2020-2021备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)含答案解析

2020-2021备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)含答案解析

一、锐角三角函数

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553 4

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∴∠COP＝12∠COD＝30°，

∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝12OA＝5（分米），

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），

在Rt△PKE中，EK＝22EFFK＝26（分米），

∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），

在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），

在Rt△FJE′中，E′J＝2263（2）＝26，

∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，

∴B′E′−BE＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为»AC上的动点，且10cos10B.

(1)求AB的长度；

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.

【答案】(1) 10AB=；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；

（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴AD•AE=AF•AG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，

∵AF=22ABBF=3，

∴FG=13，

∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．

（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当t=273326s或273326s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=95S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=12•AC•BE=814，

∴BE=92， 在Rt△ABE中，AE=22=6ABBE，

∴coaA=647.55AEAB．

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，

∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，

∵S△PQM=95S△QCN，

∴34•PQ2=9354•CQ2，

∴9t2+（9-9t）2=95×（5t）2，

整理得：5t2-18t+9=0，

解得t=3（舍弃）或35．

∴当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN．

（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴PH=3HQ，

∴3t=3（9-9t），

∴t=273326． ②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=3QH，

∴3t=3（9t-9），

∴t=27+3326，

综上所述，当t=273326s或27+3326s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

4．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；

（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33 .

【解析】

【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；

②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF，

∴∠DFQ=∠ADF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，

∴∠P′DC=∠F′DB，

由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，

∵PF∥BC，

∴△DPF∽△DCB，

∴△DP′F′∽△DCB

∴''DCDPDBDF ，

∴△DP'C∽△DF'B；

②当∠F′DB=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=12BD，

∴'12DFBD，

∴tan∠DBF′='12DFBD；

当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意；

当∠DF′B=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=12BD，

∴∠DBF′=30°，

∴tan∠DBF′=33.

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

5．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1

m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin

31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.

【解析】

试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，

∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=，

∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，