河北省鸡泽县第一中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 2017-2018学年第一学期第一次月考

高三数学试题（理科）

测试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)

1．已知集合A＝{x|y＝4x－x2}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝( )

A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4]

2．下列说法中，正确的是( )

A．命题“若am2

B．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”

C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

3．若tanα＝12，则sin4α－cos4α的值为( )

A．－15 B.15 C.35 D．－35

4．已知向量a＝(1,2)与b＝(4，k)垂直，且a－b与a＋b的夹角为θ，则cosθ等于( ) A.825 B.13 C．－79 D．－35

5．函数g(x)＝2ex＋x－312t2dt的零点所在的区间是( )

A．(－3，－1) B．(－1,1) C．(1,2) D．(2,3)

6．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，|φ|

A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移π12个单位长度 噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 C．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π12个单位长度

7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是( )

A．42 B．25 C．6 D．43

8．已知实数x，y满足 x≥1，x＋y≤2，x－y≤2，若不等式ax－y≤3恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，4] B.－∞，32 C.32，2 D．[2,4]

9．已知数列{an}满足an＝ 13－an＋2n>8，an－7n≤8，若对于任意的n∈N*都有an>an＋1，则实数a的取值范围是( )

A.0，13 B.0，12 C.13，12 D.12，1

10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝4，且f(x)的导函数f′(x)<3，则不等式f(ln x)>3ln x＋1的解集为( )

A．(1，＋∞) B．(0，e)C．(0,1) D．(e，＋∞)

11．已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )

A．22 B．23 C．42 D．43

12．已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则( )

A．1

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 项和等于________．

14．若函数f(x)＝4sin5ax－43cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a的值为________．

15甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．

16．已知函数f(x)＝ 1－|x＋1|，x<1，x2－4x＋2，x≥1，

则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________个．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. ](本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x2＋mx)ex(其中e为自然对数的底数)．

(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，求m的取值范围．

18 (本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a＋1a＝4cosC，b＝1.

(1)若A＝90°，求△ABC的面积；

(2)若△ABC的面积为32，求a，c.

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19． (本小题满分12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋1b2n－1·b2n＋1，求数列{cn}的前n项和．

20.(本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝2.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．

(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．

21．(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，3cosx)，噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 f(x)＝m·n－32.

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝a在区间0，π2上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝2时，若存在区间[m，n]⊆12，＋∞，使f(x)在[m，n]上的值域是km＋1，kn＋1，求k的取值范围． 噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 答案 B B D D C A D B D B A B

12.解析 依题意得f′(x)＝－2ke－2x，f′(0)＝－2k＝－1，k＝12.在同一坐标系下画出函数y＝f(x)＝12e－2x与y＝|ln x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有12e－2x1＝|ln x1|＝－ln x1∈12e－2，12，12e－2x2＝|ln x2|＝ln x2∈0，12e－2，12e－2x2－12e－2x1＝ln x2＋ln x1＝ln (x1x2)∈－12，0，于是有e－12

13. 2n－1；14.±35;15. 30°16.2

解析 由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝21－|x|，画出y＝ 1－|x＋1|，x<1，x2－4x＋2，x≥1与y＝21－|x|的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.

17.解 (1)当m＝－2时，f(x)＝(x2－2x)ex，

f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，(1分)

令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－2或x≥2.

所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．(4分)

(2)依题意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，(5分)

因为f′(x)≤0对于x∈[1,3]恒成立，

所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－x2＋2xx＋1＝－(x＋1)＋1x＋1.(7分)

令g(x)＝－(x＋1)＋1x＋1，则g′(x)＝－1－1x＋12<0恒成立，

所以g(x)在区间[1,3]上单调递减，g(x)min＝g(3)＝－154，故m的取值范围是－∞，－154.(10分)

18.解 (1)a＋1a＝4cosC＝4×a2＋b2－c22ab＝2a2＋1－c2a，

∵b＝1，∴2c2＝a2＋1.(2分)

又∵A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， 噼噼啪啪噼噼啪啪房东是个大帅哥 ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝2，a＝3，(4分)

∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc＝12×1×2＝22.(6分)

(2)∵S△ABC＝12absinC＝12asinC＝32，则sinC＝3a.

∵a＋1a＝4cosC，sinC＝3a，

∴14a＋1a2＋3a2＝1，化简得(a2－7)2＝0，

∴a＝7，从而cosC＝14a＋1a＝277，

∴c＝a2＋b2－2bccosC＝7＋1－2×7×1×277＝2.(12分)

19.解 (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0，

在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，①(2分)

又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②

把①代入②，得2(2q＋1)＝2＋2q2，解得q＝2或q＝0(舍去)，(4分)

所以an＝a2qn－2＝2n－1，则bn＝log2an＋1＝log22n＝n.(6分)

(2)由(1)得cn＝an＋1＋1b2n－1·b2n＋1＝2n＋12n－12n＋1＝2n＋1212n－1－12n＋1，(8分)

所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋12[ ( 1－13 )＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1 ]＝21－2n1－2＋121－12n＋1＝2n＋1－2＋n2n＋1.(12分)

20.解 (1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.即AB2＋a2＝BC2⇒12＋a2＝(2)2⇒a＝1.(2分)

若AD⊥BC，因为AD⊥AB，AB∩BC＝B，所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC，

即AD2＋a2＝CD2⇒(2)2＋a2＝12⇒a2＝－1，无解，故AD⊥BC不成立．(4分)

(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值22，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.(6分)

过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，

以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，

则易知A0，0，63，C63，33，0，D0，233，0，

显然，面BCD的法向量为OA→＝0，0，63.(8分)