数学必修4课后导练：3.2二倍角的三角函数 含解析 精品

课堂 练习
精讲 精练 例2
3cos2 22.5
小结
作业
精讲精练
引入
问题
例 2.求证： 1 sin 2 cos 2 tan
公式
1 sin 2 cos 2
例1
课堂 练习
练习 P106 4
精讲 精练 例2
小结
作业
小结
C C

S S
C2
已知 tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角，求 2 的值
7
3
练习二
例5 练习三 小结 作业
作业
小结
释疑
1 cos 2 cos2 ;
练习一
2
例3
1 sin 2sin2 ;
例4
2
练习二
1 sin (cos sin )2;
22
高中数学课件
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3.2二倍角的三角函数
§3.2二倍角的三角函数(1) §3.2二倍角的三角函数(2)
3.2 二倍角的三角函数
引入 问题
公式
例1
§3.2 二倍角的三角函数 课堂 练习
精讲 精练 例2
小结
作业 1
知识探究：
引入
问题
计算： (1) sin cos ;
公式
88
(2) cos2 sin2 ;
例5
1 sin (cos sin )2;
22
练习三
小结
作业
作业
作业 释疑
练习一
P108 习题3.2
例3
例4
1(3)(4); 3, 5(1)(4) 6(2)(3) 练习二

3.2 二倍角的三角函数知识梳理一、倍角公式1.公式：sin2α=2sinαcosα；tan2α=αα2tan 1tan 2-； cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.2.公式的推导：在两角和的三角函数公式S α+β、C α+β、T α+β中，令α=β，就可以得到二倍角的三角函数公式S 2α、C 2α、T 2α，如在sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中，如果α=β，则sin2α=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα，其他两个同理可得，在余弦中，再应用平方关系式，可得另外的两种形式.推导过程也说明倍角公式是两角和的三角函数公式的特例. 知识导学要学好本节内容，可以从两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，通过例题的解答，对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想. 疑难突破1.二倍角公式成立的条件是何，应当如何理解两倍角公式？剖析：(1)公式成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+2π且α≠2πk +4π(k ∈Z )时才成立，即首先保证tan2α和tanα的存在. (2)二倍角的理解：倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 2.对二倍角公式应如何灵活的进行变式应用？ 剖析：对二倍角公式的应用不能只是局限于记忆，还需要对公式进行进一步的分析和深化理解，比如对公式两边的式子结构、次数、各公式之间的内在联系等多方面要进行细致考虑.。

3.2 二倍角的三角函数1、设1sin+=43πθ⎛⎫⎪⎝⎭,则 2sinθ=( )A.7 9 -B.1 9 -C. 1 9D. 7 92已知是第三象限角,若,那么( ) A.B.C.D.3、cos72cos36︒-︒等于( )A. 323-B. 1 2C.1 2 -D.1 4 -4、sin20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是( )A. 1 4B.3 2C. 1 2D.35、已知为锐角,且,则的值为( ) A.B.C.D.6、已知5sin413xπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,则sin2x的值等于( )A. 120 169B. 119 169C.120 169 -D.119 169 -7、已知α是第三象限角,24sin25α=-,则tan2α等于( )A. 4 3B. 3 4C.3 4 -D.4 3 -8、4cos50tan40︒-︒=( ) A. 2B. 23 2C.D. 19、设1cos 6622a =︒-︒,22tan131tan 13b ︒=+︒,c =,则有( ) A. a b c >>B. a b c <<C. a c b <<D. b c a <<10、已知α为第二象限角, sin cos 3αα+=,则cos2α= ( )A. 3-B. 9-C.D. 11、若sin π163α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 12、已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则 2cos θ=________.13、若(0,)2πα∈且221 ,4sin cos αα+=则tan α的值等于________ 14、已知11tan(),tan()2223βααβ-=-=-则()tan αβ+=________. 15、已知223sin ?2sin 1?αβ+=,3sin 22sin 20αβ-=,且α、β都是锐角,求2αβ+的值.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：略2答案及解析：答案： C解析：把已知代入上式得:, 且是第三象限角, 所以在第一或第二象限, 所以.3答案及解析：答案：C解析：cos72cos362sin54sin18︒-︒=-︒︒2cos36sin18cos18cos18-︒︒︒=︒sin 7212cos182︒=-=-︒.4答案及解析：答案：A解析：原式()[]11sin 90sin 50cos 40cos6022=︒-︒+︒-︒1111cos 40cos 404224=-︒+︒=.5答案及解析：答案： C解析： 由已知, 即得, 则.6答案及解析：答案：D 解析：∵5sin 413x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴2119sin 2cos 212sin 44169x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.7答案及解析：答案：D 解析：∵α是第三象限角, ∴3222k k πππαπ+<<+∴3 224k k παπππ+<<+ ∴tan 12α<-2tan 242sin 2251tan 2ααα==-+, 整理得212tan 25tan 12022αα++= 求得4tan 23α=-或34- (排除)8答案及解析：答案：C解析：sin 404cos50tan 404sin 40cos 40︒︒-︒=︒-︒ 4cos 40sin 40sin 402sin80sin 40cos 40cos 40︒︒-︒︒-︒==︒︒2sin(12040)sin 4040sin 40sin 40cos 40cos 40︒-︒-︒︒+︒-︒==︒︒==故选C.9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：A解析：由sin cos αα+=,平方得121sin 2sin 233αα+=⇒=-, 又α为第二象限角,因此sin 0α>,cos 0α<,所以sin cos αα-+==所以22cos 2cos sin ααα=-()()cos sin cos sin 3αααα=+-=-.11答案及解析： 答案：79- 解析：因为sin π163α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则22π7cos 2cos 22sin 1?36π3π9ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.12答案及解析：答案：35-解析： 由三角函数的定义可知22221tan 143 2, 21tan 145tan cos cos sin θθθθθθ--=∴=-===-++13答案及解析：解析： ∵2222211sin +cos ,sin cos sin 44ααααα=∴+-= 21.4cos α∴= 又(0,)2πα∈∴1 , 22cos sin αα==∴ tan α=14答案及解析： 答案：724 解析： ∵tan =tan[()()]222αββααβ+-+- =22122tan tan tan tan βααββααβ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17= 22()72()241tan 2tan αβαβαβ===+∴++15答案及解析：答案：解法一:由223sin ?2sin 1?αβ+=,得221?2sin 3sin βα-=, 即2cos 23sin βα=,由3sin 22sin 20αβ-=,得3sin 2sin 22βα=. ()cos 2cos cos2sin sin 2αβαβαβ+=-23cos 3sin sin sin 22αααα=⋅-⋅ 223sin cos 3cos sin 0αααα=⋅-⋅=. ∵090α︒<<︒,090β︒<<︒,∴02270αβ︒<+<︒. 在0︒到270︒之间只有90的余弦值为0,故290αβ+=︒. 解法二:由223sin ?2sin 1?αβ+=,得2cos 23sin βα=.① 由3sin 22sin 20αβ-=,得3sin 2sin 22βα=.② ①÷②得tan cot 2αβ=. ∵090α︒<<︒,0290β︒<<︒,故()cot 90cot 2αβ︒-=.又∵09090α︒<︒-<︒,0290β︒<<︒, ∴02180αβ︒<+<︒,于是290αβ+=︒. 解析：(1)欲求角,先求2αβ+的三角函数值;(2)从已知条件变换出角2αβ+的范围,再根据所选函数在其上的单调性,确定2αβ+的值.由Ruize收集整理。

3-2二倍角的三角函数一、填空题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝____.解析 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，得cos α＝－255，tan α＝－12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案 －432．计算1－2sin 222.5°的值为________． 解析 原式＝cos45°＝22. 答案223．已知α是第一象限的角，且cos α＝513，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos(2α＋4π)的值为________．解析∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos(2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α ＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13 214. 答案－13 2144．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和为________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时，f (x )max＝32；当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3.所以f (x )max ＋f (x )min ＝－32. 答案 －325．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35.答案 －356．若函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是偶函数，则cos2α＝________. 解析∵f (x )＝(cos α－2sin α)sin x ＋(sin α－2cos α)cos x ， 故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，∴cos 2α＋sin 2α＝5sin 2α＝1，即sin 2α＝15，cos2α＝1－2sin 2α＝35.答案357．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos2α＝________. 解析 由sin 2α＝4sin 2β，tan 2α＝9tan 2β相除，得9cos 2α＝4cos 2β， 所以sin 2α＋9cos 2α＝4sin 2β＋4cos 2β＝4，所以cos 2α＝38，cos2α＝2cos 2－1＝－14.答案 －148．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝______. 解析∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， ∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， 即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3(1－tan αtan β)1－tan αtan β＝ 3.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π3. 答案π39．函数y ＝sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π的值域是________．解析∵y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.又∵π6≤x ≤π，∴π2≤x ＋π3≤4π3.结合正弦函数的图象与性质得：－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1.∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤2.答案[－3，2]10．函数y ＝3sin x cos x －sin 2x 的最小正周期为________，最大值为________． 解析 y ＝32sin2x －1－cos 2x 2＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.所以T ＝π，f (x )max ＝1－12＝12.答案 π1211．函数f (x )＝1－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的值域为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝1－2sin2x＋4cos2x sin2x＝1－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2因为sin2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案[0,4]12．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)等于________．解析由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin2αsin αcos α＝1，∴tanα＝12，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tanβ－α－tan α1＋tanβ－αtan α＝－13－121＋⎝⎛⎭⎪⎫－13×12＝－1.答案－113．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC→|＝10，则点C的坐标是________．解析如图，α＋2β＝90°，sinα＝45，cosα＝35，所以sin(90°－2β)＝4 5 .即cos2β＝45，从而2cos2β－1＝45，cosβ＝310，sinβ＝110.所以tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝cos βsin β＝3.所以直线OC的方程为y＝3x，于是由3x2＋x2＝10x2＝10，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案(－1，－3)二、解答题14.利用三角公式化简：)10tan 31(50sin οο+．解析原式οοοοοο10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+= οοοοοοοο10cos 40sin 50sin 210cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2=+⋅=110cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2===οοοοο． 15．已知sin x ＋cos x ＝－15(135°<x <180°)．求2sin xcos x －sin x －cos 3x ＋sin 3x的值．解析∵sin x ＋cos x ＝－15，∴1＋2sin x cos x ＝125.即1＋sin2x ＝125，∴sin2x ＝－2425. 又∵270°<2x <360°，∴cos2x ＝725. ∴原式＝2sin xcos(2x －x )－sin(2x －x )－cos(2x ＋x )＋sin(2x ＋x )＝2sin x 2sin 2x ·sin x ＋2cos 2x ·sin x ＝1sin 2x ＋cos 2x ＝－2517. 16．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值． 解析 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin2x －cos2x ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数．故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 17．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )， n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，－1，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．解析 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝2sin B ·2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2－2＋cos2B ＝0，即2sin B ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2－2＋cos2B ＝0，所以sin B ＝12，又0＜B ＜π，所以B ＝π6或5π6.(2)当B ＝π6时，sin A ＋cos C ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝sin A －32cos A ＋12sin A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6. 由于0＜A ＜5π6，所以sin A ＋cos C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3. 当B ＝5π6时，同理可得sin A ＋cos C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.18．已知向量a ＝(1－tan x,1)，b ＝(1＋sin2x ＋cos2x,0)，记函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式，并指出它的定义域； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝25，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f (α)．解析 (1)f (x )＝a ·b ＝(1－tan x )(1＋sin2x ＋cos2x )＝cos x －sin xcos x·(2cos 2x ＋2sin x cos x )＝2(cos 2x －sin 2x )＝2cos2x .定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝25，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210，且2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝7210.所以f (α)＝2cos2α＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4＝85.。