2018年高考数学专题14两角和与差的三角函数热点题型和提分秘籍理

1 专题14 两角和与差的三角函数

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

热点题型一 三角函数式的化简、求值

例1、 (1)化简：（1＋sin α＋cos α）·cos α2－sin

α22＋2cos α(0＜α＜π)＝________.

(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°＝________.

解析 (1)原式＝

2cos2α2＋2sinα2cos

α2·cosα2－sin

α24cos2α2

＝cosα2cos2α2－sin2α2cos α2＝cos α2cos αcos α2.

因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cosα2＞0，

所以原式＝cosα.

(2)原式＝2cos210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos25°－sin25°sin 5°cos 5°

＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°

＝cos 10°－2sin（30°－10°）2sin 10°

＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10° 2 ＝32.

答案

(1)cosα (2)32

【提分秘籍】

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.

(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.

【举一反三】

(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.

(2)已知sin α＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos 2αsinα－π4的值为________.

(2)法一 ∵sin α＝12＋cosα，∴sin α－cosα＝12，

∴2sinα－π4＝12，∴sinα－π4＝24.

又∵α∈0，π2，∴α－π4∈－π4，π4， 3 ∴cosα－π4＝144，

∴cos 2α＝－sin2α－π4＝－2sinα－π4·

cosα－π4＝－2×24×144＝－74，

∴cos 2αsinα－π4＝－7424＝－142.

热点题型二 三角函数的给值求值、给值求角

例2、(1)已知0

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值.

【解析】(1)∵0

∴π4

∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459， 4 cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，

∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β

＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β

＝－19×53＋459×23＝7527，

∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.

(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tan β1－tan（α－β）tan β

＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π).

∴00，

∴0<2α

∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan

β＝34＋171－34×17＝1.

∵tan β＝－17<0，∴π2

∴2α－β＝－3π4.

【提分秘籍】

(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，

β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.

(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0， 5 π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.

【举一反三】

已知cosα＝17，cos(α－β)＝13140

(1)求tan 2α的值；

(2)求β的值.

【解析】(1)∵cosα＝17，0

∴sin α＝437，∴tan α＝43，

∴tan 2α＝2tan

α1－tan2α＝2×431－48＝－8347.

(2)∵0

∴sin(α－β)＝3314，

∴cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝17×1314＋437×3314＝12.

∴β＝π3.

热点题型三 三角变换的简单应用

例3．已知f(x)＝1＋1tan xsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.

(1)若tan α＝2，求f(α)的值；

(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围. 6

(2)由(1)得f(x)＝12(sin 2x＋cos 2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.

由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4.

∴－22≤sin2x＋π4≤1，0≤f(x)≤2＋12，

所以f(x)的取值范围是0，2＋12.

【提分秘籍】

解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.

【举一反三】

已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.

(1)求角A；

(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值.

【解析】(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cosA＋

sin A)(sin A－cosA)，则sin2A＝34. 7 又A为锐角，所以sin A＝32，则A＝π3.

1.【2017江苏，5】 若π1tan(),46 则tan

▲

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【答案】75

【解析】11tan()tan7644tantan[()]14451tan()tan1446．故答案为75．

2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，cos()=___________.

【答案】79

【解析】因为和关于y轴对称，所以2,kkZ，那么1sinsin3，

22coscos3（或22coscos3），

所以2227coscoscossinsincossin2sin19.

1.【2016高考新课标3理数】在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cosA（ ）

（A）31010 （B）1010 （C）1010 （D）31010

【答案】C 8 2.【2016高考新课标2理数】若3cos()45，则sin2（ ）

（A）725 （B）15 （C）15 （D）725

【答案】D

【解析】2237cos22cos12144525 ，

且cos2cos2sin242，故选D.

3.【2016高考新课标3理数】若3tan4 ，则2cos2sin2（ ）

(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

【答案】A

【解析】

由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．

4.【2016年高考四川理数】22cossin88ππ= .

【答案】22

【解析】由二倍角公式得22cossin882cos.42

【2015江苏高考，8】已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.

【答案】3