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绝对值专题讲义

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【知识点整理】

绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.

求字母a的绝对值：

①(0)0(0)(0)aaaaaa ②(0)(0)aaaaa ③(0)(0)aaaaa

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0abc，则0a，0b，0c

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；

（2）若ab，则ab或ab；

（3）abab；aabb(0)b；

（4）222||||aaa；

a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

ab的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．

【例题精讲】

模块一、绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A．±2 B．2 C．-2 D．4

【例2】下列说法正确的有（ ）

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．

A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥ 绝对值专题 讲义 WORD格式可编辑

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【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（ ）

A．2 B．-2 C．±2 D．12

【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）

A．11a B．-11a C．-3a D．3a

【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数

【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）

A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3

【例7】若1xx，则x是（ ）

A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数

【例8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A．1-b＞-b＞1+a＞a

B．1+a＞a＞1-b＞-b

C．1+a＞1-b＞a＞-b

D．1-b＞1+a＞-b＞a

【例9】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）

A．2 B．2或3 C．4 D．2或4

【例10】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）

A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6

【例11】若|x+y|=y-x，则有（ ）

A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0

C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）

A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 WORD格式可编辑

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【例13】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

（3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（ ）

A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）

【例14】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________

cba0-11

【巩固】2abcd已知、、、都是整数，且a+bb+cc+dd+a，则a+d 。

【例15】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________

【例16】计算111111....23220072006= ．

【例17】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________

【例18】已知数,,abc的大小关系如图所示，则下列各式： ca0b WORD格式可编辑

专业知识 整理分享 ①()0bac；②0)(cba；③1ccbbaa；④0abc；

⑤bcabcba2．其中正确的有 ．（请填写番号）

【巩固】已知：abc≠0，且M=abcabc，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能．

当a、b、c都是正数时，M= ______；

当a、b、c中有一个负数时，则M= ________；

当a、b、c中有2个负数时，则M= ________；

当a、b、c都是负数时，M=__________ ．

【巩固】已知abc，，是非零整数，且0abc，求abcabcabcabc的值

【例19】451xx的最小值是_______

模块二 绝对值的非负性

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0

2. 绝对值的非负性；若0abc，则必有0a，0b，0c

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专业知识 整理分享 【例1】 若42ab，则_______ab

【巩固】若7322102mnp，则23_______pnm＋

【例2】2120ab，分别求ab，的值

【巩固】先化简，再求值：abbaababba2)23(223222．

其中a、b满足0)42(132aba.

模块三 零点分段法

1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．

【例1】阅读下列材料并解决相关问题： WORD格式可编辑

专业知识 整理分享 我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12xx时，可令10x和20x，分别求得12xx，（称12，分别为1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：

⑴当1x时，原式1221xxx

⑵当12x≤时，原式123xx

⑶当2x≥时，原式1221xxx

综上讨论，原式211312212xxxxx≤≥

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出2x和4x的零点值

（2）化简代数式24xx

【巩固】 化简12xx

【巩固】化简12mmm的值

【巩固】 （1）化简523xx．

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专业知识 整理分享 【课堂训练1】

1. 若a的绝对值是12，则a的值是（ ）

A．2 B．-2 C．12 D．12

2. 若|x|=-x，则x一定是（ ）

A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数

3. 如果|x-1|=1-x，那么（ ）

A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1

4. 若|a-3|=2，则a+3的值为（ ）

A．5 B．8 C．5或1 D．8或4

5. 若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________

6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________

7. 如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________

ba0-11

8. 已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为 _________

9. 化简代数式24xx

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专题：分式不等式和绝对值不等式的解法

专题：分式不等式和绝对值不等式的解法

专题：分式不等式和绝对值不等式的解法

一、知识要点

本讲义从以下两方面展开：

1. 分式不等式的解法

分式不等式是一种常见的不等式，掌握其解法在高考中是非常重要的。

2. 绝对值不等式的解法

绝对值不等式是一种常见的不等式，其解法主要要注意分类讨论，也是高考常考的一个内容。

➢ 知识点一：分式不等式的解法

分式不等式的求解主要在于同解变形，将不等式化为整式不等式来进行求解。

一般地，对于分式不等式11()()()fxhxgx，要将其通分化为()0()fxgx的标准形式，

对于分式不等式()0()fxgx，它与()()0()0fxgxgx同解。

这样，我们就可以将分式不等式化为整式不等式。

➢ 知识点二：绝对值不等式的解法

与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对号去掉，进行同解变形。

一般的，()()fxgx与()()()()fxgxfxgx或同解；()()fxgx与()()()gxfxgx同解。

需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论。

二、典型例题

1. 分式不等式的解法

【例1】 （★☆☆☆）解不等式：22911721xxxx

解：原不等式化为：2(43)(12)0(1)xxx，它等价于：

4()(12)031xxx，得到：14[,1)(1,]23x 教学提示：此题是标准的求解分式不等式的题目。分式不等式求解的关键在于把分式不等式进行等价变形成为整式形式。在等价变形时要注意分母不为零。

一般地，对于分式不等式()0()fxgx，它与()()0()0fxgxgx同解。

【例2 】解不等式：2121332xxxx

解：通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)xxx，它等价于：

高三数学二轮复习专题讲义：有关y=ax b的绝对值函数

高三数学二轮复习专题讲义：有关y=ax b的绝对值函数

1 专题：绝对值函数baxxf)(

知识梳理：

绝对值函数baxxf)(的图象与性质

1.定义域：R； 值域：),0[；

2.单调性：函数)(xf在）（ab,上为减函数，在),(ab上为增函数．特别0,1ba时，xxf)(，图象如右图所示

题型一：掌握基本函数当b=0时为偶函数（可用平移来理解）解题

【例1】已知定义在R上的偶函数12fxxm．若正实数a，b满足2fafbm，则18ab的最小值为（ ）

A．9 B．5 C．25 D．175

【例2】设偶函数()log||afxxb在(0,)上是单调减函数，则(2)fb与(1)fa的大小关系是（ ）

A．(2)(1)fbfa B．(2)(1)fbfa C．(2)(1)fbfa D．不能确定

题型二：掌握基本函数图象及带绝对值函数的图象特点作图解题

【例3】已知函数21,0()log,0xxfxxx,若方程()fxa有四个不同的解1x,2x,3x,4x,且1234xxxx,则3122341()xxxxx的取值范围是（ ）

A．(1,) B．1,1 C．(,1) D．1,1

题型三：如何用分类讨论来处理带绝对值函数问题

【例4】设函数aRxaxxxf,(2)(2为常数）

（1）a=2时，讨论函数)(xf的单调性；（2）若a>-2，函数)(xf的最小值为2，求a的值． 2

题型四：构造函数研究函数的零点等问题

【例5】【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.xxfxxx若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是

A．1(,)(22,)2 B．1(,)(0,22)2

函数的性质专题讲义

函数的性质专题讲义

函数四大性质综合讲义

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称

奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称

4.对称性

（一）对称轴

1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称

2021年暑期初升高数学衔接专题讲义

2021年暑期初升高数学衔接专题讲义

第1讲 乘法公式

【基础知识回顾】

知识点1 平方公式

（1）平方差公式 22()()ababab；

（2）完全平方公式 222()2abaabb．

（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；

知识点2 立方公式

（1）立方和公式 2233()()abaabbab；

（2）立方差公式 2233()()abaabbab；

（3）两数和立方公式 33223()33abaababb；

（4）两数差立方公式 33223()33abaababb．

【合作探究】

探究一 平方公式的应用

【例1】计算：

（1）)416)(4(2mmm （2）)41101251)(2151(22nmnmnm

（3）)164)(2)(2(24aaaa （4）22222))(2(yxyxyxyx

（5）22)312(xx

归纳总结：

【练习1】计算：2(21)xy

探究二 立方公式的应用

【例2】计算：（1）3(1)x （2）3(23)x

归纳总结：

【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 38x (2) 30.12527b

探究三 整体代换

【例3】已知13xx，求：（1）221xx；（2）331xx．

归纳总结：

【练习3-1】已知2310xx，

求：（1）221xx；（2）331xx．

【练习3-2】已知4abc，4abbcac，求222abc的值．

【课后作业】

1．不论a，b为何实数，22248abab的值 （ ）

A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数