北师大版九年级(上)数学知识点归纳总结

- 99 - 第一章 特殊平行四边形

第1节 菱形的性质与判定

一、菱形的性质

1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

（1）菱形的对边平行且相等。

（2）菱形的对角相等，邻角互补。

（3）菱形的对角线互相平分。

2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。

（1）菱形的四条边相等。

（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。

【说明】①菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。

②菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

③菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半。不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。

④菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。

⑤菱形中如果有一个角为60°，则较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形，从而较短的对角线等于边长，较长的对角线等于边长的3倍。

二、菱形的判定

1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义）

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

第2节 矩形的性质与判定

一、矩形的性质

1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

（1）矩形的对边平行且相等。

（2）矩形的对角相等，邻角互补。

（3）矩形的对角线互相平分。

2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。

（1）矩形的四个角都相等，都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

【说明】①矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。

②矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 九年级上册 - 100 - ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

④若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

⑤矩形的周长等于长与宽的和的2倍，矩形的面积等于长与宽的积。

二、矩形的判定

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（定义）

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

4、四个角都相等的四边形是矩形。

第3节 正方形的性质与判定

一、正方形的性质

正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质。

1、正方形的四条边都相等且对边平行。

2、正方形的四个角都相等，都是直角。

3、正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

【说明】（1）正方形是轴对称图形，经过两组对边中点的直线及两条对角线所在的直线都是它的对称轴，所以正方形有四条对称轴。

（2）正方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

（3）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（4）正方形的对角线互相垂直且相等，所以正方形的面积有两种求法，第一种是等于对角线平方的一半，第二种是边长的平方。

二、正方形的判定

1、有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（定义）

2、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

4、对角线互相垂直的矩形是正方形。

5、有一个角是直角的菱形是正方形。

6、对角线相等的菱形是正方形。

【说明】（1）判定一个四边形为正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）。

（2）判定一个四边形是正方形的途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直。②先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等。 - 101 - 三、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系

1、演变关系

2、从属关系

第二章 一元二次方程

第1节 认识一元二次方程

一、一元二次方程的相关概念

1、一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且所含未知数的最高指数是2的整式方程叫做一元二次方程。

【说明】一元二次方程必须同时满足三个条件：

（1）只含有一个未知数

（2）所含未知数的最高次数是2

（3）必须是整式方程

2、一元二次方程的一般形式

我们把ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。

【说明】（1）确定一元二次方程的各项及其系数，应先把一元二次方程化为一般形式。

（2）二次项、一次项、常数项及其系数必须带符号。

二、从实际问题中抽象出一元二次方程 - 102 - 1、方法（步骤）

（1）设一个恰当的未知数x

（2）根据已知条件，用x表示另一些未知数

（3）根据已知条件的相互关系，用x的各个表达式列方程。

2、典型例题

【例1】根据题意列出方程：

已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。

解：设三边长分别为x－1，x，x＋1（x＞1），根据题意，得(x－1)2＋x2＝(x＋1)2

三、估算一元二次方程的近似解

1、方法：列表法

首先，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止。

2、典型例题

【例2】为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多14m，操场的面积是3300m2，求绿化后操场的宽的取值范围。（精确到0.1m）

解：设绿化后操场的宽为x m，则长为(x＋14)m，由题意得

x(x＋14)＝3300，即x2＋14x－3300＝0

列表如下：

x 50 51 52 53 54 55

x2＋14x－3300 －100 15 132 251 372 495

所以x的大致范围是50＜x＜51，且更接近51。

列表如下：

x 50.5 50.6 50.7 50.8 50.9

x2＋14x－3300 －42.75 －31.24 －19.71 －8.16 3.41

所以x的大致范围是50.8＜x＜50.9。

答：操场的宽的取值范围是50.8m＜x＜50.9m。

第2节 用配方法解一元二次方程 - 103 - 一、直接开平方法

根据平方根的意义，对形如(ax＋b)2＝c（a≠0，c≥0）的一元二次方程，两边直接开平方求解的方法，叫做直接开平方法。

【说明】对于一元二次方程(ax＋b)2＝c（a≠0）来说：

（1）当c＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当c＝0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当c＜0时，方程没有实数根。

二、配方法

1、定义

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法称为配方法。

2、步骤

（1）将要解的一元二次方程化为一般形式。

（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数。

（3）移项：将常数项移到等号的右边。

（4）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋m)2＝n的形式。

（5）求解：若n≥0时，两边同时开平方便可求出方程的根；若n＜0，原方程无实数根。

【说明】①配方法解一元二次方程的理论根据是完全平方公式222)(2bababa。

②配方法解一元二次方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础。

③配方法是在二次项系数为1的前提下进行。

3、应用

（1）化简二次根式

【例1】化简二次根式322

解：322＝2221＝22(2)2211＝2(21)＝21

（2）因式分解

【例2】因式分解x2＋2x－3

解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝[(x＋1)＋2][ (x＋1)－2]＝(x＋3)( x－1)

（3）求最值

【例3】求二次三项式－2x2＋3x－1的最大值。 - 104 -

（4）证明

【例4】求证：无论x为何实数，代数式x2－4x＋5的值恒大于零。

证明：x2－4x＋5＝x2－4x＋22－22＋5＝(x－2)2＋1

∵(x－2)2≥0

∴(x－2)2＋1＞0

∴无论x为何实数，代数式x2－4x＋5的值恒大于零。

第3节 用公式法解一元二次方程

一、一元二次方程的求根公式

1、求根公式及其推导过程

我们发现用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用含有a、b、c的代数式表示方程的解，我们只须把a、b、c代入其中，便可得出一元二次方程的解，这样就会方便简捷得多。

一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，因为二次项系数a≠0，所以方

2、公式法

（1）定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 - 105 - （2）步骤

①把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a、b、c的值。

②求出b2－4ac的值。

③若b2－4ac≥0，把a、b、c的值代入求根公式，得到方程的根；

若b2－4ac＜0，则该方程无实数根。

二、一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说：

当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根。

当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。

第4节 用因式分解法解一元二次方程

一、因式分解法

1、定义

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以分别令每个一次因式等于0，从而求得方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。

2、理论依据

如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个为0。

（若a·b＝0，则a＝0或b＝0）

3、步骤

（1）一移：将方程整理为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（2）二分：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的乘积。

（3）三化：令每个一次因式分别为零，得到两个一元一次方程。

（4）四解：解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根。

二、灵活选用适当的方法解一元二次方程

1、在一元二次方程的四种解法中，优先选取的顺序为：

直接开平方法

因式分解法 公式法 配方法

2、没有特殊要求，一般不用配方法，因为配方法比较繁琐。

3、因式分解法用的最多，因为其比较简单、灵活。

4、公式法是解一元二次方程的“万能方法”，只要方程有解，就能用公式法来解。

﹡第5节 一元二次方程的根与系数的关系

我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时有两个根：

x1＝242bbaca， x2＝242bbaca

于是两根之和为

x1＋x2＝224422bbacbbacaa＝22ba＝ba