2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 含解析

第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例[A组学业达标]1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是()A．a B.2aC.12a D.22a解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C ＝BCsin∠BAC，即BC＝12a22＝22a.故选D.答案：D2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.则A，B两点间的距离为()A．50 2 m B．50 mC．50 3 m D．50 6 m解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin C，即5012＝AB22，解得AB ＝50 2.故选A.答案：A3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C 正前方有一高为a 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为( ) A.2a B.3a C.332aD.32a解析：由题意，∠BCA ＝∠BAC ＝30°， ∴AB ＝BC ＝a ，AC ＝ 3 a ，△ADC 中，CD ＝AC sin 60°＝32 a ，故选D. 答案：D4．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 相对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝( ) A.32 B.3－1 C ．2－ 3D.22解析：在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin （45°－15°）＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD ＝50（6－2）sin 45°50＝3－1.由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1，故选B.答案：B5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于()A.217 B.2114C.32114 D.2128解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°. 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.故选B.答案：B6．有一段长为10 m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，所以BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．答案：10 27．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．解析：设t 小时时，B 城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°＝302，即4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.故|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（22）2－4×74＝1.答案：18．在点O 观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P ，一分钟后，该物体位于点Q ，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R ，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ ＝________．解析：由物体做匀速直线运动，得PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.如图，在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ .在△OPR 中，由正弦定理，得2sin （90°＋30°）＝OPsin ∠ORP ＝cos ∠OPQ sin ∠ORP.同理在△ORQ中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQsin ∠ORQ ＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ，所以1sin 30°·sin 120°2＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ ·sin ∠ORPcos ∠OPQ ＝tan ∠OPQ ，所以tan ∠OPQ ＝sin 120°2sin 30°＝32.答案：3 29．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝32a，∵BCsin 30°＝CDsin 45°，∴BC＝64a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a.10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 (n mile)，AC＝10×2＝20 (n mile)，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28 (n mile)．所以渔船甲的速度为12BC ＝14(n mile/h)． (2)在△ABC 中，AB ＝12 n mile ，∠BAC ＝120°， BC ＝28 (n mile)，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.[B 组 能力提升]11．(2019·桂林高一检测)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( ) A.7 km B.13 km C.19 kmD.10－3 3 km解析：如图所示，15 min ＝14 h.设甲、乙两船行驶14 h 分别到D 、C 点． ∴AD ＝14×8＝2 km. BC ＝14×12＝3 km.∵∠EBC ＝60°，∴∠ABC ＝120°. ∵AB ＝BC ＝3， ∴∠A ＝∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由余弦定理可得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝32＋32－2×3×3cos 120°＝27.∴AC＝3 3.在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠DAC＝4＋27－2×2×33cos 30°＝13.∴DC＝13.所以B选项是正确的．答案：B12．(2019·承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔1 5000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108 s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为()A．(15－183sin 18°cos 78°)kmB．(15－183sin 18°sin 78°)kmC．(15－203sin 18°cos78°)kmD．(15－203sin 18°sin 78°)km解析：如图，∠A＝18°，∠ACB＝60°，AB＝1 000×108×13 600＝30(km)∴在△ABC中，BC＝30sin 18°sin 60°＝203sin 18°，∵CD⊥AD，∴CD＝BC sin∠CBD＝BC×sin 78°＝203sin 18°sin 78°.山顶的海拔高度＝15－203sin 18°sin 78° (km)．故选D.答案：D13．(2019·丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以观察到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中CD＝23，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，则AB＝________．解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，在Rt△ACD中，AC＝3CD＝6，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°＝16＋36－2·4·6·1＝27.2答案：2714．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿________方向去追，需要________小时才追赶上该走私船．解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10x cos 120°化简得32x 2－30x －27＝0， 解得x ＝32或x ＝－916(舍去)， 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 由正弦定理， 得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314，所以∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． 38°13′＋45°＝83°13′. 答案：北偏东83°13′ 3215．某人在塔的正东，沿着南偏西60°的方向前进60米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为60°，求塔高．解析：如图，设AE 为塔，某人在塔正东的B 点，他在B 点沿南偏西60°前进60米后到达C 点，则BC ＝60，∠BAC ＝90°＋45°＝135°， ∠ABC ＝90°－60°＝30°， 在△ABC 中， 根据正弦定理有BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，即60sin 135°＝AC sin 30°， 解得AC ＝30 2.过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接EG ，则∠AGE 为直线EG 与平面ABC 所成的线面角， 即为沿途测得塔顶的最大仰角， 故∠AGE ＝60°，在△ABC 中， S △ABC ＝12AG ·BC ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ， 即AG ＝AC ·BC ·sin ∠ACBBC＝302×sin(180°－135°－30°)＝15(3－1)．又因为AE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以AE ⊥AG ， 在直角△AEG 中，塔高AE ＝AG ·tan ∠AGE ＝15(3－1)×tan 60°＝15(3－3)． 答：塔高为15(3－3)米．16．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始影响基地持续2 h ．求台风移动的方向． 解析：如图，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一条直线上，且AD ＝20 n mile ，AC ＝20 n mile.由题意，得AB ＝20(3＋1)n mile ，DC ＝20 2 n mile ，BC ＝102(3＋1)n mile.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向，即北偏西45°方向．- 11 -。

§3解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)①测量A,C,b②测量a,b,C③测量A,B,a④测量a,b,B则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.答案:A2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.20√63B.10√6C.10√63D.20√2解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°, 所以∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45°=20sin60°,所以AO=20sin45°sin60°=20√63(m).答案:A3.已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过√3 h,该船实际航程为()A.2√15kmB.6 kmC.2√21kmD.8 km解析:如图,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 km/h,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4 km/h,∠AOB=120°,所以∠OAC=60°,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+42-2×2×4cos60°=2√3(km/h).经过√3 h,该船的实际航程为2√3×√3=6(km). 答案:B4.甲船在B 岛的正南方10 km 处,且甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是( ) A.1507 minB.157 hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h 后甲船处于点P 处,乙船处于点Q 处,两船的距离为s ,则在△BPQ 中,BP=(10-4x ) km,BQ=6x km,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s 2=PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos ∠PBQ ,即s 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )·6x ·cos 120°=28x 2-20x+100.当x=--202×28=514时,s 最小,此时514 h =1507 min . 答案:A5.已知一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) A.20(√2+√6)海里/时 B.20(√6−√2)海里/时 C.20(√6+√3)海里/时D.20(√6−√3)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N 处,由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°, 则∠MSN=180°-105°-45°=30°. 而MS=20海里,在△MNS 中, 由正弦定理得MNsin30°=MSsin105°, 即MN=20sin30°sin105°=10sin (60°+45°) =10sin60°cos45°+cos60°sin45°==10(√6−√2)(海里).6+24=20(√6−√2)(海里/时).故货轮的速度为10(√6−√2)÷12答案:B6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2 500(√3-1) mB.5 000√2mC.4 000 mD.4 000√2m解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10 000 m,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得10000=BC,,又cos 75°=BDBC·cos 75°=2 500(√3-1)(m).所以BD=10000·sin30°sin45°答案:A7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析:设t h后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos 45°≤302.化简得4t2-8√2t+7≤0,所以t1+t2=2√2,t1·t2=7.4从而|t1-t2|=√(t1+t2)2-4t1t2=1.答案:B8.如图,已知海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3√2n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5 n mile的C处,则两艘船之间的距离为n mile.解析:连接AC,BC=AB=5 n mile,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以AC=5 n mile,且∠DAC=180°-75°-60°=45°.在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3√2)2+52-2×3√2×5×cos 45°=13,所以CD=√13n mile.故两艘船之间的距离为√13n mile.答案:√139.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A 的俯角β=45°.已知塔高60 m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=30(√6+√2)(m).所以CD=AC·sin 45°=30(√3+1)(m).答案:30(√3+1)m10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50 m,则山高MN=m.解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50 m,所以AC=50√2m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,ACsin45°=AMsin60°,因此AM=50√3m.在Rt△MNA中,AM=50√3m,∠MAN=60°,由MNAM =sin 60°,得MN=50√3×√32=75(m).答案:75 11.导学号33194045如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,所以a=b-4,c=b+4,因为∠MCN=120°,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120°,解得b=10.(2)由题意,得ACsinθ=BCsin(60°-θ)=12sin120°,所以AC=8√3sin θ,BC=8√3sin(60°-θ),所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8√3sin θ+8√3sin(60°-θ)=8√3sin(60°+θ)(0°<θ<60°).所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8√3百米.12.导学号33194046如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5 km 后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行.(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?解(1)设岛M到直线AB的距离MC为d km,则AC=d tan α km,BC=d tan β km.由AC-BC=AB,得d tan α-d tan β=5,d=5tanα-tanβ.当α=2β=60°时,d=√3-33=5√32>3,所以此时没有触礁的危险.(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d>3,即5tanα-tanβ>3.因为0<β<α<π2,所以tan α-tan β>0,所以tan α-tan β<53,所以当α,β满足tan α-tan β<53时,该船没有触礁的危险.方法二:设CM=x km,由AB=BM,即5sin (α-β)=x cosαcosβ,解得x=5cosαcosβsin (α-β), 所以当5cosαcosβsin (α-β)>3时没有触礁危险.13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10 n mile 的C 处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h 的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1 min).解如图,设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h,则AB=21x n mile, BC=9x n mile, AC=10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,根据余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos 120°, 即(21x )2=102+(9x )2-2×10×9x cos 120°, 亦即36x 2-9x-10=0, 解得x 1=23,x 2=-512(舍去), 所以AB=14 n mile,BC=6 n mile . 由余弦定理可得cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=142+102-622×14×10≈0.928 6,所以∠BAC ≈21.8°, 所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为23h =40 min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40 min .由Ruize收集整理。

§3 解三角形的实际应用举例双基达标(限时20分钟)1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107(km)．答案 D2．D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从D 、C 两点测得A 点仰角分别是α、β(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )． A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析 由已知得∠DAC ＝β－α，由正弦定理AC sin α＝DC sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α). 答案 A 3．如右图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB 等于( )．A ．10mB ．53mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1)m解析 在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1)(m)．答案 D4．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，∴AC ＝AB ＝120m.∴河宽CD ＝12AC ＝60m. 答案 605．海岸边有一炮台高30m ，海中有两小船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两小船与炮台底部连线成30°角，则两小船相距________．解析 如图，设CD 为炮台，A ，B 为两小船，由题意CD ＝30m ，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ACB ＝30°，在Rt △ACD 中，AC ＝30tan60°＝303(m)，同理BC ＝30tan45°＝30(m)，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(303)2＋302－2×30 3×30cos30°＝900，∴AB ＝30(m)．答案 30m6．如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行；货轮从AC的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50海里．若两船同时起航，则两船相遇之处距C 点多少海里？解 设两船相遇之处距C 点x 海里，由题意可知，CD ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝252(海里)， 则100－x 2v ＝(252)2＋x 2－2×252x cos 45°v， 解得x 2＝5 0003，∴x ≈40.8(海里)． 所以，两船相遇之处距C 点40.8海里．综合提高（限时25分钟）7．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表( )．A ．5mB ．10mC ．102mD ．103m解析 如下图所示，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m.在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)， 即当坡底伸长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C8．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析 如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝3a (km)．答案 B9．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10nmile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是_____nmile.解析 在△ABC 中，由正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C ，即BC ＝AB sin A sin C＝10sin 60°sin (180°－60°－75°) ＝5 6.答案 5 610．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．解析 如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α)， 所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案 30°11．如图所示，在高出地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则tan α＝3060＝12， 又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060， 又tan(α＋45°)＝tan 45°＋tan α1－tan α＝3 ∴x ＋3060＝3，∴x ＝150m ，即电视塔的高度为150m.12．(创新拓展)在南海伏季渔期中，我渔政船在A 处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解 如图所示，设渔船沿B 点向北行驶的速度大小为v ，则我船行驶的速度大小为3v ，两船相遇的时间为t ，则BC ＝vt ，AC ＝3vt ，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋vat ，∴2v 2t 2－vat －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a2v(舍去)．∴BC ＝a ，∴∠CAB ＝30°. 即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a 海里处相遇．。

3 解三角形的实际应用举例学习目标1.准确理解仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握一些常见问题的测量方案.3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．答案梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？答案可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．知识点三 把实际问题抽象为数学问题思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在北偏西75°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD ？该问题的数学本质是什么？答案 先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°，再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan 8°.问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面ABC ，AB ＝m ，用α，β，m ，γ表示DC 的长．梳理 解与三角形有关的应用题的步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语． (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．1．在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(×)2．在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影．(√)类型一 平面内的测量问题 命题角度1 水平平面内的测量问题例1 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°， ∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，60°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 命题角度2 竖直平面内的测量问题例2 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m.∴BD ＝(10＋x ) m ，∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33，解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ADC ＝10sin 15°·sin 30°＝206－2.∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．跟踪训练2 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达点D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m ．(精确到1 m) 答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)． 答 山的高度约为811 m. 类型二 空间中的测量问题例3 如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点处测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点处测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 测量方向角求高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某一个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m考点 解三角形求高度 题点 测量方向角、仰角求高度 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC，BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ×tan 60°＝106(m)．1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离 答案 A解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2 (m)． 2．如图，某人向正东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13 千米，那么x 的值是 ．考点 几何图形中的计算问题 题点 三角形有关的几何图形计算问题 答案 4解析 由余弦定理，得x 2＋9－3x ＝13，整理得x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1(舍)．3．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为 km.考点 几何图形中的计算问题 题点 四边形有关的几何图形计算问题 答案 7解析 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ， 整理得cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49， 故AC ＝7.4.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝ 米．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD，所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×tan 60° ＝156(米)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．3．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎫1＋33 m B ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C ．20(1＋3) m D ．30 m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ， BC ＝DC ＝200 3 m.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D解析 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°， 解得BC ＝5 6 n mile.4．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10°D ．南偏西10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.5．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米考点 解三角形求距离 题点 测量俯角(仰角)求距离 答案 A解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米)．6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15 m B．5 mC．10 m D．12 m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10 m.7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )A.30 mB.1532 mC.15 3 mD.45 m考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用答案 B 解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋(519)2－1522×10×519＝7219，∠ABC ∈(0，π)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1532(m)． 二、填空题8.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝ .考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度答案 3π4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝32＋(22)2－(29)22×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4. 9．要测量对岸两点A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为 km.考点 解三角形求距离题点 测量两个不可到达点间的距离答案 5解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 km.∴A ，B 之间的距离为 5 km. 10．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为 m.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 30 6解析 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.三、解答题11．如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度．(精确到0.01 m ，其中3≈1.732) 考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 (1)由题意，得∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42，即BC 的长为4 2 m.(2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝6＋24， 则DC ＝2＋23，所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16 (m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16 m.12．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，最快用多少小时能追上乙船？ 考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12，128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)， ∴甲船最快用34小时能追上乙船． 13．在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B ，C ，D 三市的距离．考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 在△ABC 中，由题意得AB －AC ＝1.5×8＝12 (km)．在△ACD 中，由题意得AD －AC ＝1.5×20＝30 (km)．设AC ＝x km ，AB ＝(12＋x ) km ，AD ＝(30＋x ) (km)．在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝256－24x 40x ＝32－3x 5x ， 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝256－60x 68x ＝64－15x 17x. ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x ，即64－15x 17＝3x －325， 解得x ＝487. ∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587km. 即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327 km ，487 km ，2587km. 四、探究与拓展14．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为 m.考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度答案 10(3－3)3解析 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m 到达C 处，即BC ＝40 m ，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°， ∴AC ＝20 2 m.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大，在△ABC 中，由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝202×40×sin 15°40＝202sin 15°，∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202⎝⎛⎭⎫22×32－22×12＝10(3－1)． 在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， ∴塔高为⎝⎛⎭⎫10－1033 m. 15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离均为1千米．在△ABC 中，AB ＝ 3 千米，AC ＝1 千米，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1 千米．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1 千米，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1 千米． ∵BC 12×60＝5， ∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。