个活动的物体在它活动的每一时辰必有速率，这也是无疑的。

已经明白速率公式求挪动间隔的咨询题，也碰到异样的艰苦。

因为速率时时刻刻都在变更，因此不克不及用活动的时间乘恣意时辰的速率，来掉掉物体挪动的间隔。

（2）求曲线的切线咨询题〔多少何演示〕那个咨询题自身是纯多少何的，并且对于迷信使用有宏年夜的主要性。

因为研讨地理的需求，光学是时十七世纪的一门较主要的迷信研讨，透镜的计划者要研讨光芒经过透镜的通道，必需明白光芒入射透镜的角度以便使用反射定律，这里主要的是光芒与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，因此老是就在于求出法线或切线；另一个触及到曲线的切线的迷信咨询题出现于活动的研讨中，求运植物体在它的轨迹上任一点上的活动偏向，即轨迹的切线偏向。

微积分的诞生划时代的文化意义
微积分的诞生——划时代的文化意义
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。

微积分是人类智慧的伟大结晶，恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

”当代数学分析权威柯朗(R．Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。

”
微积分的重大意义可从下面几个方面去看。

(1)对数学自身的作用
由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学。

自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，是动态的数学。

数学开始描述变化、描述运动，改变了整个数学世界的面貌。

数学也由几何的时代而进人分析的时代。

微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。

如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何的产生。

严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。

(2)对其他学科和工程技术的作用
有了微积分，人类把握了运动的过程，微积分成了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具。

有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。

航天
学的启示，对人类文化的启示和影响。

摘自《多元视角下的数学文化》。

微积分的出生——划时代的文化意义微积分的出生拥有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。

微积分是人类智慧的伟大结晶，恩格斯说：“在全部理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高成功了。

”今世数学剖析权威柯朗 (R．Courant) 指出：“微积分乃是一种震惊心灵的智力奋斗的结晶。

”微积分的重要意义可从下边几个方面去看。

(1)对数学自己的作用由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学。

自从有认识析几何和微积分，就开拓了变量数学的时代，是动向的数学。

数学开始描绘变化、描绘运动，改变了整个数学世界的相貌。

数学也由几何的时代而进人剖析的时代。

微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获取了极大的发展，获得了空前的繁华。

如微分方程、无量级数、变分法等数学分支的成立，以及复变函数，微分几何的产生。

严实的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的广泛意义。

(2)对其余学科和工程技术的作用有了微积分，人类掌握了运动的过程，微积分红了物理学的基本语言，追求问题解答的有力工具。

有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。

航天飞机、宇宙飞船等现代化的交通工具都是微积分的直接结果。

在微积分的帮助下，牛顿发现了万有引力定律，发现了宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包括的范围内，强有力地证了然宇宙的数学设计。

此刻化学、生物学、地理学等学科都一定同微积分打交道。

(3)对人类物质文明的影响现代的工程技术直接影响到人们的物质生产，而工程技术的基础是数学，都离不开微积分。

此刻微积分不只成了自然科学和工程技术的基础，并且还浸透到人们宽泛的经济、金融活动中，也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其宽泛的应用。

(4)对人类文化的影响此刻不论是研究自然规律，仍是社会规律都是离不开微积分，由于微积分是研究运动规律的科学。

现代微积分理论基础的成立是认识上的一个飞腾。

极限看法揭露了变量与常量、无穷与有限的辩证的对峙一致关系。

微分学和积分学的起源1. 引言大家好，今天咱们聊聊微分学和积分学的起源。

哦，别一听到“微分”就想打瞌睡，实际上这两个概念可有意思了，简直是数学界的小精灵。

想象一下，微积分就像一杯浓郁的咖啡，苦中带甜，让你在思考的旅途中保持清醒。

那么，它们是从哪里来的呢？这可是个有趣的故事！2. 微积分的历史背景2.1 古代智慧说到微积分，咱们得回到几千年前，古希腊时代。

那时候的数学家们就像是勇敢的探险家，在未知的海洋中寻找答案。

比如，阿基米德就已经在研究圆周和球体的体积了。

他的研究就像是在铺微积分的道路，虽然他当时并不知道这一点。

古人真是了不起，拿着几根木棍就能算出复杂的东西，简直就是古代的数学达人。

2.2 中世纪的探索然后到了中世纪，咱们看到了一些阿拉伯数学家的身影，他们可不是什么省油的灯。

像阿尔·卡瓦里兹米（AlKhwarizmi），就对代数做出了巨大的贡献。

虽然当时的微分和积分还没完全成型，但这些数学家们的探索为后来的发展奠定了基础。

就像是在为微积分的出生做铺垫，大家心里都明白，早晚会有那么一天。

3. 现代微积分的诞生3.1 牛顿和莱布尼茨的争论好戏在后头！到了17世纪，咱们终于迎来了微积分的“父亲”，牛顿和莱布尼茨这两位大神！这俩人一个在英国，一个在德国，简直就是“天南地北”的竞争。

他们几乎在同一时间独立发展了微分和积分的理论，但各自的研究方法可谓截然不同。

牛顿就像是个理科男，热衷于运动和变化；而莱布尼茨则更偏向于符号和形式化，像个文艺青年。

这俩人的争论可是不小的，甚至连“谁才是微积分之父”这个问题都引发了不少火花，后来搞得两国的数学家们都“分成了两派”，简直就是一场“数学界的世纪大战”。

3.2 微积分的应用不过，争论归争论，微积分的应用才是它的真本事。

想象一下，科学、工程、经济学等领域，处处都能看到微积分的身影。

比如，飞行员计算飞行路径的时候，离不开微积分；而建筑师在设计楼房时，也会用到它来确保结构的稳定。