电磁场与电磁波理论基础 作业答案

一、填空题1、电荷守恒定律的微分形式是，其物理意义是[任何一点电流密度矢量的散度等于该点电荷体密度随时间的减少率]；2、麦克斯韦第一方程=⨯∇HDJ t ∂+∂，它的物理意义是[电流与时变电场产生磁场]；对于静态场，=⨯∇H[J ]]；3、麦克斯韦第二方程E⨯∇B ∂，它表明[时变磁场产生电场]；对于静态场,E⨯∇=[0],它表明静态场是[无旋场]；4、坡印廷矢量S 是描述时变电磁场中电磁功率传输的一个重要的物理量,S=[E H ⨯],它表示[通过垂直于功率传输方向单位面积]的电磁功率；5、在两种不同物质的分界面上,[电场强度，（或E ）]矢量的切向分量总是连续的, [磁感应强度，（或B ）]矢量的法向分量总是连续的；6、平面波在非导电媒质中传播时,相速度仅与[媒质参数，（或μ、ε）]有关,但在导电媒质中传播时,相速度还与[频率，（或f ，或ω）],这种现象称为色散；7、两个同频率,同方向传播,极化方向互相垂直的线极化波合成为圆极化波时,它们的振幅[相等],相位差为[2π，（或－2π，或90）]；8.均匀平面波在良导体中传播时,电场振幅从表面值E 0下降到E 0/e 时 所传播的距离称为[趋肤深度],它的值与[频率以及媒质参数]有关。

二、选择题1、能激发时变电磁场的源是[c]a.随时间变化的电荷与电流 b 随时间变化的电场与磁场c.同时选a 和b2、在介电常数为ε的均匀媒质中,电荷体密度为ρ的电荷产生的电场为),,(z y x E E =,若E Dε=成立,下面的表达式中正确的是[a]a. ρ=⋅∇Db. 0/ερ=⋅∇Ec. 0=⋅∇D3、已知矢量)()23(3mz y e z y e x e B z y x +--+=,要用矢量B 描述磁感应强度,式中 必须取[c(0=⋅∇B )] a. 2 b. 4 c. 64、导电媒质中,位移电流密度d J 的相位与传导电流密度J的相位[a]a.相差2πb.相同或相反c.相差4π5、某均匀平面波在空气中传播时,波长m 30=λ,当它进入介电常数为04ε=ε的介质中传播时,波长[b] a.仍为3m b.缩短为1.5m c. 增长为6m6、空气的本征阻抗π=η1200,则相对介电常数4=εr ,相对磁导率1=μr ,电导率0=σ的媒质的本征阻抗为[c].a.仍为)(120Ωπb. )(30Ωπc. )(60Ωπ 7、z j y z j x e j e e e E π-π-+=2242,表示的平面波是 [b] a.圆极化波 b.椭圆极化波 c.直线极化波8、区域1(参数为0,,10101===σμμεε)和区域2(参数为0,20,520202===σμμεε)的分界面为0=z 的平面。

（2）
（3）
【习题3.4】
解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即J=0
将 表示为复数形式，有
由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式
所以，电场的瞬时值形式为
（2） 处的表面电流密度
（3） 处的表面电荷密度
（4） 处的位移电流密度
【习题3.5】
解：传导电流密度 （A/ ）
位移电流密度
【习题3.6】
（2）内导体表面的电流密度
（3）
所以，在 中的位移电流
【习题2.13】
解：（1）将 表示为复数形式:
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
而磁场的瞬时表达式为
（2）z=0处导体表面的电流密度为
z=d处导体表面的电流密度为
【习题2.14】
已知正弦电磁场的电场瞬时值为
式中
试求：（1）电场的复矢量；
（2）磁场的复矢量和瞬时值。
由安培环路定律： ，按照上图所示线路积分有
等式左边
等号右边为闭合回路穿过的总电流
所以
写成矢量式为
将 代入得
【习题3.18】
解：当 时， ，
当 时， ，
这表明 和 是理想导电壁得表面，不存在电场的切向分量 和磁场的法向分量 。
在 表面，法线
所以
在 表面，法线
所以
【习题3.19】
证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程
（1）
和 （2）
若采用库仑规范，即 （3）
对（1）式两边取散度，有
将（2）、（3）式代入，得
故电流连续性也是满足的。
【习题4.3】解：
【习题4.4】
证明：因为 即
故 满足连续性方程。
另外， 满足洛仑兹条件。

r a=2r jq 题2-11E 2E 3E 题2-2图()004,,()400P ,,oYZ1r 2r r 1R 2R 18q C=q 题2-3图第二章 静电场 2-1．已知半径为r a =的导体球面上分布着面电荷密度为0cos S S ρρϑ=的电荷，式中的0S ρ为常数，试计算球面上的总电荷量。

解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。

由球面积分，得到()220cos sin S S S Q dS r d d p p=r =rq q q j òòòò220022000200cos sin cos sin sin20S S S r d d rd d a d p pp pp =rq q q j=r q q q j =r p q q =òòòòò2-2．两个无限大平面相距为d ，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。

解 假设上板带正电荷，面密度为S r ；下板带负电，面密度为S -r 。

对于单一均匀带电无限大平面，根据书上例 2.2得到的推论，无限大带电平面的电场表达式为2SE r =e 对于两个相距为的d 无限大均匀带电平面，根据叠加原理 123000SE ,E ,E r ===e2-3．两点电荷18C q =和24C q =−，分别位于4z =和4y =处，求点(4,0,0)P 处的电场强度。

解 根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强度矢量为点S 1和S 1处点电荷在P 处产生的电场强度的矢量和，即()112233010244q q R R =+pe pe R R E r 式中11144x z ,R =-=-==R r r e e 22244x y ,R =-=-==R r r e e代入得到()()()()()330444844142x y x z x y z éù-êú-êú=-êúpe êúëûù=+-úûe e e e E r e e e 2-7．一个点电荷+q 位于（-a , 0, 0）处，另一点电荷-2q 位于（a , 0, 0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？解 根据点电荷电位叠加原理，有120121()4q q u R R r πε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦式中()11y z x a y R =-=+++=R r r e e e()22y z x a y R =-=-++=R r r e e e代入得到()4q u r πε⎡⎤=电位为零，即令0()04q u r πε⎡⎤== 简化可得零电位面方程为()()2233330x a x a y z ++++=根据电位与电场强度的关系，有()()()()()()()()3322222222222222203322332222222()()2422x y z x yx a y z x a y z x a y z x a y z x a y u u u u xy z x a y z z q x a x a y y z z E r r e e e e e πε−−−−−−⎡⎤∂∂∂=−∇=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎧⎛⎫⎪⎡⎤⎡⎤=−−++− ⎪⎨⎣⎦⎣⎦ ⎪⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎣⎦⎣+++−+++++−+++++++⎦ ⎝−⎭z e ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭要是电场强度为零，必有 000x y z E ,E ,E ===即()()()()()()()()332233222222222222222233222222202020x a x a y y z z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z −−−−−−+++−+++++−⎧⎡⎤⎡⎤+++++−+−++−=⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎪⎣⎣⎩+⎦⎦此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t tρ∂∂∇⨯=+∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-∂或AE tϕ∂+=-∇∂。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.sA ds φ=⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。

若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。

若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。

1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭3x y z x y z∂∂∂=++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。