湖南省益阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
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第 1 页 共 13 页 湖南省益阳市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
选择题 (共12题；共24分)
1.
（2分） (2015高二上·三明期末)
已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C1与双曲线C2共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1 ， e2 ， 则e1+e2取值范围为（ ）
A . [2，+∞）
B . [4，+∞）
C . （4，+∞）
D . （2，+∞）
2. （2分） 若 ， ， 且 ， 则 （ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019·肇庆模拟) 已知双曲线 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点
在 上，则 的方程为（ ）
A .
B .
C . 第 2 页 共 13 页 D .
4.
（2分） (2017高二下·湖北期中)
下列说法错误的是（
）
A .
若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题
B .
已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0
C . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
5. （2分） 将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（ ）
A . 平行
B . 垂直
C . 相交成60°角
D . 异面且成60°角
6. （2分） 椭圆9x2+y2=36的短轴长为（ ）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 12
7. （2分） (2018高二上·浙江月考) 过双曲线 的左顶点 作斜率为2的直线 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率是（ ） 第 3 页 共 13 页 A .
B .
C .
D .
8. （2分） 已知双曲线与直线有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） 以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 （ ）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （ ）
A . BD∥平面CB1D1 第 4 页 共 13 页 B . AC1⊥BD
C . AC1⊥平面CB1D1
D .
异面直线AD与CB1所成的角为60°
11. （2分） (2018高三上·张家口期末) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，且满足
，则 的周长为（ ）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 直线 过点 且与抛物线 只有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A . 0条
B . 1条
C . 2条
D . 3条
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） 若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________
14. （1分） (2016高二下·泰州期中) 点C（4a+1，2a+1，2）在点P（1，0，0）、A（1，﹣3，2）、B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a=________．
15. （1分） F1 ， F2是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△F1BF2是一个底角为30°的等腰三角形，则该双曲线的离心率是________ 第 5 页 共 13 页 16. （1分） (2016高二上·嘉定期中)
已知向量
，
满足|
|=5，|
|=3，|
﹣
|=7，则
•
=________．
三、 解答题 (共6题；共55分)
17. （5分） (2016高二上·黄石期中) 设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18. （10分） (2020·江西模拟) 已知椭圆 ： 过点 ，且它的焦距是短轴长的 倍.
（1） 求椭圆 的方程.
（2） 若 ， 是椭圆 上的两个动点（ ， 两点不关于 轴对称）， 为坐标原点， ，
的斜率分别为 ， ，问是否存在非零常数 ，使当 时， 的面积 为定值？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
19. （15分） (2020高二上·徐州期末) 如图，在三棱柱 中， 平面 ，
分别为 ， ， ， 的中点， ， ．
（1） 求证： 平面 ；
（2） 求二面角 的余弦值；
（3） 证明：直线 与平面 相交．
20. （10分） (2020高二上·黄陵期末) 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1） 焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)； 第 6 页 共 13 页 （2）
顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
21. （10分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2．
（1） 证明：EF∥平面PBC；
（2） 若 ，求二面角E﹣DF﹣A的正弦值．
22. （5分） 已知椭圆C:+=1与双曲线有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y2=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由． 第 7 页 共 13 页 参考答案
一、
选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、 第 8 页 共 13 页 16-1、
三、 解答题 (共6题；共55分)
17-1、
18-1、
18-2、 第 9 页 共 13 页
19-1、 第 10 页 共 13 页 19-2、
19-3、 第 11 页 共 13 页 20-1、
20-2、
21-1、
21-2、 第 12 页 共 13 页 第 13 页 共 13 页 22-1、
