高三数学专题04数学开放性问题怎么解

数学开放性问题怎么解陕西永寿县中学 特级教师安振平数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 明 理 由.讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.212)())((c S c S c S n n n +=++++211222(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S(i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得()[])2()1((1)2(122121+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即21a =0但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.(ii) 当 1≠q 时，qq a S n n --=1)1(， 代 入 上 式 得1,)1()1()1()1(1212221-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .综 上 可 知 , 存 在 常 数 11-=q a c ，使{}c S n +成等比数列.等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x . （2）解不等式 984022-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) ∵）x x x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立.∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2+102， ∴当x=10时，y max =102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f (x )=412-x (x <-2)(1)求f (x )的反函数f -1(x );(2)设a 1=1,11+n a =-f -1(a n )(n ∈N ),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由.讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y =412-x ,∵x <-2，∴x= -214y +, 即y =f -1(x )= - 214x +(x >0).(2) ∵21141n n a a +=+ , ∴22111n n a a -+=4. ∴{21na }是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3. ∵a n >0 , ∴a n =341-n .(3) b n =S n +1-S n =a n +12=141+n , 由b n <25m ,得 m >1425+n 对于n ∈N 成立.∵1425+n ≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m成立. 为了求a n ,我们先求21n a ,这是因为{21na }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式；（2）若函数),2,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数f(n)的最小值；(3)设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.（1）011=+-+n n a a.1,01,,01,01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加（2） n n n n f 212111)(+++++=, 221121213121)1(+++++++++=+n n n n n n f , 01122122111221121)()1(=+-+++>+-+++=-+∴n n n n n n n f n f .,)(是单调递增的n f ∴.127)2()(=f n f 的最小值是故 （3）n s n b n n 12111+++=⇒= ,,1)1(),2(1111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n n s s 即1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n . ,1,121211112-++++=-∴+=--n s s s s ns s s s n n.)(),2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥⋅-=-=+++∴-故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自然数n 恒成立.事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？例5深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。

据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.讲解设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色蓝色红色合计蓝色（85%）680 170 850红色（15%）30 120 150合计710 290 1000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为41.0290120≈，而它是蓝色的概率为59.0290170≈. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？（2）哪一年的规模最大？为什么？讲解（1）设第n年的养鸡场的个数为na，平均每个养鸡场出产鸡nb万只，由图（B）可知,1a=30，,106=a且点),(nan在一直线上，),6,5,4,3,2,1(=n从而;6,5,4,3,2,1,434=-=nnan由图（A ）可知, ,2,161==b b 且点),(n b n 在一直线上，),6,5,4,3,2,1(=n于是 ;6,5,4,3,2,1,54=+=n n b n 22),(26b a 个==2.156=（万只），2.3122=b a （万只）第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是万只；（2）由2.31)(,2,4131)49(5222max 2===+--=b a b a n n b a n n n n 时当（万只）， 第二年的养鸡规模最大，共养鸡万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.例7 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=. （2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=,4),1(3),1(32x y x y x y 由 消y 得 .3,31,03103212===+-x x x x 解出于是, A 点和B 点的坐标分别为A )332,31(，B （3，32-），.3162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131()316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，① ②32-(3，32-)332x y 42=由.32,1),1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得 即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .(i) 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ， 即CAB y ∠>,392时为钝角. (ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时3310为钝角.(iii)当222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 需要提及的是, 当△ABC 为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.例8 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足关系式)()()(a bf b af b a f +=⋅.（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若)()2(,2)2(N n nf u f n n ∈==-，求数列{u n }的前n 项的和S n . 讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在)()()(a bf b af b a f +=⋅中,令,0==b a 得 0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 在)()()(a bf b af b a f +=⋅中,令,1==b a 得)1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=，有 0)1(=f . （2）)(x f 是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 ,0)1()1(])1[()1(2=----=-=f f f f ,0)1(=-∴f),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=- 故)(x f 为奇函数.（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 ),(2)()()(2a af a af a af a f =+= )(3)()()(2223a f a a af a f a a f =+=, ……………………………… 猜测 )()(1a f naa f n n-=.于是我们很易想到用数学归纳法证明.1° 当n=1时，)(1)(01a f a a f ⋅⋅=，公式成立； 2°假设当n=k 时，)()(1a f kaa f k k-=成立，那么当n=k +1时，)()1()()()()()(1a f a k a f ka a f a a af a f a a f k k k k k k +=+=+=+，公式仍然成立.综上可知，对任意)()(,1a f na a f N n n n -=∈成立.从而 )21()21()2(1f n f u n n n ⋅==--. ,0)2(21)21(2)212()1(,2)2(=+=⋅==f f f f f∴21)2(41)21(-=-=f f ，),()21()21(1N n u n n ∈⋅-=-.故 ).(1)21(211])21(1[21N n S n n n ∈-=---=例9 若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n(1)求证：n n a a ≠+1； (2)令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a pa +是等比数列，并求出公比q 的值. 讲解 (1)采用反证法. 若n n a a =+1，即n nna a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾， 故n n a a ≠+1成立. (2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a .（3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a pa a p a nn n n ⋅+=+++11,所以02122=-+-+)()(q p a q p n , 因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p .我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗? 例10 如图，已知圆A 、圆B 的方程分别是()(),412,42522222=+-=++y x y x 动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=21a a x ． （1）求圆P 的轨迹方程，并证明：当21=a 时，点P 到点B 的距离与到定直线l 距离的比为定值；（2） 延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求PQ 的最小值；（3）如果存在某一位置，使得PQ 的中点R 在l 上的射影C ，满足,QC PC ⊥求a 的取值范围．讲解（1）设动圆P 的半径为r ，则｜PA ｜＝ｒ＋25，｜PB| = r + 21， ∴ |PA| －｜PB| = 2．∴ 点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 1322=-y x （x ≥1）．若21=a , 则l 的方程21=x 为双曲线的右准线, ∴点P 到点B 的距离与到l 的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y = k ( x －2 )代入双曲线方程, 得()034432222=--+-k x k xk由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆0334034022212221k k x x k k x x ， 解得2k ＞３． ∴ ｜PQ ｜＝632463)1(6||1222212>-+=-+=-+k k k x x k ． 当直线的斜率存在时，221==x x ，得3,321-==y y ，｜PQ|＝６． ∴ ｜PQ|的最小值为６．（3）当PQ ⊥QC 时，P 、C 、Q 构成Rt △. ∴ R 到直线l 的距离｜RC|＝a x PQ R -=2|| ① 又 ∵ 点P 、Q 都在双曲线1322=-y x 上，百度文库- 好好学习，天天向上-11 ∴221||21||=-=-QPxQBxPB．∴21||||=-++QPxxQBPB，即24||-=RxPQ．∴42||+=PQxR②将②代入①得aPQPQ-+=42||2||，｜PQ｜＝２－４a≥6．故有ａ≤－１．“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.。