高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》分类汇编含答案解析

【最新】数学《推理与证明》期末复习知识要点

一、选择题

1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ）

A．可能是国画 B．可能是书法 C．可能是排球 D．一定是篮球

【答案】B

【解析】

【分析】

依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.

【详解】

若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；

若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；

若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；

若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；

故小刚可能选择的是书法和篮球.

故选：B.

【点睛】

本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.

2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr，二维测度(面积)2Sr；三维空间中球的二维测度(表面积)24Sr，三维测度(体积)343Vr.若四维空间中“超球”的三维测度38Vr，猜想其四维测度W（ ）

A．42r B．43r C．44r D．46r

【答案】A

【解析】

分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W.

详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n维测度关于r求导可得n维测度，

结合“超球”的三维测度38Vr，可得其四维测度42Wr.

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知点(10,3)P在椭圆222:199xyCa上.若点00,Nxy在圆222:Mxyr上，则圆M过点N的切线方程为200xxyyr.由此类比得椭圆C在点P处的切线方程为（ ）

A．13311xy B．111099xy C．11133xy D．199110xy

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据点在椭圆上，求得2a，再类比可得切线方程.

【详解】

因为点(10,3)P在椭圆222:199xyCa上，

故可得21009199a，解得2110a；

由类比可得椭圆C在点P处的切线方程为：

103111099xy，整理可得11133xy.

故选：C.

【点睛】

本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.

4．若数列{}na是等差数列，则数列12nnaaabn也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}nc是等比数列，且nd也是等比数列，则nd的表达式应为( )

A．12nncccdn

B．12nncccdn

C．12nnnnnncccdn

D．12nnndccc

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．

【详解】 解：Q数列{}na是等差数列，则12112nnnaaaadn，

数列12112nnaaanbadn也为等差数列

Q正项数列{}nc是等比数列，设首项为1c，公比为q，

则112121111nnnnncccccqcqcq

112121111nnnnnndcccccqcqcq

12nnndccc是等比数列

故选：D．

【点睛】

本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．

5．已知0x，不等式12xx，243xx，3274xx，…，可推广为1naxnx ，则a的值为( )

A．2n B．nn C．2n D．222n

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意归纳推理得到a的值即可.

【详解】

由题意，当分母的指数为1时，分子为111；

当分母的指数为2时，分子为224；

当分母的指数为3时，分子为3327；

据此归纳可得：1naxnx中，a的值为nn.

本题选择B选项.

【点睛】

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

6．给出下面类比推理：

①“若2a<2b，则a

③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；

④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．

其中结论正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.

【详解】

①若“22ab，则ab”类比推出“若22ab，则ab”，不正确，比如1,2ab；

②“()(0)abcacbcc”类比推出“(0)ababcccc”，正确；

③在复数集C中，若两个复数满足0ab，则它们的实部和虚部均相等，则,ab相等，故正确；

④若,abC，当1,aibi时，10ab，但,ab是两个虚数，不能比较大小，故错误；

所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.

7．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，

小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）

A．小钱 B．小李 C．小孙 D．小赵

【答案】A

【解析】

由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；

如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.

8．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}na有以下结论:①515a；②{}na是一个等差数列；③数列{}na是一个等比数列；④数列{}na的递堆公式11(),nnaannN其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④

【答案】D

【解析】

由图形可得：a1=1,a2=1+2，…

∴1122nnnan .

所以①a5=15； 正确；

②an−an−1= n,所以数列{an}不是一个等差数列；故②错误；

③数列{an}不是一个等比数列；③错误；

④数列{an}的递推关系是an+1=an+n+1(n∈N∗).正确；

本题选择D选项.

点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.

【详解】

第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.

故选：B.

【点睛】

本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.

10．在等差数列na中，若0na，公差0d，则有4637aaaa.类比上述性质，在等比数列nb中，若0nb，公比1q，则关于5b，7b，4b，8b的一个不等关系正确的是（ ）

A．5748bbbb B．7845bbbb C．5748bbbb D．7845bbbb

【答案】C

【解析】

【分析】

类比等差数列{}na与等比数列{}nb各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．

【详解】

在等差数列{}na中，由4637时，有4637aaaa，

类比到等比数列{}nb中，由5748时，有4857bbbb，

因为4334857444444()(1)(1)bbbbbbqbqbqbqbqq

32244(1)(1)(1)(1)0bqqbqqq，

所以4857bbbb成立．

故选：C

【点睛】

本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．

11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：

甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；

乙预测说：我不会获奖，丙获奖

丙预测说：甲和丁中有一人获奖；

丁预测说：乙的猜测是对的

成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）

A．甲和丁

B．乙和丁

C．乙和丙

D．甲和丙

【答案】B