人教A版必修三高一数学单元质量评估试卷(三)含解析

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/-/ 单元质量评估(三)

(第三章)

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的关系是 ( )

A.P(A)≈ B.P(A)<

C.P(A)> D.P(A)=

【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.

2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是 ( )

(1)恰好有1件次品和恰好有两件次品.

(2)至少有1件次品和全是次品.

(3)至少有1件正品和至少有1件次品.

(4)至少1件次品和全是正品.

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)

【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.

3.(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( )

A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1

【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率. /-/

/-/ 【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),

(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),

(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.

4.(2016·临沂高一检测)在区域内任意取一点P(x,y),则x2+y2<1的概率是 ( )

A.0 B.- C. D.1-

【解题指南】本题为几何概型,首先画出所有可能构成的区域,再画出事件所满足的区域,根据几何概型的概率公式计算.

【解析】选C.所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形,而满足条件的点构成的区域为圆心在原点,半径为1的圆在第一象限的部分即的圆,所以P=×=.

5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是 ( )

A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68

【解析】选C.质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32-0.3=0.02.

6.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( )

A. B. C. D.

【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为.

【补偿训练】(2016·杭州高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从/-/

/-/ {1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是 ( )

A. B. C. D.

【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3,所以P==.

7.设一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,Δ=b2-4c≥0,显然b≠1.

当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).

故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是.

【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有6×6=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即≠,即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组只有一个解的概率为=.

8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是 ( )

A. B. C. D. /-/

/-/ 【解析】选A.由题意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)==.

9.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,

由几何概型概率计算公式知=,

所以π=.

10.(2016·石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是 ( )

A.恰有2件一等品

B.至少有一件一等品

C.至多有一件一等品

D.都不是一等品

【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),

(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=,其对立事件是“至多/-/

/-/ 有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.

11.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为.

12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα,x∈[0,+∞)是增函数的概率为 (

)

A. B. C. D.

【解析】选C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,

所以集合A={-1,0,3,8,15},

因为α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上为增函数的α的值为3,8,15,

故所求概率P=.

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________. /-/

/-/ 【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为=.

答案:

14.(2016·潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.

【解析】由题可知,白球的个数为100×0.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P==0.32.

答案:0.32

15.(2016·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .

【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=<3,

即-

答案:

【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x∈[1,3],若在区间x∈[1,3]上随机取一点,则使得-1≤f(x0)≤1的概率为________.

【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集.

【解析】由函数-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈,又函数f(x)的定义域为x∈[1,3],所以不等式的最终解集为x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率为P==.

答案:

【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果/-/

/-/ 错误.

16.已知集合A={-1,0,1,3},从集合A中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为 .

【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.

【解析】所有基本事件构成的集合为{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),

(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P==.

答案:

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?

【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=.

18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:

(1)恰有一枚出现正面的概率.

(2)至少有两枚出现正面的概率.

【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.

(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件:

则A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.

因此P(A)=.