2022-2023学年八年级数学上学期课后分级练(北师大版)1-1 探索勾股定理(解析版)

1.1 探索勾股定理第1课时【基础达标】1.如图，在△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长度为（）A.1B.√7C.2√3D.52.在Rt△ABC中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△ABC的面积为（）A.5B.60C.45D.303.(优秀传统文化)在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”.斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的几何美感.如图1，我们选取斗拱模型的一部分，它由三个小木块组成，形状类似于一个直角三角形(图2).假设这个斗拱模型的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c.根据工匠的记录，我们知道a=5尺(古代的长度单位)，b=12尺，则斜边c为尺.4.如图，在△ABC中，△ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为.5(新考法)如图，在△ABC中，AC=BC=5，P为AC上一动点，连接BP，BP的最小值为3，当BP取最小值时，AP= .【能力巩固】6(新考法)如图，在5×5的网格中，A，B，C都是网格点，则AC的长落在数轴上点（）A.M处B.N处C.P处D.Q处7对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（）A.15B.16C.17D.208.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为.【素养拓展】9(合作学习)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图，作AD△BC于点D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.10如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA△AB于点A，CB△AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB边上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处?11(五育并举)为推行五育并举，结合当地特色，某校推出石板画课程，如图，这是小明制作的正方形石板画ABDE，为了方便展示小明又制作了两个直角三角形支架(△ABC和△BDF)，点C、B、F在同一直线上，在△ABC中，△ACB=90°，AC=8 cm，BC=7 cm，求C、E两点之间的距离.参考答案1.1 探索勾股定理 第1课时基础达标作业 1.B 2.D 3.13 4.16 5.1能力巩固作业 6.D 7.C 8.23素养拓展作业9.解:在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13， 设BD=x ，则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x )2， ∴152-x 2=132-(14-x )2， 解得x=9， ∴AD=12，∴S △ABC =12BC ·AD=12×14×12=84.10.解:设AE=x ，在Rt△AED 中，x 2+152=DE 2. 在Rt△BCE 中，(25-x )2+102=CE 2.又DE=CE ，所以(25-x )2+102=x 2+152，解得x=10. 答:E 站应建在离A 站10 km 处.11.解:如图，连接CE ，过点E 作EG △AC ，交CA 的延长线于点G ， ∴△EGA=90°， ∴△EAG+△AEG=90°. ∴△BAE=90°， ∴△EAG+△BAC=90°， ∴△AEG=△BAC.∴AE=AB，∴△AEG△△BAC(AAS)，∴EG=AC=8 cm，AG=BC=7 cm.在Rt△ECG中，EG=8，GC=GA+AC=7+8=15(cm)，根据勾股定理得CE=√82+152=17(cm).。

第一章勾股定理1探索勾股定理勾股定理文字语言直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言a2+b2=c2(a,b→两直角边,c→斜边)前提在“直角三角形”中常见变式(1)c2=a2+b2;c=a2＋b2 ;(2)a2=c2-b2;a=c2－b2 ;(3)b2=c2-a2;b=c2－a2.【思考】1．在直角△ABC中，c一定代表斜边吗？答案：不一定．2．若某直角三角形的两边长分别为3，4，那么第三条边长一定是5吗？答案：不一定．当3，4为直角边长时，第三条边长为5；当4为斜边长时，第三条边长不为5.1．在一直角三角形中，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么(C)A．a2＋b2＞c2B．a2＋b2＜c2C．a2＋b2＝c2D．a2＋b2≠c22．在直角△ABC中，∠C＝90°，直角边a＝5，b＝12，则斜边c的长为(B)A．15 B．13 C．12 D．103．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边长为(C)A．4 B．5 C．6 D．74．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__100__．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD＝__2.4__.重点1 利用勾股定理求几何图形面积(拆解法)【典例1】(教材P4习题T2延伸)如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边AC和直角边BC的长分别是13，12，则图中阴影部分的面积为__25__．【解析】根据勾股定理得出：AB＝AC2－BC2＝132－122＝5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是EP2＋PF2＝25.1．(变条件、问法)如图，若EF＝5，则PE2＋PF2＝__25__，即正方形QMPE和正方形PSTF的面积之和为__25__．【解析】在直角△FPE中，由勾股定理得PE2＋PF2＝EF2＝25，即正方形QMPE和正方形PSTF 的面积之和为PE2＋PF2＝25.2．(变问法)如图，正方形ABFE的面积为__25__．【解析】正方形ABFE的面积为AB2＝AC2－BC2＝132－122＝25.3．(变图形)如图，若两个小正方形的位置发生变化，则图中阴影部分的面积是__50__．【解析】由题意得阴影部分面积为AB2＋CD2＋BD2，在直角△CDB中，CD2＋BD2＝CB2＝AB2，由勾股定理得，AB2＝132－122＝25，∴阴影部分面积为AB2＋CD2＋BD2＝2AB2＝50.【技法点拨】利用勾股定理求几何图形面积的原理及三组等量关系(建模思想)原理将原(复杂)图形拆解为基本模型等量关系①S1+S2=S3;②S正方形=(边长)2;③直角三角形,a2+b2=c2重点2 利用勾股定理求线段长(化斜为直法)【典例2】(7分)(2021·益阳中考)在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求BC边上的高AD的长．【完善解答】作AD⊥BC交于点D，如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝__14－x __，…………2分 由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝__152－x 2__，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，…………4分 ∴__152－x 2__＝132－(14－x )2，解得：x ＝__9__， ∴AD ＝__12__，…………6分答：BC 边上的高AD 的长为__12__．…………7分1．(变条件)如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，则AB 边上的高为__65__．【解析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由勾股定理可知：AB ＝5， ∴S △ABC ＝12 AB ·CD ＝12 AC ×3＝3，∴CD ＝65 .【加固训练】(同型，变条件)在钝角△ABC 中，AB ＝11，BC ＝13，AC ＝20，求△ABC 中BC 边上的高．【解析】作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，如图，在△ADC 中，AB ＝11，BC ＝13，AC ＝20， 设BD ＝x ，则CD ＝13＋x ，由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝112－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝202－(13＋x )2， ∴112－x 2＝202－(13＋x )2， 解得：x ＝5513 ，∴AD ＝13213. 2．(变角度)在△ABC 中，已知AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，求△ABC 的面积． 【解析】分两种情况讨论：①当△ABC 为锐角三角形时，在直角△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2 ＝152－122 ＝9， 在直角△ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2 ＝132－122 ＝5， ∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的面积为：12 ×12×14＝84；②当△ABC 为钝角三角形时，在直角△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2 ＝152－122 ＝9， 在直角△ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2 ＝132－122 ＝5，∴BC＝9－5＝4.∴△ABC的面积为：12×12×4＝24，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的面积为84；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的面积为24.【技法点拨】利用勾股定理解决非直角三角形的技巧(方程思想)特别提醒：注意“无图有坑”，若题目没有说明三角形的形状，也要考虑高在三角形外部的情况，即分类讨论．模型教材P4T3·“毕达哥拉斯树”简图溯源解读旨在说明勾股定理与正方形(直角三角形)的面积(边长)关系如图，“毕达哥拉斯树”，下列关于面积的等式，成立的有__①②③__(写序号).①S A＝S B＋S C；②S A＝S F＋S G＋S B；③S B＋S C＝S D＋S E＋S F＋S G.【解析】由勾股定理和正方形的性质可知：S＝S B＋S C，S B＝S D＋S E，S C＝S F＋S G.易知①②③都成立．A。

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第一章探索勾股定理》同步练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．在△ABC中∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB的长为（）A．5 B．10 C．2√7D．282．如图，点A，B都在格点上，若BC=2√133，则AC的长为（）A．√13B．4√133C．2√13D．3√133．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．814．如图，将直角边AC＝6cm，BC＝8cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A．74B．223C．254D．535．如图，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE=3，CD=4，则AD长为（）A．7 B．8 C．4√3D．4√57．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．55 B．16 C．6 D．48．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，EM+CM的最小值为（）A．2√7B．4 C．3√7D．1+2√7二、填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于1AC长为半径画弧，两弧相交于点M，2N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AC=13，AB=5时，则△ABE的周长是.10．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC，则BD＝.11．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度相同的火柴棒，点A，C，E共线.若AC=6，CE=8，CD⊥BC，则一根火柴棒的长度为.12．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝.13．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为米.三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，阴影部分是一个长方形，AE=1，求阴影部分的面积．15．如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，求DE的长．16．为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处.CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？17．如图，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF= AC，FD=CD，AD=3求AB的长．18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）参考答案1．B2．B3．B4．A5．C6．D7．B8．A9．1710．24511．512．5213．2114．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm由勾股定理得AB²+BC²=AC²即4²+3²=AC²∴AC=√32+42=5（cm）∵AE=1cm∴长方形ACDE的面积为5×1＝5（cm2）15．解：设 DE＝x cm，则 BD＝(4＋x)cm，CD＝(4－x)cm 由勾股定理得 92－(4＋x) 2 ＝72－(4－x) 2解得 x＝2∴DE＝2 cm.16．解：设阅览室E到A的距离为x㎞.连结CE、DE.在Rt△EAC和Rt△EBD中CE2=AE2+AC2=x2+152DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102.因为点E到点CD的距离，所以CE=DE.所以CE2=DE2.即x2+152=(25-x)2+102.所以x=10.因此，阅览室E应建在距A点10km处.17．解：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°．∵BF=AC FD=CD∴Rt△BDF≅Rt△ADC(HL)．∴BD=AD=3．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=√AD2+BD2=√32+32=3√2．18．解：在Rt△ABC中∵∠CAB=90°，AC=8（米），BC=17（米）∴AB=√BC2−AC2=15（米）∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，且BC=17（米）∴CD=17−1×7=10（米）∴在Rt△ACD中，AD=√DC2−AC2=6（米）∴BD=AB−AD=9（米）答：船向岸边移动了9米.。

1.1探索勾股定理 同步精练一、单选题1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图所示，在正方形ABCD 中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c 的正方形，则下列等式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．222+=a b cC ．()()2c a b a b =+-D ．()224c a b ab =+- 3．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 4．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．746．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对应边分别是a ，b ，c ，若90B ∠=︒，则下列等式中成立的是（ ）A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．222c a b -= 7．下列说法中正确的是（ ）A ．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，则222+=a b cB ．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C ．在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222BC AC AB +=D ．在Rt ABC ∆中，若90B ∠=︒，则222BC AC AB +=8．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）A ．4，8，7B ．2，2，2C ．2，2，4D ．13，12，5 9．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则长方形ABCD 的边BC 的长为( )A ．20B ．22C ．24D ．3010．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m 与这两个整数构成组勾股数；若m 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m 与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m 生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）A ．16B ．17C ．25D ．6411．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．6512．在△ABC 中，112a b c =∶∶∶∶△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题13．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．14．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．15．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A 、B 、C ．若26C S =，18B S =，则A S =______．16．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，10BC =，BD AC ⊥于D ，且8BD =．则ABC S ∆=__________．17．如图的平面直角坐标系中，已知点A(-3，0)、B(0，4)，将△OAB 沿x 轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形①，②，③，④.则第⑯个三角形的直角顶点的坐标是___________.三、解答题18．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，若AC 34CD =5，BC =13，求△ABC 的面积．19．如图是三个全等的直角三角形纸片，且::3:4:5AC BC AB =，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为123,,S S S ．(1)若3AC =，求1S 的值．(2)若1213S S +=，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时3S 的值是多少？ 20．如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝DE ，∠B ＝∠DCE ＝90°，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB ∥DE ．（1）求证：△ABC ≌△DCE ；（2）连结AE ，当BC ＝5，AC ＝12时，求AE 的长．21．在平面直角坐标系中，已知点()30A -,，点()0,4B ，点C 是x 轴上一点，若ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。

教师引导学生发现三边关系并提出猜想：a 2+ b2=c2教师引导学生对我们的猜想进行验证，所以给定了几组以a,b为直角边的直角三角形,用我们的猜想计算斜边c的长度。

再次引导学生用工具画出满足上图给定直角边的直角三角形，并用刻度尺测量出斜边的长度，检验和公式算出的数值是否一致从而提出猜想。

猜想公式后尝试应用公式计算，求出斜边的长度作图满足条件的直角三角形，并进行测量，发现测量出的斜边和用公式计算出的斜边在误差允许的范围内保持一致。

设计意图：让学生经历作图——测量——猜想——作图——测量——验证的过程，培养学生的动手实践能力和数学探究能力。

并且，作图和测量是数学操作中的两项基本技能，在此环节中得以多次训练，教学结构完整而统一。

同时，也引导传授学生遇到陌生的问题时，要先进行尝试，再大胆猜想，最后进行验证的数学学习思路。

本环节运用了数形结合的思想和从特殊到一般的思想，让学生感受数学探究的方法与乐趣。

环节三.严谨证明，欣赏教师活动：引导学生使用赵爽弦图对勾股定理进行证明，并强调数形结合的思想方法。

同时，展示第二十四届数学家大会的会徽，再次渗透数学文化。

教师继续带领大家欣赏刘徽的“青朱出入图”、欧几里得《几何原本》中的证明，和达芬奇的证明。

并在课件中展示相应的人物简历、文化科普，激发学生兴趣的同时补充数学文化知识。

学生活动：利用“赵爽弦图”尝试证明勾股定理，并在教师的引导下完成定理的证明。

欣赏其他名人的证法，感受数形结合之美。

体会“算两次”和割补法在勾股定理证明中的妙用。

思考讨论是否还有其他的证明方法，激发数学思教师继续带领学生欣赏其他美妙的证法，并且告诉学生勾股定理有500多种证明方法，是证法最多的定理之一，从而引发学生强烈的求知欲望，想要去查找或探索其他证明方法。

考和潜能设计意图： 通过严谨的数学证明教导学生“先猜后证”是数学之道，一个定理的提出除了猜想和尝试外，还需要逻辑严谨的数学证明.定理的证明可以使本节课的思路更加严谨和清晰。

第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．472．下列说法正确的是（）．A．若a、b、c是ABC的三边长，则222+=a b cB．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，则222+=a b cC．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90A∠=︒，则222+=a b cD．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90C∠=︒，则222+=a b c3．如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为()A．9B．8C．27D．454．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ） A ．25 B ．14C ．7D ．7或25 5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，正方形,AEDC BCFG 的面积分别为25和144，则AB 的长度为（ ）A ．13B ．169C ．12D ．56．在中Rt ABC △，90C ∠=︒，若4AC =，3BC =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．5C ．6D ．77．在Rt ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ，C ∠的对边，若90A ∠=︒，则（ ） A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．b a c +=8．△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．a b c +>C ．a b c +<D ．222+=a b c9．在Rt △ABC 中，若斜边AB ＝3，则AC 2+BC 2等于( )A ．6B ．9C ．12D ．1810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225 C ．365 D ．334 评卷人得分二、填空题 11．在直角三角形ABC 中，△C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．12．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．13．在由小方格组成的网格中，我们发现对直角三角形的三边，有“直角三角形两直角边的平方和等于______”结论成立，并通过拼图证明是正确的，我们把它叫做______定理．14．等腰三角形ABC的面积为212cm，底上的高3cmAD，则它的周长为______ cm．15．（1）如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形A的面积为________；（2）如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形B的面积为________.16．如图所示，图1中x的值为_______，图2中的y的值为_______.17．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．18．若直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则面积为______．19．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．评卷人得分三、解答题20．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，求()2a b+的值．21．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯．问：红地毯至少需要多少米？22．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？23．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.24．规范表达（严格按格式）：如图，已知△A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积.25．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.参考答案：1．D【解析】【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，△正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．故选D．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.2．D【解析】【分析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.【详解】解：由勾股定理，A、没有确定直角和斜边，故A 错误；B、没有确定斜边，故B错误；C、斜边为a，则222a b c=+，故C错误；D、90C∠=︒，则a与b为直角边，c为斜边，则222+=a b c，故D正确；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.3．A【解析】【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．【详解】△正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，△根据图形得：2+4=x−3．解得：x=9．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．4．D【解析】【分析】根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为22437-=，+=或者223425故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．5．A【解析】【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．【详解】解：△在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又△AC2=144，BC2=25，△AB2=25+144=169，△AB=169=13．故选A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．6．B【解析】【分析】Rt△ABC，△C＝90°，则根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2即可求AB的长度．【详解】在直角△ABC中，△C＝90°，由勾股定理可得222224325AB AC BC=+=+=，所以5AB=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视90A ∠=︒，受思维定式的影响，想当然地认为C ∠为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，8．B【解析】【详解】对于任意一个三角形，三角形的三边关系满足：两边之和大于第三边.故选B.点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，特别要注意，不要把三角形看成是一个直角三角形，误认为三角形的三边满足勾股定理，很容易错选为D.9．B【解析】【分析】利用勾股定理将AC 2+BC 2转化为AB 2，再求值． 【详解】△Rt △ABC 中，AB 为斜边，△AC 2+BC 2＝AB 2，△AB 2+AC 2＝AB 2＝32＝9．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC 2+BC 2＝AB 2是解决问题的关键．10．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C 到AB 的距离．【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：2215AB AC BC=+=，过C作CD△AB，交AB于点D，又S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，△91236155AC BCCDAB⋅⨯===，则点C到AB的距离是365．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．11．15【解析】【详解】2291215AB=+=12．5【解析】【详解】试题解析：如图，在Rt△OAB中，90AOB∠=，△OA=4千米，OB=3千米，△225AB AO BO=+=千米.所以甲、乙两人相距5千米.故答案为5.13．斜边的平方勾股【解析】【分析】根据勾股定理的内容，即可得到答案.【详解】解：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个定理叫做勾股定理.故答案为斜边的平方，勾股.【点睛】本题考查了勾股定理的内容和证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理.14．18【解析】【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．【详解】设底为a,则12a⋅3=12，a=8，△BD=2a=4,根据勾股定理得,AB=22AD BD+=2234+=5cm，△腰为5，△周长为5+5+8=18cm.【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一.15．（1）180（2）144【解析】【分析】（1）根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案；（2）根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．【详解】（1）如图，根据题意，CD2=144，DF2=36，且△CDF=90°，△CF2= CD2+ DF2=144+36=180故A的面积为180.（2）如图，根据题意MN2=81，ML2=225，且△MNL=90°，△NL2=ML2-MN2=225-81=144故B的面积为144.【点睛】本题考查勾股定理，在本题中每一条边所对正方形的面积正好等于该边的平方，而三边的平方符合勾股定理.16．413【解析】【分析】（1）先根据勾股定理计算出x的平方，再计算x；（2）先根据勾股定理计算出y的平方再计算y.【详解】（1）因为图1为直角三角形，所以根据勾股定理x2+32=52，即x2=52-32=16，所以x=4；（2）因为图2为直角三角形，所以根据勾股定理y2=52+122=169,所以y=13.【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中已知两直角边可根据勾股定理求出斜边（或斜边的平方）.17．12【解析】【详解】△直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，△另一直角边长=2215912-=，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12．18．260cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后利用直角三角形面积公式算出即可.【详解】∵直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，∴另一直角边长为：2217158-=cm，∴直角三角形面积为：11582⨯⨯=60 2cm，故答案为260cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形的两条边长求出另一条直角边长度是解题的关键.19．17【详解】试题解析：根据勾股定理可知，△S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，△S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．△正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.20．25【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：a2+b2=13，ab×4=13-1=12，即：2ab=12，四个直角三角形的面积是：12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．21．需要爬行的最短路径是17cm.【解析】【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【详解】根据勾股定理,楼梯水平长度为2213512（米），则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为17m.【点睛】本题考查生活中的平移现象和勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和勾股定理. 22．（1）5；（2）24.【详解】试题分析：根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．试题解析：解：（1）根据勾股定理得：x 2＝32＋42＝9＋16＝25，解得：x ＝5或x ＝－5（舍去），则x ＝5；（2）根据勾股定理得：252＝72＋x 2，即x 2＝576，解得：x ＝24或x ＝－24（舍去），则x ＝24．23．12BEFD S =正方形.【解析】【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=.所以212BEFD S BD ==正方形. 【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.24．39【解析】【详解】试题解析：在RtΔABC 中，利用勾股定理BC 的长，再求出长方形BCDE 的面积即可.试题解析：在RtΔABC中，△A=90°，AB=12，AC=5，△BC=2222AC AB+=+=51213△长方形BCDE的面积=13×3=39.25．48cm2【解析】【详解】试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积．如图：等边△ABC 中BC="12" cm，AB="AC=10" cm作AD△BC，垂足为D，则D为BC中点，BD="CD=6" cm在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64△AD="8" cm△S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)考点：本题考查的是勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。

1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A. b2=c2﹣a2B. a2=c2﹣b2C. b2=a2﹣c2D. c2=a2+b22.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A. 169B. 169或119C. 169或225D. 2253. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12米B. 13C. 14米D. 15米4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为()A. 4B. 16C. √34D. 4或√34题6图题7图6.求出下面直角三角形中未知边的长度：X= ；y= 。

7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S 2，则S1+S2的值等于__________。

8.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_ _。

9.如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______。

10.如右图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__cm2。

答案和解析1. C2. B3. A4.A5. D6. x= 5 ；y= 57. 8π8.9. 54cm2 10. 17。

1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用：1、几何体表面上两点之间的最短距离：长方体、圆柱体；2、利用勾股定理解决实际问题.解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性．培优第一阶——基础过关练1．如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm ()π3=，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A ．10cmB ．12cmC ．19cmD ．20cm2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x 尺，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2223(1)x x +=-B ．222(1)3x x +-=C ．222(10)3x x +-= D ．2223(10x)x +=-3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现课后培优练课堂知识梳理下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．13m D．8m4．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米5．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．6．如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱DD 上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是______cm．7．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．8．如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的（h的长度）最短长度为_____cm．9．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗?10．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．11．有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B 的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？培优第二阶——拓展培优练12．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤13B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．13≤h≤2513．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C 到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．14．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm15．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：）；①测得BD的长为15米（注：BD CE②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，求BH 的长度．16．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C ，河边有两个景点A 、B ．其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H （A 、H 、B 三点在同一直线上），并新修一条路CH ，测得5BC =千米，4CH =千米，3BH =千米．(1)判断BCH ∆的形状，并说明理由；(2)求原路线AC 的长．培优第三阶——中考沙场点兵17．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）A ．4尺B ．4.55尺C ．5尺D ．5.55尺18．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的'C 处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．19．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A ，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用：1、几何体表面上两点之间的最短距离：长方体、圆柱体；2、利用勾股定理解决实际问题.解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性．培优第一阶——基础过关练1．如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm ()π3=，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A ．10cmB ．12cmC ．19cmD ．20cm【答案】A【解析】【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB 最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将此圆柱展成平面图得：课后培优练课堂知识梳理∵圆柱的高等于8cm ，底面直径等于4cm （π=3），∴AC =8cm ，BC =12BB '=12⨯4π=6(cm)∴AB =222286AC BC +=+==10（cm ）．答：它需要爬行的最短路程为10cm ．故选A ．【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x 尺，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2223(1)x x +=-B ．222(1)3x x +-=C ．222(10)3x x +-=D ．2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．【详解】解：设折断处离地面x 尺， 根据题意可得：x 2+32=（10-x ）2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）A ．12mB ．10mC ．13mD ．8m【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆的高为：xm ，则绳子AC 的长为()1x m + ，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意，画出图形，BC =5m ，如下图：设旗杆的高为：xm ，则绳子AC 的长为()1x m + ，在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC += ，即()22251x x +=+ ，解得：12x = ，即旗杆的高为12m ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．4．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米【答案】17【解析】【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，根据题中已知条件，利用勾股定理求出水平距离即可．【详解】 2213512米，则红地毯至少要51217+=米，故答案为：17．本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，明白地毯长度的构成：水平宽度+垂直高度，准确使用勾股定理求解是解决问题的关键．5．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．【答案】13【解析】【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案为：13．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．6．如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E 处，点E 在棱DD '上且距离上沿10cm ，壁虎爬行最短路程是______cm ．【答案】130【解析】【分析】根据题意，要爬行到内侧点E 处，可作出点E 关于A’D’的对称点E’，连接AE’，利用勾股定理求解即为爬行的最短路程．【详解】解：作点E 关于A’D’的对称点E’，连接AE’，根据题意可得：10D E D E ''='=，120AD =，∴401050DE =+='，在'Rt ADE ∆中，22'130AE AD DE =+'，∴爬行的最短路程为130cm ，故答案为：130．【点睛】题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键．7．如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得BC ＝60m ，AC ＝20m ，则A ，B 两点间的距离为___m ．【答案】402【解析】【分析】由勾股定理即可完成．【详解】在Rt△ABC中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：223600400402=-=-=(m)AB BC AC即A、B两点间的距离为402m．故答案为：402．【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理．8．如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的（h的长度）最短长度为_____cm．【答案】4【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：设筷子露在杯子外面的长度为BC，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时BC最小，如图所示：此时，AB =22221216AD BD +=+=20（cm ），故BC =24-20=4（cm ）．故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm ．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．9．一架云梯长25m ，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m ．（1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4m ，那么它的底部在水平方向也滑动了4m 吗?【答案】（1）24m ；（2）不是．【解析】【分析】（1）如图（见解析），在Rt ABC 中，利用勾股定理求出AC 的长即可得；（2）如图（见解析），先根据线段的和差可得CD 的长，再在Rt CDE △中，利用勾股定理可得CE 的长，然后利用线段的和差可得BE 的长，由此即可得出结论．【详解】解：（1）如图，由题意得：25m,7m,AB BC AC BC ==⊥，则由勾股定理得：222225724(m)AC AB BC --=，答：这架云梯的顶端距地面24m ；（2）如图，由题意得：4m,25m AD DE AB ===，则20m CD AC AD =-=， 由勾股定理得：2222252015(m)CE DE CD =-=-=，则8m 4m BE CE BC =-=≠，答：云梯的底部在水平方向不是滑动了4m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．10．在某段公路的正上方有一摄像头A 距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B 点时第一次摄像，此时AB 两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A 点正下方C 点，已知该路段限速60km /h ，请判断李叔叔是否超速，说明理由．【答案】李叔叔不超速，理由见解析【解析】【分析】先根据勾股定理计算BC 的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km /h 作比较可得结论．【详解】解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt △ABC 中，AC =7，AB =25，由勾股定理得：BC 22257-，v =24÷1.5=16（m /s ）=57.6（km /h ），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．11．有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析(2)台风影响该海港持续的时间有7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．(1)解：海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=300400500=240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响；(2)解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵ED=22-=70（km），EC CD∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7（小时），即台风影响该海港持续的时间为7 h．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．培优第二阶——拓展培优练12．将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤13B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．13≤h≤25【答案】B【解析】【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，()22+，512=13cm∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12，即12⩽h⩽13，故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．13．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．【答案】2.7【解析】【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案为 2.7．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm【答案】16【解析】【分析】将正方形ABCD 沿着CD 翻折得到正方形''A B CD ，过点M 在正方形ABCD 内部作'MM BC ⊥，使'3cm MM =，连接QM ，过'M 作'''M N A B ⊥于点N ，此时''''AP PQ QM A P PQ PM A M PQ ++=++=+最小，运用勾股定理求解即可．【详解】如图，将正方形ABCD 沿着CD 翻折得到正方形''A B CD ，过点M 在正方形ABCD 内部作'MM BC ⊥，使'3cm MM =，连接QM ，过'M 作'''M N A B ⊥于点N ，则四边形''MM NB 是矩形，四边形'PQMM 是平行四边形，∴'''M N MB =，'PM QM =，''B N MM =，''90A NM ∠=︒，此时''''AP PQ QM A P PQ PM A M PQ ++=++=+最小，∵点M 是BC 中点， ∴142CM BC ==cm ， ∴''12M N MB ==cm ，''''5A N A B B N =-=cm ，在''Rt A M N △中，2222''''51213A M A N M N +=+cm ，∴''16A M PQ +=cm ，故答案为：16．【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 15．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长为15米（注：BD CE ⊥）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE ．(2)过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，求BH 的长度．【答案】(1)风筝的高度CE 为21.7米(2)BH 的长度为9米【解析】【分析】（1）在Rt CDB △中由勾股定理求得CD 的长，再加上DE 即可；（2）利用等积法求出DH 的长，再在在Rt BHD 中由勾股定理即可求得BH 的长．(1)在Rt CDB △中，由勾股定理，得：2222251520=-=-=CD C BD （米）， 所以20 1.721.7=+=+=CE CD DE （米），答：风筝的高度CE 为21.7米．(2)由等积法知：1122BD DC BC DH ⨯=⨯， 解得：15201225DH ⨯==（米）． 在Rt BHD 中，229BH BD DH =-=（米），答：BH 的长度为9米．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．16．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C ，河边有两个景点A 、B ．其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H （A 、H 、B 三点在同一直线上），并新修一条路CH ，测得5BC =千米，4CH =千米，3BH =千米．(1)判断BCH ∆的形状，并说明理由；(2)求原路线AC 的长．【答案】(1)BCH ∆是直角三角形，理由见解析(2)原来的路线AC 的长为256千米 【解析】【分析】（1）BCH ∆是直角三角形，理由见解析（2）根据勾股定理解答即可(1)BCH ∆是直角三角形， 理由是：在CHB ∆中，∵22222432525，CH BH BC +=+==，∴222CH BH BC +=∴BCH ∆是直角三角形且90CHB ∠=︒；(2)设AC AB x ==千米，则()3AH AB BH x =-=- 千米，在Rt ACH ∆中，由已知得34，，AC x AH x CH ==-=，由勾股定理得：222AC AH CH =+，∴222(3)4x x =-+ 解这个方程，得256x ， 答：原来的路线AC 的长为256千米． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键培优第三阶——中考沙场点兵17．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）A ．4尺B ．4.55尺C ．5尺D ．5.55尺【答案】B 【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺．利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为()10x -尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，解得： 4.55x =．所以，原处还有4.55尺高的竹子．故选：B ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 18．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的'C 处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．【答案】12【解析】【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC '的长为10尺，则5C B '=尺，设芦苇长AC AC x '==尺，表示出水深AB ，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】 解：依题意画出图形，设芦苇长AC AC x '==尺，则水深(1)AB x =-尺，∵10C E '=尺，∴5C B '=尺，在Rt AC B '中，2225(1)x x +-=，解得13x =，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．19．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A ，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【答案】4.5【解析】【分析】过A 作AC ⊥BD 于点C ，求出∠CAD 、∠CAB 的度数，求出∠BAD 和∠ABD ，根据等角对等边得出AD ＝BD ＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD ，根据勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：如图，过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°﹣30°＝30°，∠ABD ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝12海里，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD ＝12AD ＝6海里，由勾股定理得：AC 22126-3，如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，2＝10.52．在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（解得x＝4.5．渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．故答案是：4.5．【点睛】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．。

1.1 探索勾股定理（提升题）-北师大版八年级上册一．选择题1．如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（）A．18B．20C．22D．242．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（）A．1B．2C．3D．43．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．4．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM 的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．35．已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A．30B．+17C．+17或30D．366．已知3，4，m是一个直角三角形的三条边长，则实数m的相反数为（）A．5B．﹣5C．5或D．﹣5或﹣7．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（）A．8B．10C．13D．159．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，BC ＝4，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为2，则点P的位置有（）A．1处B．2处C．3处D．4处10．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④二．填空题11．若直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的斜边长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝．13．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝．15．如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有条．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，CD＝9．求△ABC的面积．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，求t的取值？18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．19．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE＝，BE＝4，点F 为AB边上的动点，连接EF．（1）求AB的长；（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．20．如图，△ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜5且△BMN为直角三角形时，求t的值；（2）当t为何值，△BMN为等边三角形．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵∠DOB＝90°，∴BO2+DO2＝DB2，∵S1＝•π（）2＝；S2＝π（）2＝；S3＝π（）2＝；∴S2+S3＝（OD2+BO2）＝BD2＝S3，即S2+S3＝S1．∵S1＝40，S3＝18，∴S2＝40﹣18＝22，故选：C．2．【解答】解：依题意“弦”为＝，而3.5＝＜＜＝4，∴“弦”最接近的整数是4．故选：D．3．【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC＝2×2﹣1×2﹣﹣＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝，故点C到AB的距离是，故选：D．4．【解答】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM＝＝＝2．故选：C．5．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝＝13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝＝，此时这个三角形的周长＝5+12+＝+17，综上所述，该三角形的周长为30或+17．故选：C．6．【解答】解：当m为斜边时：32+42＝m2，解得：m1＝5，m2＝﹣5（不符合题意）；当m为直角边时：32+m2＝42，解得：m1＝，m2＝﹣（不符合题意）．故第三边长m为5或，∴实数m的相反数为﹣5或﹣．故选：D．7．【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，∴正方形EFGH的边长＝3，故小正方形的边长为3，故选：C．8．【解答】解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DB＝DA，设DB＝x，则CD＝BC﹣DB＝18﹣x，∵∠C＝90°，AC＝12，∴AD2＝CD2+AC2，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得x＝13，即BD＝13，故选：C．9．【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点D作DG⊥AC于点G，如图所示：则∠BHC＝90°，∠AGD＝90°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠CBH＝30°，∵BC＝4，∴HC＝2，根据勾股定理，得HB＝2，∴点P在点B处时，点P到AC的距离为2，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴GD＝AC∵AC＝2BC＝8，∴GD＝4，∵4＞2，∴在AD边和CD边上各有一点P，使得点P到AC的距离为2，综上，满足条件的点P有3处，故选：C．10．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．二．填空题11．【解答】解：分两种情况：①当3和4都为直角边时，由勾股定理得斜边长为：＝5；②当4为斜边时，斜边＝4；综上所述：该直角三角形的斜边长为5或4．故答案为：5或4．12．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，∴BD＝CD，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝4，设AD＝x，则CD＝BD＝4﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，∴AD＝，故答案为：．13．【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝6，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，由圆的面积计算公式知：S3＝πBC2，S2＝πAC2，S1＝πAB2，则S1+S2＝π（AB2+AC2），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝CB2，∴S1+S2＝S3．∵阴影部分面积等于：S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC＝×6×8＝24，故答案为：24．14．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AC＝AB＝2，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠ADE，∴AC＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴DE＝BE，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．15．【解答】解：∵OA1＝1，∴由勾股定理可得OA2＝＝，OA3＝，…，∴OA n＝，∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，完全平方数有1，4，9，故长度为整数的线段有3条．故答案为：3．三．解答题16．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝13，BD＝5，∴AD＝＝＝12，∵CD＝9，∴BC＝BD+CD＝14，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，∴△ABC的面积为84．17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），当AB＝AP时，由△ABC≌△APC可知：PC＝BC＝8cm，∴BP＝16cm，∴t＝16，当BA＝BP时，BP＝10cm，∴t＝10，当P A＝PB时，设BP＝xcm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，∴x＝，∴BP＝cm，∴t＝，故t的取值为：16或10或．18．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝8+4，∵AB＝2，∴AB2＝8，∴AC•BC＝2，∴△ABC的面积＝AC•BC＝；（2）∵△ABC的面积＝AC•BC＝，CD⊥AB，∴AB•CD＝，∴CD＝＝．19．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE＝，∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB＝＝＝5；（2）①当BF＝BE＝4时，AF＝AB﹣BF＝5﹣4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝2（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3；③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5．综上所述，AF的长为5﹣4或3或．20．【解答】解：（1）当0＜t＜5时，点M在BC上，点N在AB上，BN＝4t，MB＝20﹣4t，△BMN为直角三角形，则∠BNM＝90°或∠NMB＝90°，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2BN，∴20﹣4t＝2×4t，解得：t＝；②当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BN＝2BM，∴4t＝2（20﹣4t），解得：t＝．③点M在AC上，点N在AB上，AN＝CM＝40﹣4t，（80﹣8t）+（40﹣4t）＝20，t＝（不合题意舍去），综上，当t＝或时，△BMN为直角三角形；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则0＜t≤10，①当0＜t≤5时，当MB＝BN时，△BMN为等边三角形，此时，4t＝20﹣4t，解得：t＝；②当5＜t≤10时，△BMN为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，此时，t＝10，综上，t＝或t＝10时，△BMN为等边三角形．。

[标签:标题]篇一：北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案八年级上册数学课后练习题答案（北师大版）第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“（）”里面；“⊙”，表示“森哥马”，，¤，♀，∮，≒，均表示本章节内的类似符号。

1．l探索勾股定理随堂练习1．A所代表的正方形的面积是625；B所代表的正方形的面积是144。

2．我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差．1．1知识技能1．(1)x=l0；(2)x=12．2．面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm)．问题解决12cm。

21．2知识技能1．8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长)．数学理解2．提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3．可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形．随堂练习12cm、16cm．习题1．3问题解决1．能通过。

．2．要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的．然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’F’和△D’F’C’的位置上．学生通过量或其他方法说明B’E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。

即(B’C’)=AB+CD：也就是BC=a+b。

，222222 这样就验证了勾股定理l．2 能得到直角三角形吗随堂练习l．(1) (2)可以作为直角三角形的三边长．2．有4个直角三角影．(根据勾股定理判断)数学理解2．(1)仍然是直角三角形；(2)略；(3)略问题解决4．能．1．3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题1．5知识技能1．5lcm．问题解决2．能．3．最短行程是20cm。