磁场临界、极值
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1 §X3.5带电粒子在磁场中的运动（三）
一、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2、当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
3、注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
二、洛仑兹力的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。
（1）带电粒子电性不确定形成多解 （2）磁场方向不确定形成多解
（3）临界状态不唯一形成多解 （4）运动的重复性形成多解
【典型例题】
1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度
例1、如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0的最大值是多大？
2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角
例2、如图所示，r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标O处相切，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向外，在O处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的粒子，已知ma=6.64×10-27kg，q=3.2×10-19C，则粒子通过磁场最大偏转角等于多少？
2 例3、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的3倍，若电子电荷量为e，质量为m，磁感应强度为B，那么，电子运动的可能角速度是（ ）
A、4eB/m B、3 eB/m C、2 eB/m D、eB/m
【针对训练】
1、如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一
象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。
2、在真空中，半径r=3×10-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感强度B=0.2T，一个带正电的粒子，以初速度v0=106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷mq108C/kg，不计粒子重力，求：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0方向与ab的夹角及粒子的最大偏转角。
3、在xoy平面内，x轴上方存在磁感应强度为0.5T的匀强磁场，方向如图，一粒子（电荷量与质量的比值为5.0×107C/kg）以5.0×106m/s的速度从O点射入磁场中，其运动方向在xoy平面内。经一段时间粒子从图中的A点飞出磁场，已知OA之间的距离为202cm，求粒子在磁场中的运动时间。（计算结果保留两位有效数字）
3 【能力训练】1、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为mq4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
2、M、N两极板相距为d，板长均为5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，求磁感应强度B的范围。
3、如图所示一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角30°，大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。
（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
4、图为氢原子核外电子绕核作匀速圆周运动（逆时针方向）的示意图，电子绕核运动可等效地看作环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上一点P处产生的磁感强度的大小为B1，现在沿垂直于轨道平面的方向加一磁感强度B0的外来磁场，这时设电子的轨道半径没变，而它的速度发生变化。若用B2表示此时环形电流在P点产生的磁感强度大小，则B0的方向（ ）
A、垂直于纸面向里时，B2＞B1 B、垂直于纸面向外时，B2＞B1
C、垂直于纸面向里时，B2＜B1 D、垂直于纸面向外时，B2＜B1 × × ×
×
× × × ×
× × × × a b
c d O
30° ·
+ 4 [典型例题]
例1、解析：为了使带电粒子入射时不从边界MN射出，则有临界轨迹与MN相切，如图所示。设粒子
做圆周运动的轨道半径为R，则有Bqv0=mRv20，由几何
关系得Rcos60°+R=d，解得入射粒子的最大速度v0=m3dBq2。
例2、解析：设粒子在洛伦兹力作用下的轨道为R，则有Bqv=mRv20，所以R=0.2m，在图中，虽然粒子进入磁场的速度方向不同，但入射点及轨道半径是确定的，若使粒子飞出磁场有最大偏转角，应使粒子在磁场走过
圆弧最长，或对应的弦最长。显然最大弦长为磁场圆的直径，如图所示，由几何关系得sin21Rr，所以最大偏转角等于2=60°。
例3、解析：由于本题中没有明确磁场方向和电子的环绕方向，所以电子受洛伦兹力的方向有两种可能，一种可能是F电与F洛′同时指向圆心，如图（1）、（2），另一种是F洛′背离圆心，如图（3）、（4），所以此题必有两个解。在（1）、（2）情况下：∵F+F′=m2r， 又F=3F′=3evB ∴4evB=m2r 又∵v=r ∴meB4
在图（3）、（4）情况下 F- F′=m2r，又F=3F′=3evB ∴2evB=m2r 又∵v=r ∴meB2
正确答案：AC
[针对训练]
1、解，最小圆的半径r=qB2mv2R22RR212MN22，。
2、解析：（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力充当圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有： RmvqvB2 qBmvR=5×10-2m。
（2）粒子在圆形磁场区域轨迹为一段半径R=5cm的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弧最长，即为场区的直径，粒子运动轨迹的圆心O′在ab弦中垂线上，如图所示。
由几何关系可知： 6.0Rrsin 37°
而最大偏转角742
正确答案：R=5×10-2m =37° =74°
3、解：以粒子为研究对象，在磁场中运动时，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 5 Bqv=mRv2 所以R=m2.0m100.55.0100.5qBmv76
粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期
T=s105.2s100.52.02vR276
（1）若粒子沿甲图所示方向射入，设
∠AO1B为，则 22AOABsin1 ∴ 解得4
∴粒子在磁场中运动的圆心角
2322
∴粒子在磁场中的运动时间为2t1·T=1.9×10-7s
（2）粒子沿乙图所示方向射入，设∠AO1C为，则22AOACsin2 解：4
∴粒子在磁场中运动的圆心角 22
∴粒子在磁场中的运动时间为t2=T20.63×10-7s
[能力训练]
1、解析：（1）若粒子沿半径方向射入磁场，设运行半径为r，由qvB=rmv2得v=mqvB，由此可见要使速度最大，只需半径最大即可。
当运动轨迹恰好与外圆相切时（如图所示）半径最大，由图中的几何关系得
R12+r2=(R2-r)2
联立上面的速度表达式并代入数据可得v=1.5×107m/s。
此速度即为沿环状半径方向射入的粒子不能穿越磁场的最大速度。
（2）粒子沿内圆切线方向射入磁场，轨迹与外圆相切，此时
轨迹半径r′最短（如图所示），则有
m25.02RRr12
要使所有粒子都不能穿越磁场区域，必须满足rqBvm
代入数据得0.1mqBrv×107m/s，即为所有粒子都不能穿越磁场的最大速度。
方法指导：带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析： 6 （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
（2）当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
（3）注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。
2、解析：要使电子都不从板间穿出，只要靠近上板的电子不能射出，便满足要求。临界轨迹如图。
洛仑兹力提供向心力
qvB=Rmv2，故：B=qRmv
圆心为O1时，R1=2d，此时B1=qdmv2
圆心为O2时，R22=(R2-d)2+(5d)2，得R2=13d
此时B2=qd13mv
那必须满足：R1≤R≤R2 也就是qd13mv≤B≤qdmv2
3、简析：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab边相切时，圆心为O1，R1=2L-R1cos60°，得R1=3L，轨迹与cd边相切时，圆心为O2
由几何知识得：
R2=L30cot30cos2L
又：R=qBmv0，得：v0=mqBR
故范围：mqBLvm3qBR0
（2）经分析由ad边射出的粒子时间相等且最长 T=qBm2
圆心角=360°-60°=300°
所以t=qB3m5T360300
4、BC
