高考数学开放性问题如何解

高中数学开放题型解析教案教学内容：开放题是指题目没有固定答案，学生可以尽情发挥自己的思维能力、创造力来解答问题。

在高中数学教学中，开放题型是培养学生综合运用所学知识、思维能力的重要方式。

教学目标：1. 学生能够灵活运用所学知识，解决实际问题。

2. 学生能够培养创造性思维，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过解析开放题，提高学习兴趣和学习效果。

教学过程：1. 导入环节：通过介绍开放题的概念和作用，引导学生主动思考问题，并激发学生的兴趣。

2. 激发思维：给学生一些开放题目，让学生自由发挥，思考解决问题的方法和策略。

3. 分组探讨：将学生分成小组，鼓励他们互相讨论，分享解答的思路和方法。

引导学生相互学习，共同提高。

4. 整理总结：让学生展示自己的解答过程和思路，并对解答进行总结和评价，让学生了解自己的不足之处，以便改善。

5. 深化拓展：给学生更复杂的开放题目，让他们挑战自己，锻炼解决问题的能力，并不断提高。

教学评价：1. 通过观察学生的表现，了解学生的思维能力和解决问题的方法。

2. 对学生的解答进行点评和评价，鼓励学生的努力和创新。

3. 让学生自主评价自己的解答过程，发现自己的不足，以便不断进步。

教学延伸：1. 给学生更多开放题的练习，培养学生的解决问题能力和思维发展。

2. 鼓励学生自主探索，参加数学竞赛等活动，提高解决问题的能力和水平。

教学反思：1. 教学中要注重引导学生思考问题的方法，培养学生的创造性思维。

2. 要给学生足够的时间和空间来解决问题，不要过分干预学生的思考过程。

3. 要及时纠正学生解答中的错误，帮助学生及时发现问题，改正错误。

教学心得：通过本次教学，我发现学生的解决问题的能力和创造性思维有了很大的进步，他们在解答开放题时积极思考，勇于尝试，培养了解决实际问题的能力。

希望在接下来的教学中能够进一步引导学生，不断提高他们的解决问题能力和水平。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２６新高考数学开放性问题研究和教学对策新高考数学开放性问题研究和教学对策Һ张耀雄㊀（佛山市顺德区第一中学，广东㊀佛山㊀５２８３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新高考的落实标志着中国高考正在进行历史性转变，教育改革确定了核心素养的基本内涵和总体框架，高考改革则确定了相应的评价体系和考查目标．从新高考内容来看，试题的灵活性㊁开放性不断增强，考查形式多元化㊁考查角度丰富化，让题海战术㊁刷题战术的作用日益弱化．在此背景下，本文围绕着新高考中的开放性试题展开分析，全面剖析此类型试题的特点和考查方向．在此基础上，明确相应的解题策略和教学策略，以供参考．ʌ关键词ɔ新高考；数学教学；开放性问题；核心素养引㊀言新课改背景下，传统的教育教学方式正逐渐被创新性的方式取代，学生的学习方式也发生了改变．开放性教学作为一种新的教学模式，近几年来成为教学中必不可少的一部分．试卷上的开放性试题也随之增加，这对教学模式的创新应用提出了更高的要求．因此，教师要根据新课标教学要求㊁学生实际学情㊁高考考查方向，优化教学策略．一㊁新高考中开放性试题的特点和传统的条件完备㊁答案确定且唯一的数学题目不同，开放性试题并不是简单的数学问题，而是数学教育问题，在考查学生数学知识掌握程度的同时，也在对学生进行教育，从而使学生得到综合性发展．从题目内容来看，其中大部分内容源自实际生活，而且题型多样，包含着丰富的数学思想；从结构形式来看，开放性试题的组成要素具有不确定性㊁不完备性；从解题策略来看，开放性试题需要学生采用发散性㊁创新性等非常规的方式进行思考；从问题答案来看，开放性试题的问题答案层次性较强，且问题形式具备可探索㊁可发展性，在解决问题的过程中，需要学生主动参与其中．总的来说，新高考中的开放性试题内容新颖，对学生的思维发散㊁思维创新能力有着较高的要求，并且需要学生主动进行思考㊁探索㊁发现，以此在解题的同时，强化学生的创新能力．比如，在２０１９年高考数学北京卷中第１７题就围绕着移动支付方式进行了设计．在给出了不同支付方式下，学生的支付金额后，在该题的第三问，设置了开放性问题： 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用Ａ的学生中，随机抽查３人，发现他们本月的支付金额都大于２０００元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用Ａ的学生中本月支付金额大于２０００元的人数有变化？说明理由．试题分析：移动支付是学生非常熟悉的内容，该试题基于这一现实生活情境提出数学问题，主要考查了学生对离散型随机变量分布列㊁数学期望等相关知识的应用，同时考查了学生概率模型的应用能力，让学生能够从统计规律中展开思考，对随机现象进行分析．总的来说，这道考题是对学生数学综合能力及核心素养的考验，其中重点考查了建模能力㊁数据分析能力．开放性问题的设置，并不规定一种答案，只要理由充分均可得分．学生可以从不同的切入点阐述相应的理由，思维的深度和广度能够进一步扩大．值得一提的是，这一问题也蕴藏着一种方式，当学生利用数学思维思考这一问题时，金钱观㊁消费观也会受到触动，有助于树立正确的价值观念．二㊁新高考中开放性试题的难点除了文中提及的题目，诸多高考开放性试题都为学生提供了一个展示的平台，能够让学生充分发挥出自身的逻辑推理能力㊁空间想象能力．可以说，开放性试题从某种层面上让高考的 选才 功能更加突出．开放性试题和传统考查方式完全不同，充分调动学生的主体性，让学生自行探索解答路径．在解题的过程中，学生需要对自身的知识储备进行全面的检索，发散自身思维㊁从综合层面上解答问题，探究搜索不同的可能．但从目前来看，很多学生面对开放性试题时，没有想法，不知道该从何处入手，无法将知识和问题联系在一起，导致很多学生拿不到分数．比如２０１９全国Ⅰ卷第４题的 断臂维纳斯 的美，不是简单考知识，虽然也可以用不等式解出范围，但所需时间较长，若从对身高美的理解这一角度思考，则更容易得出切合实际的答案．无法解答出开放性问题是因为大部分学生受到传统教学模式的影响，依赖性强㊁思维固化㊁知识零散，没有构建并形成完善的数学逻辑结构．这就意味着，教师需要让学生系统地掌握开放性试题的解题思路，能够在面对此类试题时有的放矢，把握思考的关键．从实际上看，新高考中开放性试题不仅答案不固定，问题也不固定，需要学生主动思考㊁综合运用多种不同的解题方案，通过观察㊁分析㊁归纳㊁推理，从多角度㊁多方位入手解决难题．解题的过程中，数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模等核心素养都得到了锻炼和培养，切实满足了新课标和新高考提出的 让学生养成积极主动㊁勇于探索的学习方式 发展学生的数学应用意识 等要求．从新高考中开放性试题的题目特点㊁考查方向来看，在实际教学过程中，教师不仅要将正确的解题思路传递给学生，还要对日常的教学策略进行优化，以此使核心素养教学理念真正融入高中数学教学中，确保学生能够从容地面对开放性试题．三㊁新高考中开放性试题的解题思路和教学策略（一）解题思路开放性试题需要学生具备创新性思维，因此教师在日常教学过程中，要让学生养成举一反三的解题习惯，强化求. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２６异思维．教师可以在不同的题目中引导学生用不同的方法，从不同的角度入手解决数学问题．学生要注重在日常做题中训练自身的创新性思维，从不同切入点解决问题，在面对开放性问题时，就能够在最短时间内发现其中的关键点，继而逐步梳理知识线索，解决问题．开放性试题需要学生具备自主探索能力，数学学科本身就较为特殊，需要学生真正地理解知识，才能够在解题过程中应用．在日常做题时，教师要给学生足够的思考时间，引导学生独立自主地思考问题，从而对问题形成更深层次的理解，也可以让学生在思考的过程中发现知识链上的缺失点，从而及时加以补充完善．只有在日常做题时养成良好的思考习惯，才能够在面对开放性问题时有想法㊁有思路，不会出现一片空白的情况．教师必须认识到过度的帮助会让学生产生依赖性，久而久之，失去了自主思考的能力．开放性试题类型较多，主要分为概念应用㊁知识应用㊁定理证明三大类，在不同的试题中需要学生采用的解题思路各不相同．以指数函数概念为例，教师可以结合数学史引导学生展开思考，切实提高学生的应用意识．而在定理证明类试题中，教师可以让学生自主推导定理，让学生明确掌握定理被证明的过程和结论，这个过程中，教师还要鼓励学生从不同角度入手，真正掌握这一结论内容．知识应用是开放性试题中最为常见的一种，教师在日常教学中可以引导学生借助生活中已有的经验展开相应的思考，以此也可以进一步激发学生的学习积极性，在探究生活问题的同时，掌握知识，了解知识规律．比如，２０１９新高考北京卷第１２题，要求学生根据线面基本关系判断命题的真假，考查的是学生直观想象能力和创新能力，本题需将基本的知识应用在实际中，综合多方面信息展开分析．考查层次丰富，形式新颖．２０２０新高考山东卷第１２题，融入了新定义类判断，通过创设新的定义，让学生理解其中的关键性特征，这就需要学生具备信息提取㊁信息处理等能力，从而正确解答题目．（二）教学策略数学开放性试题之所以越来越受到重视，是因为它和传统问题相比，满足了新课标中提出的核心素养的培养要求，对促进学生综合发展具有重要作用．另外，教师在指导学生解决开放性试题时，不能盲目地按照应试思路，追求短期目标，而是要从开放性试题入手打造出开放性课堂，真正提高学生的学习能力．第一，教师要主动设计开放性教学情境．在开放性的教学情境下，引导学生主动构建数学知识结构，发现问题㊁提出问题㊁分析问题㊁解决问题．例如，２０２０新高考山东卷第１７题，需要学生从三个条件中任选其一，补充在题干里，然后对问题加以求解或证明．这一开放性分析考查的就是学生自主思考能力，只有真正掌握了解三角形的有关定理，才能快速选好解题策略，从而更快地完成这一道题的解答．因此教师在日常授课的过程中，可以给出一些条件不完备的题目，让学生以小组为单位，选择不同的条件展开思考，在不同的解题途径下，找到相应的答案．又或者可以给出多个条件，让学生随机选择出其中的几个条件，推理证明得到相应的结论．通过平时的开放性教学情境可以更好地激发学生主动展开思考，预测多种可能的解题路径，并能从中优选出最适合的路径，让学生对数学知识形成更深刻的认识．第二，教师要回归教材本身，充分挖掘教材中的内容．新高考中除了试题综合性㊁开放性增强，还有另一个特点十分突出，就是很多试题来源于教材．在教学改革的同时，教材的版本也在不断地革新，其中的内容都是经过了反复斟酌后使用的，很多环节之间都具有关联性．教材中练习题和教学内容之间的关联性较强，而且教材中也包含了大量的开放性问题，充分借助教材展开教学活动，更有助于锻炼学生思维，从而使学生在遇到开放性问题时，能够想到和问题有关的知识内容．比如，２０１８年高考北京卷１３题考查的就是函数单调性内容，引导学生开放性思考，对其中的批判性思维和创新意识进行调动．这就需要学生真正理解教材中的函数模型，在教材中也出现了类似的函数证明，在日常教学中进行锻炼，能够使学生的基础知识和创新能力得到巩固和提高．第三，教师要打造出生活化的教学情境．生活化㊁实际性是新高考数学的一大特点，也是开放性试题的特色，因此教师可以在教学过程中，借助生活中的真实情境展开教学，利用学生的生活经验，联系数学知识，解决实际问题，对学生解决开放性试题具有极大的促进作用．比如，在课堂导入阶段，教师可以结合教学内容，参考新高考中的开放性试题，给学生提供一定的社会数据材料，打造出开放性话题，引导学生以小组为单位展开讨论．在这个过程中，学生的信息提取㊁分析㊁处理能力都会得到提高，再遇到开放性试题时也会更加从容．需要注意的是，在联系社会热点的同时，问题的设置要具备数学性，真正强化学生的数学思维，切实提高学科精神和学科核心素养．除此之外，教师还要拉近师生关系，让学生敢于表达㊁敢于质疑，在不断的辩论中形成完善的数学逻辑，能够学会倾听㊁交流㊁反思，理性地处理问题．总结：数学在高考中是十分关键的一科，新课改㊁新高考背景下，学生需要面对全新的试题，传统的教学模式㊁解题思路都需要进行创新．开放性试题作为新高考中的创新性题目类型之一，很多学生对此都感到困惑，在解题时不知该如何处理．这就需要教师在日常教学中㊁在解题过程中，有意识地培养学生举一反三的能力，强化学生的发散性思维，提升学生的核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］岳艳红，齐荣广．高中数学开放性问题的设计与教学［Ｊ］．语数外学习（高中版），２０１８（９）：５９．［２］赵春雷．基于学生个体差异的高中数学开放题教学策略研究［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（１２）：４－５．［３］李谋华．高中数学开放性题型的解题思路探究［Ｊ］．中学课程辅导（教学研究），２０１９（１４）：３８．［４］卢明．论高中数学教学中学生开放性思维训练［Ｊ］．课程教育研究（学法教法研究），２０１９（１３）：２２９．. All Rights Reserved.。

解析开放性问题答题思路开放性问题是指不仅仅可以用简单的“是”或“否”来回答，而是需要通过分析、论证和解释等方式进行回答的问题。

与封闭性问题相比，开放性问题更具挑战性，需要考生具备较高的思维能力和表达能力。

面对开放性问题，以下是一些解题思路的分析和总结：1. 确定问题的关键点在回答开放性问题之前，首先需要确保自己完全理解问题的关键点。

仔细阅读问题，找出问题中的关键词汇，通过梳理和分析关键词的含义与关系，进一步明确问题的要求和范围。

2. 建立思维框架在回答开放性问题时，需要建立一个完整的思维框架，将问题的要点和论证思路组织起来，确保回答的逻辑性和连贯性。

建立思维框架可以采用以下几种方式：a) 分类思维框架：将问题中的要点进行分类归纳，分别展开讨论。

b) 逐点分析思维框架：按照问题中的要点逐一展开分析和解释。

c) 对比思维框架：将问题中涉及的不同观点或者不同方面进行对比分析。

d) 因果关系思维框架：通过分析问题的因果关系，找出问题的根源或者影响因素，并进行论证和解释。

3. 提供充分的事实和论证在回答开放性问题时，需要提供充分的事实和论证，以支持自己的观点和结论。

可以通过以下几种方式提供充分的事实和论证：a) 引用相关研究或者实证数据：引用权威的研究成果或者实证数据，进一步增强回答的可信度。

b) 分析实际案例：通过分析实际案例，展示自己的观点，并进行逻辑推理和论证。

c) 进行逻辑思考：通过运用逻辑思维和推理，对问题进行分析和解释。

4. 注意回答的全面性和准确性在回答开放性问题时，需要保证回答全面准确。

全面性意味着回答需要考虑问题的各个方面，不偏颇于某一方面。

准确性意味着回答需要基于准确的事实和论证，避免主观臆断或者无根据的推测。

5. 注重语言表达和逻辑结构在回答开放性问题时，需要注重语言表达和逻辑结构的规范和清晰。

语言表达要准确简洁，避免使用生僻词汇和冗长的句子。

逻辑结构要清晰有序，避免重复、跳跃和混乱的逻辑推理。

高考数学试题中的开放型题王思俭近年来，随着素质教育思想的不断深入，人们日益认识到数学开放题在测试能力中，特别是测试创造能力水平中的重要作用，因此，加强对开放型题的研究和教学就显得十分必要，本文拟就高考试题中所出现的开放型问题作点归纳.1.数学开放型题的概念及特征所谓“数学开放题”是指“凡是答案不惟一或者条件不完备者具有多种不同的解法的习题，称之为开放题”.［1］数学开放题有以下几个特点：(1)不确定性：所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题；(2)探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索；(3)非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建；(4)发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论；(5)层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型；(6)发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平；(7)创新性：教师推以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者.2.高考试题中常见的开放型试题近两年来，全国高考试题、上海高考试题及各地的高考模拟试题中都出现了开放型试题，它不仅可以考查学生的素质水平，也对开放性教学起着良好的导向和推动作用，下面就高考试题中开放性试题常见的几种类型归纳如下：2.1 条件开放型若其未知的要素是假设，则称为条件开放题，这种类型的考题是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不惟一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成的，主要考查学生的基础知识的掌握程度和归纳探索能力.［例1］(1998年全国高考试题(文、理)第(18)题)如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形满足条件 ，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形).分析：如果A 1C ⊥B 1D 1，由三垂线定理逆定理知A 1C 1⊥B 1D 1，而使A 1C 1⊥B 1D 1的四边形有无穷多个，如正方形、菱形等都可以.［例2］(1999年南京市高考模拟试题第17题)设非零复数z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1，OZ 2，试用z 1，z 2的形式写出OZ 1⊥OZ 2的一个充分非必要条件为 .分析：要使OZ 1⊥OZ 2，只须OZ 1与OZ 2的夹角为90°，于是选择z 1=2iz 2，|z 1+z 2|=|z 1－z 2|，21z z =ai (a ∈R +)等均可. 图3—412.2 策略开放型若其未知的要素是推理，则称为策略开放题，这类题要求学生依据题目提供的题设信息，寻找切合实际的多种途径解决问题.［例3］(1998年全国高考试题(理)第(10)题)向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是( )分析：策略一：直接运算建立函数，画图较困难.策略二：直觉法，根据直觉判断，排除C 、D ，对A 、B 可以考虑等量水注入容器，A 的水面高，排除A.策略三：正难则反策略，利用特殊值法，取h =21H 时，从函数图象上看出注水量V >21V 0，于是排除A 、C 、D ，故选B.2.3 结论开放型若未知的要素是判断，则称为结论开放型题，这种类型的考题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散思维和所学基本知识的应用能力.［例4］(1999年上海市高考试题(理)第12题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为 (只需写一个可能值).分析：由于四面体不是正四面体，故棱长不可能都为1或都为2，因此，至少有两个棱长分别为1和2，这样的四面体有三个：图3—43其体积分别为1211,1214,611. 2.4 综合开放型如果一个问题只给出一定的情境、条件，解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题，对于这种问题，由于主体思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策略，得到各种不同的精确的或近似的、繁冗的或简练的，可推广的或难以推广的结论，这样的问题其条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性，主要是考查学生的分析与解决问题的能力.［例5］(1999年全国高考试题(文、理)第18题)a ，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ;②a ⊥β;③n ⊥β;④m ⊥a ，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是 .分析：题目的条件的结论都没有给出，所以是一道综合开放题，三个作条件、一个作结论有34C =4个命题，但根据线线、线面、面面位置关系，可得到只有两个命题是正确的即②③④⇒①，①③④⇒②.［例6］(1998年全国高考数学试题(理)第22题)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计).分析：本题只是用一般性的语言来描述问题的背景，其条件、解题策略与结论都呈现极大开放性，是一道综合开放型试题，主要考查建立函数关系、不等式的性质、最值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法，解决实际问题的能力，本题的实质是求最值，关键是准确建模，要求考生具有阅读、理解、表达与转化等综合素质，本题入手容易，稍有数学知识和良好心态的考生，都能顺利建立数学模型2a +4b +2ab =60(a ，b >0)，y =abk (k 为比例系数，k >0)，但欲获得圆满解决，必须有丰富的解题策略，因而该题是策略性开放较强的综合题.策略一：模式识别，本题实质是求ab 的最大值，30=a +2b +ab ≥22·ab +ab ，解得ab ≤32，取等号条件a =2b =6.策略二：整体把握，30=ab +a +2b =333ab ab ab +++a +2b ≥5532)3(b a ab ⋅⋅， ∴2(ab )4≤65·33，∴ab ≤18，当且仅当3ab =a =2b 时，取“=”. 该法巧拆“ab ”为“333ab ab ab ++”，须有使不等式右边出现(ab )4的目标意识和预见力. 策略三：问题转化1：换元法，令a =v +u ，2b =u －v ，由已知有：v 2+4v －60=u 2≥0.故v ≥6或v ≤－10(舍)，ab =222u v -=30－2v ≤18. 问题转化2：ab =)322(341)230(tt b b b +-=+-，利用基本不等式求解(其中t =b +1) 策略四：数形结合，消去a 化为y =k ·b b 23011-+，转化为(30，1)与(2b ，－b 1)(b >0)连线斜率问题，而点(2b ，－b1)在双曲线xy =－2的第四象限的一支上，利用图形求出即可.参考文献1.戴再平.数学习题理论.上海教育出版社，1996年第2版.2.付东峰，查子建，中考开放性试题的几种常见类型，数学教学，1999，2.。