高二数学选修2-1测试题与答案

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姓名： ___________ 班级： ___________

一、选择题

1．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2．若 p q 是假命题，则（ ）

A. p 是真命题， q 是假命题 B. p 、 q均为假命题

C. p 、 q 至少有一个是假命题 D. p 、 q至少有一个是真命题

3． F1, F2 是距离为 6 的两定点，动点 M满足∣ MF1 ∣ +∣ MF2 ∣ =6, 则 M点的轨迹是

（ ）

A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆

4． 双曲线 x2 y 2 1的渐近线方程为（ ）

16 9

A. y 16 x B. y 9 x C. y 3 x D. y 4 x

9 16 4 3

5．中心在原点的双曲线， 一个焦点为 F (0 ， 3) ，一个焦点到最近顶点的距离是 3 1，

则双曲线的方程是（ ）

A． y 2 x2 1 B． x2 y2 1 C． x2 y2 1 D． y2 x2 1

2 2 2 2

6．已知正方形 ABCD 的顶点 A, B 为椭圆的焦点，顶点 C , D 在椭圆上，则此椭圆的离

心率为 ( )

A． 2 1 B ． 2 C ． 2 1 D ． 2 2

2

7．椭圆 x2 y2 1与双曲线 x2 y 2 1 有相同的焦点，则 a的值为（ ）

4 a2 a 2

A． 1 B ． 2 C． 2 D ． 3

8．与双曲线 y 2 x2 1 有共同的渐近线， 且过点（ 2，2）的双曲线标准方程为 （ ）

4

（ A） y2 x 2 1 （ B） x 2 y2 1 （C） y 2 x 2 1 （ D） x2 y 2 1

3 12 3 12 2 8 2 8

9．已知 A（－ 1，－ 2， 6）， B（ 1， 2，－ 6）O为坐标原点，则向量 OA, 与OB 的夹角是

（ ）

A． 0 B． C． D． 3

2 2

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10 ．与向量 a (1, 3,2) 平行的一个向量的坐标是 （ ）

A．（ 1 ， 1， 1） B ．（－ 1，－ 3， 2） C ．（－ 1，3，－1） D．（ 2 ，－3，－2 2 ）

3 2 2

11 ．已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 x y 0 上，则

圆 C 的方程为（ ）

A. (x 1)2 ( y 1)2 2 B. (x 1)2 ( y 1)2 2

C. ( x 1)2 ( y 1)2 2 D. (x 1)2 ( y 1)2 2

12 ．若直线 x y m 与圆 x 2 y 2 m 相切，则 m 的值为（ ）

A． 0 B． 1 C ． 2 D．0或2

二、填空题

13 ．直线 y x 被圆 x2 ( y 2) 2 4 截得的弦长为 _______________.

14 ．已知椭圆 x 2 ky2 3k(k 0)的一个焦点与抛物线 y2 12x 的焦点重合， 则该

椭圆的离心率是 ．

15 ．已知方程 x 2 y 2 1表示椭圆，则 k 的取值范围为 ___________

k 2 k

3

16 ．在正方体

ABCD 1 1 1 1 中， E 为 1 1 的中点，则异面直线 1

E 和 1 间的距

ABC D A B D BC

离 ．

三、解答题

17 ．求过点 ( － 1， 6) 与圆 x 2 +y 2 +6x－4y+9=0 相切的直线方程．

18．求渐近线方程为 y 3 x ，且过点 A(2 3, 3) 的双曲线的标准方程及离心率。

4

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19．求与 x 轴相切，圆心 C 在直线 3x－ y＝ 0 上，且截直线 x－y＝ 0 得的弦长为 2 7 的

圆的方程．

20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（－ 3， m）到焦点的距

离等于 5，求抛物线的方程和 m的值．

21．已知椭圆 C : x 2 y 2 1( a b 0) 的焦距为 2 6 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆两

a 2 b2

个焦点的距离之和为 6．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）设直线 l : y kx 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点，点 P （ 0， 1），且 PA = PB ，求

直线 l 的方程．

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22．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 底面 ABCD ，底 P

面 ABCD 为正方形， PD DC ， E, F 分别是 AB, PB 的中

点．

F (1) 求证： EF CD ；

D C

(2) 在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF 平面 PCB ，并证明你

的结论；

(3) 求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值． A E B

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参考答案

1． B

【解析】

试题分析： x2 3x 2 0 ( x 1)(x 2) 0 ，则 x 1 且 x 2 ；反之， x 1 且 x 2时，

x2 3x 2 0 ，故选 B.

考点：充要条件的判断 .

2． C

【解析】

试题分析： 当 p 、q 都是真命题 p q 是真命题， 其逆否命题为： p q 是假命题 p 、

q 至少有一个是假命题，可得 C正确 .

考点： 命题真假的判断 .

3． C

【解析】

解题分析： 因为 F1 , F2 是距离为 6，动点 M满足∣ MF1 ∣ +∣ MF2 ∣=6, 所以 M点的轨迹是

线段 F1F2 。故选 C。

考点：主要考查椭圆的定义。

点评：学习中应熟读定义，关注细节。

4． C

【解析】因为双曲线 x2 y2 y 3

16 1， a=4,b=3,c=5, 则其渐近线方程为 x

9 4 ,选 C.

5． A

【解析】

试题分析：由焦点为 F (0 ， 3) ，所以，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c ＝ 3 ，焦点到最近

顶点的距离是 3 1，所以， a ＝ 3 －（ 3 1）＝ 1，所以， b c2 a2 ＝ 2 ，所以，

双曲线方程为： y2 x2 1. 本题容易错选 B，没看清楚焦点的位置，注意区分. 2

考点：双曲线的标准方程及其性质 .

6． A

【解析】

试题分析：设正方形 ABCD 的边长为 1，则根据题意知， 2c 1, c 1 , 2a 1 2,

2

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1 2 1

1

2 2 1. a ，所以椭圆的离心率为

2 1 2 2 1 2 考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法， 考查学生的运算求解能

力 .

点评：求椭圆的离心率关键是求出 c ，而不必分别求出 a,c.

a

7． A

【解析】

试题分析：因为椭圆 x 2 y 2 1与双曲线 x 2 y 2 1有相同的焦点，所以 a 0 ，且椭

4 a 2 a 2

圆的焦点应该在 x轴上，所以 4 a2 a 2, a 2, 或a 1. 因为 a 0 ，所以 a 1.

考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用 .

点评：椭圆中 c2 a2 b2 ，而在双曲线中 c2 a2 b2 .

8． B

【解析】

试题分析：设所求的双曲线方程为 y2 x2 ，因为过点（ 2,2 ），代入可得 3，所以

4

所求双曲线方程为 x2 y 2

3 1.

12

考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力 .

点评：与双曲线 y 2 x 2 1 有共同的渐近线的方程设为 y 2 x2 是简化运算的关键 .

4 4

9． C

【解析】

试题分析： a b

，故 应用向量的夹角公式 cos =－ 1．所以量 OA,与 OB 的夹角是

| a | | b |

选 C。

考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算 .

点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。

10． C；

【解析】

试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即

b 0, a // b a b ．也可直接运用坐标运算。经计算选 C。

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