三弦定理的若干应用
- 格式：pdf
- 大小：109.02 KB
- 文档页数：3
较长 的 一 条 对 角 线 , O 为
A B CD 内 部 一 点 , O E ⊥
AB 于 E, OF ⊥AD 于 F,
O G ⊥A C 于 G , 求证 : A E·
A B + A F·A D = A G·A C 。
证明 因 O E ⊥AB 于
图9
E , O G ⊥A C 于 G , O F ⊥A D
= 3 A C 。求证 :
BC =
1 2
CD 。
证 明 连 结 BD , 由
2AB + AD = 3 AC, 得 AB
+
1 2
AD =
3 2
A C。因
图7
∠BA C = 30°, ∠CA D = 90°,故 ∠BA D = 120°。所以
sin ∠BA C =
1 2
, sin ∠CA D = 1 , sin ∠BA D =
推论 ,得 2cosα·A N = A B + A C 。因 S △ABC = S △ABL +
S △A CL =
1 2
A L ·sinα·( A B +
A C) , 故
S △AB C =
的半径为 R ,则 sin (α+β) =
BD 2R
, sinβ =
CD 2R
,
sinα =
BC。 2R
将这三个式子代入 ①, 即得
图8
A C·BD = A B ·CD + A D·B C 。
例 7 《( 数学通报》2001 年 2 月号问题第 1296
题) 如 图 9 , A C 是 A B CD
∠CPD = ∠D PE = ∠EPA
= 36°。分 别 对 PC 、PB 、
PE ; PE 、PC 、PA 和 PD 、
图6
PC 、PE 应 用 三 弦 定 理 , 得
PC·sin108°= PB·sin72°+ PE·sin36°①, PE·sin108°=
PC·sin36°+ PA ·sin72°②, PD ·sin72°= PC·sin36°+ PE·sin36°③。
14 中学数学教学 2004 年第 1 期
三弦定理的若干应用
辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校 侯明辉 (邮编 :114300)
三弦定理 过圆上一点引该圆任意三条弦 , 则中 间弦与最大角正弦的积等于其余两弦与它们不相邻角
正弦积的和 。
①+ ②- ③, 得 PC·sin108°+ PE·sin108°- PD · sin72°= PB ·sin72°+ PA ·sin72°, 即 PC + PE - PD = PB + PA 。故 PC + PE = PA + PB + PD 。
例 5 如图 7 , 在凸四边形 AB CD 中 , ∠BA C = 30°, A D ⊥A C ,且 2 A B + A D
PC·sinα+ PA ·sinβ。
略证 连 结 AB 、B C ,
作 ∠CB Q = ∠A B P , B Q 与
PC 的延长线相交于 Q , 则易
知 △B CQ ∽ △BA P。 故
图1
∠Q
=α,
BQ PB
=
CQ 。在 PA
△PB Q
中应用正弦定理 ,并注
意到 sin ∠PB Q = sin (α+β) ,即可得证 。
(收稿日期 2003 - 09 - 03)
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2004 年第 1 期 中学数学教学 1 5
运用三弦定理解题证题可起到化繁为简 、化难为
易的作用 ,而且其应用十分广泛 。本文通过范例 ,论述 三弦定理在中学几何与代数中的若干应用 。
1 三弦定理及其逆定理
三弦定理 如图 1 , PA 、PB 、PC 是 ⊙O 的三条
弦 ,记 ∠APB = α, ∠B PC =
β,则 PB·sin (α+β) =
B F·sin ∠EB C = BD·sin ∠EB F + B E·sin ∠FB C ,
因 BD = B E = A C , ∠EB F = ∠A CF , ∠FB C =
∠FA C , ∠EB C = 180°- ∠A FC ,所以 B F·sin ∠A FC
= A C·sin ∠A CF + A C·sin ∠FA C , 从而 B F = A C
16 中学数学教学 2004 年第 1 期
是平行四边形 ,所以 S △ADC = S △ABC = S △ABD 。所以 A E·A B + A F·A D = A G·A C 。
21114 证明面积相等
例 8 ( 第 28 届国际数学
奥林匹克竞赛试题) 如图 10 , 设
PA ·sin ∠B PC + PB ·sin ∠A PC 。
将已知条件代入此式 , 得 PC·sin90°= a·sin60°+
b·si n30°, 即
PC =
3 2
a
+
1 2
b=
3 a + b。 2
例 2 (1987 年江西省南昌市初中数学竞赛试题)
如图 4 , 已知 P 是正方形的
外接圆A D上任意一点 , 那么
游资源 ,建有三峡工程等多座大型水电站 ,随着 2003 年
三峡工程首批机组发电 ,估计当年将有 200 万人次来参
观三峡大坝 (参观门票按每张 50 元) , 由此获得的旅游
总收入可达到 7102 亿元 , 相当于当年三峡工程发电收
入的 26 % (每度电收入按 011 元计) 。据测算 , 每度电
+β) = PC·sinα+ PA ·sinβ,
则 P、A 、B 、C 四点共圆 。
证明 如图 2 ,过 P、A 、
C 三点作圆 , 交射线 PB 于
B′, 则由三弦定理得
PB′·sin (α+β) = PC·sinα+ PA ·sinβ,
图2
由已知 PB·sin (α+β) = PC·sinα+ PA ·sinβ,
3 2
, 从而
A B ·sin ∠CA D + A D·sin ∠BA C = A C·sin ∠BA D 。
由三弦定理的逆定理知 A 、B 、C 、D 四点共圆 ,
∴∠CBD = ∠CA ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = 90°, ∠BDC = ∠BA C = 30°。
因此 , B C =
1 2
CD 。
21113 证明线段的和积关系
PA + PC的值是
。
PB
解 显 然 ∠A PB =
∠CPB = 45°。对 PA 、PC 、
PB 应 用 三 弦 定 理 的 推 论 ,
图4
得 PA + PC = 2cos45°·PB =
2
PB
,即
PA + PB
PC
=
2。
21112 证明线段的和 、差 、倍 、分问题
例 3 ( 1991 年 初 中 数 学 联 赛 试 题) 如 图 5 , 在
·sin sin
∠A ∠A
CF FC
+
A
C
·sin sin
∠FA C ∠A FC
=
A
C
·A F AC
+
A
C
·C F AC
=
A F + CF。
例 4 如图 6 , P 是正五边形 AB CD E 的外接圆的
AB上任意一点 ,求证 :
PC + PE = PA + PB +
PD 。
证 明 显 然 ∠B PC =
A D ,并用三角形的面积公式 ,得 A E·A B ·S △ADC + A F
·A D·S △ABC = A G·A C·S △ABD 。因为四边形 A B CD
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
锐角 △AB C 的 ∠A 的平分线交
B C 于 L , 交 △AB C 的外接圆于
N ,自点 L 分别向 AB 和 A C 作 垂线 L K 和 L M , 垂 足 为 K 和
图 10
M 。求证 : △AB C 的面积等于四边形 A KN M 的面积 。
证明 设 ∠BA N = ∠N A C = α, 则由三弦定理的
可创产值 5 元 , 而每 10 万元产值就可以提供一个就业
岗位 。待三峡工程全部建成后 , 其年发电量比 2003 年
宜昌市所有水电站的年发电总量还多了 75 % , 并且是
2003 年宜昌市除三峡工程以外的其它水电站年发电量
总和的 4 倍 。
(1) 旅游部门测算旅游总收入是以门票收入为基
础 ,再按一定比值确定其它收入 (吃 、住 、行 、购物 、娱乐
例 6 (托勒密定理) 如图 8 , 四边形 AB CD 内
接于 ⊙O ,求证 : A C·BD = A B ·CD + A D·B C 。
证明 设 ∠BA C = α,
∠DA C =β, 则由三弦定理 ,
得 A C ·sin (α + β) = AB ·
sinβ+ A D ·sinα ①。设 ⊙O
△ABC 中 , AB < A C < B C ,
