2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文
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1 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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3.
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日期： 年 月 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 3 古塔的变形保护模型
摘要
中国古塔是我国古代建筑的杰出，它融合了外来文化与中华建筑的精华，现存的古塔已成为城市的一道风景，是城市历史文化的重要组成部分。但是，古塔长时间的承受自重、气温、风力等作用，偶然还会遭受自然灾害、地震、飓风等影响，还存在古塔的材料结构整体性差及其他因素使古塔产生了各种形变，倾斜、弯曲、扭曲等。本文根据以上提出的问题，完成了以下工作
首先，分析了附录提供的四年观测数据，画出了每层的观测数据三维图，确定了以观测数据凸多边形的重心模型为塔层中心的方法，确定古塔各层的中心位置及中心坐标，并列出表格。
其次，根据上文中得到的各年每层中心坐标，利用MATLAB做出古塔每层中心坐标的三维图，并根据建筑工程理论，定义古塔的倾斜度为：塔顶中心投影坐标与塔底层中心的偏移量与塔总高度的比值，求得四年古塔的倾斜度。
最后，根据四年塔倾斜度计算出古塔的的年变化率，在样本较少的情况下选用灰色模型预测出该塔的变形趋势，建立数学模型取得最优的解决方案和最佳的保护方案。
关键字： 凸多边形的重心 塔顶中心投影 灰色预测 MATLAB算法
4 一 、问题重述
由于管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对古塔分别进行了观测，我们根据这4次观测数据，来讨论以下问题：
1. 试确定古塔各层中心位置的通用方法，选择最合适，最简洁的最佳方法;并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 利用数学模型试分析该塔倾斜程度、造成该塔倾斜的主要因素有哪些？由类比法分析弯曲、扭曲等变形情况？
3. 结合各因素时间、古塔自重、气温、风力和自然灾害等共同影响，来确定未来时间古塔变形的总趋势？
4. 针对古塔的变形的趋势，我们应该采取怎样的措施进行保护？
5 二、 问题分析
虽然说“古塔十之九斜”，但对于古塔这种文物，这种倾斜让老百姓疑虑、担心，因此而倒塌，为了保护我国古老的文化建筑，我们必须全力以赴的采取相应的措施对此进行解决与保护：
首先，针对以上提出的问题，该塔每层图像似一个凸八面体，不是对称物体，不能用此方法计算；又不知该塔的体积，所以我们不能用重心坐标法去计算；凸多边形的面积又不好求，所以该方法也不能用；而悬挂法、称重法也不能用，因此用任意凸多边形的重心求法，是我们解决这类题的的通用方法。
根据附录的数据采用凸多边形的重心模型的建立求解，将八边形分为三角形和四边形组体，作出其重心位置，然而确定古塔各层的中心位置及古塔各层的中心坐标。
其次，根据古塔的变形、倾斜、扭曲的影响趋势，存在的因素有古塔长时间的承受自重、气温、风力等作用，偶然还会遭受自然灾害、地震、飓风等影响，还存在塔的材料结构整体性差。更重要的因素：人为造成对古塔周围环境的破坏，在周围随意取土打井、甚至挖虚坑和挖地道建设防空洞，引起地面大范围不均匀沉降，这加速了塔的倾斜下沉的速度，从而可以用灰色模型预测出变形的情况，再用相应的数学模型求解。
最后，数学模型的建立就是分析古塔的变形，根据其各种因素的影响。提出该怎样着手解决古塔的变形问题，受哪方面的影响最大。与此同时，提出最佳方案。
6 三、 模型假设
1.假设古塔不受自身下压力的影响
2.假设没有人为造成对古塔周围坏境的破坏
3.假设该塔在理想的气温和自然灾害进行的计算
4.假设该塔的形状为八面体
四、 符号说明
： 各层塔顶到各层之间的高度差
： 平面投影的中心差
： 表示1986年的倾斜度
： 表示1996年的倾斜度
： 表示2009年的倾斜度
： 表示2011年的倾斜度
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五、 模型的建立与求解
5.1关于问题1的模型建立与求解：
对于该塔倾斜、弯曲、扭曲情况，我们根据附件提供的数据用Matlab软件画出1986年塔的形状图如下（算法见附录）
图1
由图1可知，该塔每层图像似一个凸八面体，不是对称物体，不能用此方法计算；又不知该塔的体积，所以我们不能用重心坐标法去计算；凸多边形的面积又不好求，所以该方法也不能用；而悬挂法、称重法也不能用，因此用任意凸多边形的重心求法，是我们解决这类题的的通用方法。 8 任意凸多边形的重心求法，用数学归纳法可知道，先连接出一条对角线，将八边形化为一个三角形与七边形，然后分别作出重心并连接成线然后连接另外一条对象线，分别作出两个组合体的重心并连接成线段，两条线的交点就是八边形的重心Ｏ，如图2
根据matlab算法可求出中心坐标如下 （算法附录）
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5.2关于问题二的模型建立与求解
根据上文中得到的各年层中心坐标，并根据工程理论，从古塔外部进行倾斜观测，采用水平角观测，拟合出的底部八边形的中心，可以得出各层的高差ΔΗ以及在平面投影上的中心差ΔD，如图 11
由此可得倾斜角：
用此公式可以算出1986年、1996年、2009年、2011年的倾斜度即 (算法见附录)
用折线图更容易看出这四年的倾斜程度如下图： 12 古塔倾斜0.0320.0340.0360.0380.040.0420.0441234年份倾斜角（度）
图4
古塔的倾斜有会受地震的影响，根据该结构的受力特点可按照《建筑抗震设计规范》的标准，从整体验算塔的抗震性能，根据设防烈度和设计基本地震加速度值得对应关系如表5
抗震设防烈度和设计基本地震加速度值的对应关系
抗震设防烈度 6 7 8 9
设计基本地震加速度值 0.05g 0.1(0.15)g 0.20(0.30)g 0.40g
注：g为重力加速度
表5
假设地震对塔址影响烈度为8度，但没有对塔造成裂缝，塔体结构的材料强度仍处于弹性范围之内，于是我们按照8度0.20g的设防标准来验算塔体的抗震性能：
基底剪力：
其中：
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由《建筑抗震设计规范》GB50011-2001的7.28-1验算塔底抗剪强度：
式中：A为塔底部面积；为毛石抗剪强度；为烟囱底部剪力修正系数。
根据上面所计算出的塔的抗震性能，只要塔底抗剪强度较大，发生地震时，对塔本身不会有什么影响，所以就现在发生自然灾害的情况，我们不详细的去讨论其对塔的倾斜的影响度。
关于塔的扭曲，我们利用附录的数据和如下位移差残差公式:
解得1986年、1996年、2009年、2011年的位移残差值 14
图5
看图相知弯曲程度不是很明显，如果长时间弯曲很大。
5.3关于问题三的模型的建立与求解：
根据四年塔倾斜度的变化率，在样较少的情况下，我们选用灰色模型预测出该塔的变形趋势，并建立数学模型，从而提出最佳保护古塔的方案
设四年塔的倾斜度为原始数据序列。
对数据累加:
15 于是得到一个新的数据列:
设满足一阶常微分方程:
写为矩阵表达式:
令
用最小二乘估计为:
计算出:
把估计值与 代入响应方程:
