备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)及详细答案

备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)及详细答案

一、锐角三角函数

1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE （3）1tan2BFPE

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．

∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1PE2．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE． ∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12BM．

∴BF=12PE， 即BF1PE2．

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=12BM， ∠MBN=∠EPN．

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．

∴BMBNPEPN．

在Rt△BNP中，BNtan=PN， ∴BM=tanPE，即2BF=tanPE．

∴BF1=tanPE2．

（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出BF1PE2的结论．

（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=12BM，

∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由BMBNPEPN和Rt△BNP中BNtan=PN即可求得BF1=tanPE2．

2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

设AF=x，则CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即点B到AC的距离为4．

考点：切线的判定

3．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE； （2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．

①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=57.

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；

（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；

（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以2114ACBSMDSABV，所以S△MCB=12S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，由于1EBDSMESEBV，从而可知52MEEB，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【详解】

（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA；

（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，

∴∠AMD=∠CMD，

在△AMD与△CMD中， MDMDAMDCMDAMCM，

∴△AMD≌△CMD（SAS）；

（3）∵MD=CM，

∴AM=MC=MD=MB，

∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA，

∴2114ACBSMDSABV，

∴S△ACB=4S1，

∵CM是△ACB的中线，

∴S△MCB=12S△ACB=2S1，

∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，

∵1EBDSMESEBV，

∴1125SMEEBS，

∴52MEEB，

设ME=5x，EB=2x，

∴MB=7x，

∴AB=2MB=14x，

∵12MDMEABBC，

∴BC=10x，

∴cos∠ABC=105147BCxABx.

【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；