平面解析几何曲线与方程课件

10 辅导讲义――圆的方程

教学内容

1、圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．

2．确定一个圆最基本的要素：是圆心和半径．

3．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

4．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2.

5．A（1x，1y），B（2x，2y），以AB为直径的圆的方程为0))(())((2121yyyyxxxx

[例1] 以圆0222yxx的圆心为圆心，半径为2的圆的方程是_______________.

4)1(22yx

[巩固1] 已知圆心为P（-2，3），并且和y轴相切，则该圆的方程是___________.

4)3()2(22yx

[巩固2] 已知圆C经过点A（5，2），B（-1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是__________.

20)1(22yx

[巩固3] 直线y=ax+b通过第一、二、三象限，则圆)0()()(222rrbyax的圆心位于第___一_____象限.

[例2] 已知点M（1，-1），N（-1，1），则以线段MN为直径的圆的方程是_____________.

222yx

[巩固1] 若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是______________.

03422yxyx

[巩固2] 过三点A（1，0），B（0，3），C（2，3），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为_________.

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知识模块1圆的方程

精典例题透析

1 辅导讲义――直线方程

教学内容

1、直线的倾斜角

（1）在平面直角坐标系内，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方程旋转到和直线重合时所转过的最小正角.

（2）倾斜角的范围：_______________.

2、斜率

（1）斜率表示的是直线的倾斜程度

（2）斜率和倾斜角的关系：___________ (__________)

（3）过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式：________________.

3、斜率的旋转变化

与x轴平行时为0，然后随逆时针转动逐渐变大，接近y轴时为无穷大；

越过y轴后变为负无穷大，然后继续增大到零.

[例1] 直线3x-3=0的倾斜角是___________.

[巩固1] 过点M（-2，m）、N（m，4）的直线斜率等于1，则m=__________.

[巩固2] 直线xcosα-y-3=0的倾斜角的范围是__________.

[例2] 已知A（2，-3），B（-3，-2），过点P（1，1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是___________

[巩固] 已知A（2，-3），B（-3，-2），直线l的方程为kx+y-2k-1=0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范知识模块1直线的倾斜角和斜率

精典例题透析

2 围是___________

1、五种直线方程：

名称 已知条件 示意图 方程 使用范围

点斜式 点P(x0，y0)和斜率k

斜率存在

斜截式 斜率k和在y轴上的截距b

斜率存在

两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

斜率存在且不为0

截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0 斜率存在且不为0，不过原点

1 第5课时 圆的方程

【基础过关】

1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．

2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为 ，半径r＝ ．

3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是 ．

4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．

5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ．

【典型例题】

例1. 根据下列条件，求圆的方程．

(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．

(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．

解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0

由 解得

∴圆心为C(7，－3)，半径r＝

故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

将P、Q两点坐标代入得

令y＝0得x2＋Dx＋F＝0

由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③

解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0

变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．

例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

４２　数学教学研究　２００４年第９期　

平面解析几何中求角平分线方程的向量解法　

朱星如　甘武洪　

（广东省广州市第６５中学５１０４５０）　

平面向量是高中数学试验教材与高中数学课程　标准中新增内容，向量在数学、物理学中有着广泛的　

应用，它是数形结合的一个典型案例．加强向量的教　

学，是学生学好新课程的基础．本文从一道高考题的　结论出发，引出平面解析几何中角平分线方程的求　法，以求教于同行．　

１　引题　

２００３年江西、天津高考数学试题（理工）第４题：　Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三点，　

动点Ｐ满足　＝　＋Ａ（　＋焉），Ａ　［０，　

＋　），则点Ｐ轨迹一定通过ＡＡＢＣ的（　）．　

（Ａ）夕　心　（　）内心　（Ｃ）重心　（Ｄ）垂心．　

因为　、篙分别是与　、　同向的单位　

向量，由向量加法的平行四边形法则知　＋　

是与　ｃ的角平分线（射线）同向的一个向　

量，又　一　＝　＝Ａ（　＋　，Ａ　ｅ　

＋　），知点Ｐ的轨迹是ＬＢＡＣ的平分线，从而选　

（日）．　－　

利用本题的结论和直线方程的点向式可以方便　

地求出平面解析几何中的角平线所在直线的方程．　

２　用向量求角平分线方程的程序　条不平行于两坐标轴的直线过点ｐ（ｘ。，Ｙｏ），　

其方向向量为　＝（ｎ，ｂ），则该直线的方程可表为　

这一方程称为直线的点向式方程．　

条直线过点　（　。，Ｙｏ），其法向量为　ｒ１．＝（Ａ，　

设ｐ（ｘ，），）是直线上任意一点，由　ｒ／．．　＝０得　

直线的方程为肌＋　一（Ａ　＋Ｂｙｏ）＝０，这一方程　

称为直线方程的点法式方程．据此，我们会得到直线　

舭＋　＋Ｃ＝０的法向量为　ｒ／．＝±（Ａ，Ｂ），其方向向　量为　＝±（一Ｂ，Ａ）．　据引题的结论，我们不难得到求一个角的平分　线所在的直线方程的步骤：　

（１）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得　角两边的方向向量　、　；　

（２）求出角平分线的方向向量　，　

１１２　广　；　

（３）由点向式得出角平分线的方程．　特别地，给出两条直线ｆ１：Ａ　ｚ＋Ｂ　ｙ＋ｃ　＝０，ｆ２：