单调性与最大(小)值 精品教案

——————————————第 1 页 （共 8页）—————————————— §1.3.1单调性与最大（小）值（平行班）（第一课时）

【教学目标】：

（1）知识目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义和函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；利用函数的单调性求函数的最大（小）值．．

（2）过程与方法目标：从已有的函数知识经验出发，系统的学习函数知识，理解函数性质

（3）情感与能力目标：从知识的发现认识过程中，提升知识的理解，建立数学学习的信心。通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力。

【教学重点】：函数的单调性及其几何意义．

【教学难点】：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

【教学突破点】：从已有的函数知识引入通过函数单调性的概念，而通过具体函数的图像形象理解函数单调性的定义。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

——————————————第 2 页 （共 8页）—————————————— 一、复习引入

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

○1 随x的增大，y的值有什么变化？

○2 能否看出函数的最大、最小值？

○3 函数图象是否具有某种对称性？

2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x

○1 从左至右图象上升还是下降 ______?

○2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

2．f(x) = －2x+1

○1 从左至右图象上升还是下降 ______?

○2 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

3．f(x) = x2

○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

从实际生活的例子出发，使学生对函数的单调性有一个更具体的认识。

y

x 1 -1 1

-1 y

x 1 -1 1

-1

y

x 1 -1 1

-1 y

x 1 -1 1

-1 y

x 1 -1 1

-1 y

x 1 -1 1

-1

——————————————第 3 页 （共 8页）—————————————— 二、讲授新课

（1）函数单调性定义 师：函数的图像仅从直观上给出了增函数和减函数的映像。数学更讲究逻辑上的严谨，如何用数学语言来描述“y随x的增大而增大，y随x的增大而减小”的这样自然语言呢？

生：（由于第一次接触用数学语言来描述一个概念，可能无从下手）讨论。

师：巡视指导，遇到学生思维切入点好的同学及时引导，同时启发举例。如我们要说重点班同学比面上班同学成绩都好，我们常常这样描述：任取重点班一名学生的总成绩总好于面上班任意一名学生的总成绩（教师要把“任取”“任意”语音加重引起学生重视）。我们能和类似的语言来描述吗？

生：答（可能仍不能规范或回答不上来，而有预习的同学可能够表达出来！）。

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意： ○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

——————————————第 4 页 （共 8页）——————————————

三、运用新知 ，

体验成功，判断函数单调性的方法步骤

师：根据单调性的定义和刚才的总结，你能说出几个单调函数的例子吗？

生：举例（可能有错误说法，教师适时纠正）。

师：下面结合具体例子来加深对单调性定义的理解。

例1图1.3-4是定义在区间]5,5[上的函数)(xfy，根据图象说出函数的单调区间，以及在相应区间上，它是增函数还是减函数？

甲生：函数)(xfy的单调区间有)2,5[，)3,1[，)1,2[ ，]5,3[。

其中)(xfy在区间)2,5[，)3,1[上是减函数，也是单调减区间，

函数)(xfy在区间)1,2[ ，]5,3[上是增函数。也是单调增区间。

乙生：我有一个问题，在两个区间的公共点处，是增函数还是减函数呢？

师答：表扬爱动脑筋的好同学。比如，对于2这个单独点，由于函数值是常数，因此没有增减变化，它既是)2,5[终点又是)1,2[起点。那当然也可以写为]2,5[)1,2(

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2 物理学中的玻意耳定律VkP（k为正常数）告诉我们对于一定量的气体，V减小时，压强P将增大。试用函数单调性证明之。

证明：设),0(21VV、上的任意两个实数,且21VV，

则21122121)()(VVVVkVkVkVPVP

由),0(21VV、得021VV

由21VV得012VV

又0k于是0)()(21VPVP即)()(21VPVP

所以VkP,),0(V是减函数，也就是说当体积V减少时压强P增大。

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)－f(x2)；

○3 变形（通常是因式分解和配方）；

○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

师：请根据如上步骤，完成上题。

生：解答，一名同学板演

师：纠正步骤中不规范之处，强调每一步的意义所在。使学生形成正及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习 52

1 35x 0 y

——————————————第 5 页 （共 8页）—————————————— 四、师生互动，继续探究

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）32)(xxf （2）32)(xxf ]2,1[x

（3）12)(2xxxf （4）12)(2xxxf ]2,2[x

让学生进行单调性的探究, 对于较为正确的理解函数，并能说出特征的都将给予肯定，重视个体差异，体现多元评价的思想，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心，增强学生的自信心.然后教师给出规范的分类。

五、分层练习，巩固提高

巩固练习：

○1 课本P38练习第3题；

○2 证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数．

通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

——————————————第 6 页 （共 8页）—————————————— 六、概括梳理，形成系统

（小结） 采取师生互动的形式完成。

即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。

归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值

→ 作 差 → 变 形 → 定 号 →

下结论 采取师生互动的形式完成。

七、布置作业

1、 课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．

2、 可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。

提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

○1 求f(0)、f(1)的值；

○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

§单调性与最大（小）值

班级 姓名

A组

一、选择题：

1．若一次函数),()0(在kbkxy上是单调减函数，则点),(bk在直角坐标平面的（ ）

A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面

2．函数y=x2+x+2单调减区间是( )

A ．[－21,+∞] B．（－1，+∞） C．（－∞，－21） D．（－∞，+∞）

3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（ ）

A．xy1 B．2xy C．2xy D．122xxy

4．已知函数2)1(2)(2xaxxf在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥3 B．a≤-3 C．a≥-3 D．a≤5

5．设A=[1，b]（b＞1），)(1)1(21)(2Axxxf，若f（x）的值域也是A，则b值是（ ）

A．23 B．2 C．3 D．27

6．定义在R上的f（x）满足f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若)1()1(2faf，