1 课时作业(四十一)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值及多解问题
[基础训练]
1．(2017·甘肃河西五市第一次联考)(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为qm，发射速度大小都为v0，且满足v0＝qBam，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是(
)
A．粒子有可能打到A点
B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短
C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
答案：AD 解析：根据Bqv0＝mv20R，可知粒子的运动半径R＝a，因此θ＝60°时，粒子恰好从A点飞出，故A正确；以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期的六分之一，在磁场中运动时间最长，故B错误；以θ＝0°飞入的粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是周期的六分之一，θ从0°到60°，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；因为以θ＝0°飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．
2．(2017·江西红色七校第一次联考)(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是(
)
A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 2 答案：AD 解析：在磁场中轨迹半径r＝mvqB，在比荷相同时，轨迹半径与速率成正比，如果入射速度相同，则粒子在磁场中的运动轨迹也相同，故A正确；入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，则它们的运动时间有可能相同，虽然轨迹不一样，但从磁场的左边射出的粒子，圆心角却相同(θ＝π)，则粒子在磁场中运动的时间t＝θ2πT＝θ2π·2πmqB＝mqB·θ(θ为转过的圆心角)，所以从磁场的左边射出的粒子运动时间相同，故B错误；由A、B的分析可得，从磁场的左边射出的粒子运动时间一定相同，但半径可能不同，所以运动轨迹也不同，故C错误；由于它们的周期相同，在磁场中运动的时间t＝mqBθ，在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角也一定越大，故D正确．
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中的临界问题可以通过“放缩法”解决。当速度方向一定，大小不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。通过以入射点为定点，将半径放缩作轨迹，探索出临界条件。
另一种解决有界磁场中的临界问题的方法是“旋转法”。当速度大小一定，方向不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同。圆心在以入射点为圆心、半径为mv/qB的圆上。通过旋转圆心，将问题转化为无界磁场中的问题。
旋转法”是一种探索临界条件的方法，它通过让圆绕着入射点旋转来实现。
在一个真空室内，存在一个垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=0.60 T。在磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。距离ab为l=16cm处有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射速度为v=3.0×10m/s的α粒子。已知α粒子的比荷为5.0×10C/kg，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。解题思路是过S点作ab的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算。
由于带电粒子的电性不确定，可能带正电荷，也可能带负电荷。在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。
在一个宽度为d的有界匀强磁场中，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从右边界NN′射出，需要求粒子入射速率的最大值。由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN′射出的临界条件是轨迹与NN′相切。
题目描述：
一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的粒子，恰好从e点射出，则（）。
解题思路：
根据题目描述，可以画出如下示意图：
image.png](/upload/image_hosting/ed6v3v6v.png)
思想方法 14.求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
【典例1】 如图所示，在xOy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xOy平面向里，边界分别平行于x轴和y轴．一个电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点O以速度v0射入的第二象限，速度方向与y轴正方向成45°角，经过磁场偏转后，通过P(0，a)点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力．
(1)若磁场的磁感应强度大小为B0，求电子在磁场中运动的时间t；
(2)为使电子完成上述运动，求磁感应强度B的大小应满足的条件；
(3)若电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，在y轴左侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，电子在第(k＋1)次从左向右经过y轴(经过P点为第1次)时恰好通过坐标原点．求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子的运动时间t.
【典例2】 如图8－2－13所示，在0≤x≤a、0≤y≤a2范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
(1)速度的大小．
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦．
即学即练 放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求：
带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题
一、多解问题
(一)带电粒子电性不确定形成多解
1.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
2．如图1所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ＝60°，试分析计算：
图1
(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？
(2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？
(二)磁场方向不确定形成多解
2.(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.4qBm B.3qBm
C.2qBm D.qBm
(三)带电粒子速度不确定形成多解
3.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC
的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷qm＝k，则质子的速度可能为
A．2BkL B.BkL2
C.3BkL2 D.BkL8
1．(多选)如图6所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
