初中数学教学数形结合的应用
摘要:在中学的数学教学中,数和形是数学中两个最基本的概念,它们既是对立,又是统一的。每一个数量关系,都能通过生动形象的几何图形来直观地表达和描述;而每一个图形中都蕴含着与他们的形状、大小、位置密切相关的数量关系。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象的思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的几何图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易。
关键词:中学数学 数形结合 应用
新的课程改革中的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展,它要求学生通过学习数学知识、技能和方法,逐渐形成自己的数学思想和方法,让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物,学会用数学的方法解决生活中的实际问题。
数形结合在中学数学中的具体应用实例分析。
中学数学的数形结合的具体应用,可以帮助学生们尽快地学习知识,能够更加深刻地理解数学中的知识点,也能更加快速地达到应用的程度。下面将对一些具体的实例进行讲解,方便大家理解数形结合的具体应用。 1 数形结合思想在函数的中的应用
一次函数y=kx+b的图形经过一、二、三象限,则k_____,b_____。
这道题我们仅从数的角度考虑是比较抽象、难以理解的,所以在解题时,引导学生先画出符合题意的图象,如图1所示,再复习k,b与函数图象的联系,通过k确定函数的增减性,b确定函数与y轴交点的位置这一性质,可很快得出k<0,b>0。
2 数形结合思想在运算中应用
圆与圆的位置关系,设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d,则当d>R+r<=>两圆外离(如图1),则当d=R+r<=>两圆外切(如图2),当R-r<d<R+r<=>两圆相交(如图3),当d=R-r<=>两圆内切(如图4),当d<R-r<=>两圆内含（如图5）。这样的描述,既明白又清晰的让大家明白了圆与圆之间的关系,更是通过数形结合来揭示本质特征。
乔治?波利亚是美籍匈牙利数学家。
他有著名的三本书：《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）。其中《怎样解题》一书被译成17种文字。
波利亚提供的“怎样解题”表(第48-49页)
分四步：1.了解问题；2.拟订计划；3.实行计划；4.回顾。
弗赖登塔尔认识的数学教育有五个主要特征
1.情境问题是教学的平台；2.数学化是数学教育的目标；
3.学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；
4.“互动”是主要的学习方式；5.学科交织是数学教育内容的呈现方式。
这些特征可以用三个词来概括——现实、数学化、再创造。
数学化：人们在观察、认识和改造客观世界的过和中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。
再创造：强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，是以学生为主体的学习，其核心过程是数学过程再现。
高等师范院校面临新挑战
答：高中的新课程标准让广大的高中数学教师有些望而生畏，他们感到许
多选修课的内容他们并没有学过，许多课程他们没法开设。比如，高中选修课系列3涉及高等数学，包括数学史选讲，信息安全与密码，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，三等分角与数域扩充等。由于新一轮的课程改革强调要让学生主动参与教学，要鼓励学生积极展开讨论，探索数学知识的来龙去脉和提出问题，因此学生提出的问题中，有许多使教师感到难堪，有的他们没法回答，有的他们回答不清楚。
基本活动经验的类型
1.直接数学活动经验；3.间接数学活动经验；3.专门设计的数学活动经验；4.意境联结性数学活动经验。
基础教育部分
一.“标准”有哪些改革目标？
1.指导思想：以邓小平同志的“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”和江泽民同志“三个代表”重要思想为指导。2.教育目标方面：培养爱国精神和“四有新人”等。3.课程内容：改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状。4.课程结构方面：改变过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，设置综合课程。 5.课程实施方面。6.课程评价方面。7.课程管理方面。
《数学教育概论》复习资料
第二章 与时俱进的数学教育
1，数学发展史上的四个高峰：
① 以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学（公元前700-300）（严密性）；
② 以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（17-18世纪中叶）（有用性）；
③ 以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19-20世纪中叶）（形式化）；
④ 以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20世纪中叶-今天）
2，四个数学发展阶段，显示出“数学应用”和严密的“公理化”这两种思潮是交互出现的：
① 古希腊“公理化”时期；
② 牛顿的不严密的无穷小算法时期；
③ 希尔伯特的严密的现代公理化时期；
④ 信息时代的计算机算法时期。
3，核心数学的发展趋势至少有以下特点：
① 从线性到非线性，混沌、分形、动力系统等研究迅速发展；
② 从交换到非交换，矩阵、算子的乘法都是不可交换的；
③ 从一维数学到高维数学，特别是四维和无穷维；
④ 随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合。
4，数学观的变化：
① 公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式；
② 在计算机技术的支持下，数学注重应用；
③ 数学不等于逻辑，要做“好”的数学。
5，20世纪我国数学教育观发生了哪些变化？
① 由关注教师“教”转向关注学生的“学”；
② 从“双基”与“三大能力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观；
③ 从听课、阅读、演题，到提倡试验、讨论、探索的学习方式；
④ 从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用。
第三章 数学教育的基本理论
1，弗赖登塔尔的数学教育理论
1）弗赖登塔尔所认识的数学教育主要特征是什么？
①情境问题是教学的平台；
②数学化是数学教育的目标；
③学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；
④“互动”是主要学习方式；
⑤学科交织是数学教育内容的呈现方式。（概括：现实、数学化、再创造）
中学数学教学概论
第一章 中学数学教学的目的与任务
1.1 确定中学数学教学目的的依据
* 一、确定中学数学教学目的的依据
① 教育方针
② 普通中学的性质和任务
③ 数学学科的特点
④ 学生的年龄特征
* 二、普通中学的性质和任务
性质：普通中学进行的是基础教育而不是职业（专业）教育
任务：要交给学生为继续升学或参加生产劳动所必需的、较系统
的科学文化知识；必须联系生产、生活实际，注意培养学生的实践能
力和生产劳动的技能技巧，培养学生进入社会后的必要的生存和发展
能力。
二、数学学科的特点
① 数学的抽象性与严谨性
② 数学的广泛应用性
③ 数学的思辨性和结论的确定性 1.2 中学数学教学目的
一、“标准”中规定的教学目的
1. 2011年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
总目标：
① 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知
识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要
的应用技能
② 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解
决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识
③ 体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，
增进对数学的理解和学好数学的信心
④ 具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方
面都能得到充分发展
新课程标准的四个方面：
① 知识技能
② 数学思考
③ 解决问题
④ 情感态度 * 2. 2003年《普通高中课程标准（实验）》
总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高
作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要
具体目标：
① 获得必要的数学基础知识和基本技能
② 提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理
等基本能力
③ 提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）
的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力
④ 发展数学应用意识和创新意识
