高三一轮复习2021版 第十章 第3讲 二项式定理

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

第3讲二项式定理基础巩固1.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是( )A.-4B.-2C.2D.4【答案】C【解析】(1+2)3的通项公式为T r+1=2r,(1-)5的通项公式为T k+1=(-1)k,要求展开式中x的系数,只需(1+2)3中的常数项及一次项系数与(1-)5中的一次项系数及常数项分别相乘再求和,即1×(-10)+12×1=2.2.若展开式中含项的系数为-560,则n等于( )A.4B.6C.7D.11【答案】C【解析】展开式的通项为T r+1=(-1)r2n-r,令=-1,则n=3r-2.又(-1)r2n-r=-560,显然r必为奇数,n亦为奇数,经验证n=7.3.已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4等于( )A.8B.-8C.16D.-16【答案】B【解析】由二项展开式的通项公式得:a1=×13×21=8,a2=×12×22=24,a3=×11×23=32,a4=×10×24=16,从而可知a1-2a2+3a3-4a4=-8.4.在的展开式中,所有奇数项的系数之和为1024,则中间项系数是( )A.330B.462C.682D.792【答案】B【解析】∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意,得2n-1=1024,∴n=11.∴展开式共有12项,中间项为第六项、第七项,系数为==462.5.设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2n x2n,则a2+a4+…+a2n的值为( )A. B. C.3n-2 D.3n【答案】B【解析】根据二项式定理,令x=1,则a0+a1+a2+…+a2n=3n,又令x=-1,则a0-a1+a2-…+a2n=1,两式相加得2(a0+a2+…+a2n)=3n+1,又a0=1,所以a2+a4+…+a2n==.6.(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【答案】D【解析】令x=0,y=1,得(1+b)n=243=35;令x=1,y=0,得(1+a)n=32=25,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.7.二项式(1-x)4n+1的展开式中,系数最大的项是( )A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D.第2n+1项和第2n+2项【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式T k+1=(-x)k=(-1)k x k,可知系数为(-1)k,与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项,又由第2n+1项系数为(-1)2n=,第2n+2项系数为(-1)2n+1=-<0,故系数最大项为第2n+1项.8.若x+x2+…+x n=(1+x)n-1能被7整除,则x,n的值可能分别为、.(写出一组数即可)【答案】5 4【解析】x+x2+…+x n=(1+x)n-1,当x=5,n=4时,(1+x)n-1=64-1=35×37能被7整除.9.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k= .【答案】1【解析】由T r+1=(kx2)6-r=k6-r x2(6-r)得x8的系数为k4=15k4,由15k4<120得k4<8,由于k为正整数,于是k=1.10.(2012·浙江卷,14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,可解得11.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】∵T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有·25=·26⇒n=8,∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大,则有即⇒⇒5≤r≤6.又∵r∈N,∴r=5或r=6.∴系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.12.已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.【解】由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式T k+1=·()8-k·=·(-2)k·,令-2k=,则k=1,故展开式中含的项为T2=-16.(3)由于展开式中的第k项,第k+1项,第k+2项的系数绝对值分别为·2k-1,·2k,·2k+1,若第k+1项的系数绝对值最大,则解得5≤k≤6.又∵T6的系数为负,∴系数最大的项为T7=1792x-11.由n=8知第5项二项式系数最大,此时T5=1120x-6.13.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100.求下列各式的值:(1)a0;(2)a1+a2+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.【解】(1)由(2-x)100展开式中的常数项为·2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100.①所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100,②与①联立相减,可得a1+a3+…+a99=.(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.拓展延伸14.(1)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除;(2)求S=++…+除以9的余数.【解】(1)证明:∵1+2+22+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1=×31n+×31n-1+…+×31+-1=31(×31n-1+×31n-2+…+),显然×31n-1+×31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.(2)S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9(×98-×97+…+)-2.∵×98-×97+…+是正整数,∴S被9除的余数为7.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第3讲二项式定理1．二项式定理2．二项式系数的性质3.常用结论(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1.(4)C r m C0n＋C r－1m C 1n＋…＋Cm Crn＝Crm＋n.(5)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.1．概念辨析(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．( )(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105答案 B解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k， 令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.(2)(x －y )n的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C mn B ．C m ＋1n C ．C m －1n D ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n的二项展开式中第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n ·(－1)m －1. (3)若(x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 令x ＝0得，(－1)5＝a 0，即a 0＝－1.(4)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x n的展开式中所有二项式系数之和为128，则n ＝________.答案 7解析 由题意，可知2n＝128，解得n ＝7.题型 一 二项展开式角度1 求二项展开式中的特定项或系数1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80(2)(2019·茂名模拟)已知a ＝⎠⎛02πcos x d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1ax 6展开式中，常数项为________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)由题可得T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40，故选C .(2)因为a ＝⎠⎛02πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1ax 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax)6－2r.令6－2r ＝0，解得r ＝3，代入得到常数项为20.角度2 已知二项展开式某项的系数求参数2．(1)已知(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x 2项的系数为70，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .若b 3＝2b 4，则n ＝________.答案 (1)A (2)5解析 (1)(1－2x)5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r5·(－2x)r，所以(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x 2项的系数为2×C 25(－2)2＋a C 15(－2)＝70，解得a ＝1. (2)T r ＋1＝C rn (2x)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝2n －r C r n ·x n －2r .∵b 3＝2b 4，∴2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n .∴C 2n ＝C 3n ，∴n＝5.角度3 多项展开式3．(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60(2)(2019·陕西黄陵中学模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为( )A ．120B ．80C ．20D ．45 答案 (1)C (2)A解析 (1)(x 2＋x ＋y)5＝[(x 2＋x)＋y]5的展开式中只有C 25(x 2＋x)3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10.T r ＋1＝C r10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10x 5－r. 令5－r ＝2解得r ＝3. T 4＝C 310x 2＝120x 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为120.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求．见举例说明1.2．求解形如(a ＋b)m(c ＋d)n的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b)2(c ＋d)n＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d)n，然后分别求解．(2)观察(a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x 2)5(1－x)2.(3)分别得到(a ＋b)m，(c ＋d)n的通项公式，综合考虑． 3．求形如(a ＋b ＋c)n 展开式中特定项的四步骤1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析 因为(1＋x)6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为30.故选C.2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则a ＝________. 答案 3解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r7(ax)r，因为x 5与x 6系数相等，所以C 57a 5＝C 67a 6，解得a ＝3.3．(2018·河南鹤壁月考)(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240 D ．420 答案 B解析 [(x ＋2y)＋z]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y)4z 2，(x ＋2y)4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x－y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120.故选B.题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和1．(1－3x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.答案 －33解析 令x ＝1得(－2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－32. 令x ＝0得，1＝a 0；所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－33.2．(2018·九江模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项．解 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝2－r C r8x 4－3r4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2.(3)设第r ＋1项的系数为a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r8， 则a r ＋1a r ＝2－r C r82－－C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r82－＋C r ＋18＝＋8－r≥1，解得2≤r≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为结论探究1 举例说明1条件不变，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝________. 答案 1024解析 (1＋3x)5各项系数之和为|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 令x ＝1得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝45＝1024. 结论探究2 举例说明1条件不变，求a 0＋a 2＋a 4. 解 令x ＝1得(－2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5， 令x ＝－1得45＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5， 两式相加得－32＋1024＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以a 0＋a 2＋a 4＝496.1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b)n，(ax 2＋bx ＋c)m(a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f ＋f －2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f－f －2.3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．见举例说明2.思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案.1．(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 －3或1解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.2．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．答案 －8064 －15360x 4解析 由题意知，22n－2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8064.设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k， 令⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，k ＋－k ，解得83≤k ≤113.∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4.题型 三 二项式定理的应用1．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x 2017等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 C 解析 x ＝2i1－i ＝2i ＋－＋＝－1＋i ，C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x2017＝(1＋x )2017－1＝i2017－1＝i －1.2．已知n 为满足S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727(a ≥3)能被9整除的正数a 的最小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中，二项式系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第11项 D ．第6项和第7项答案 B解析 由于S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727＝a ＋227－1＝89＋a －1＝(9－1)9＋a －1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99＋a －1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)＋a －2，a ≥3，所以n ＝11，从而⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大．3．计算1.056.(精确到0.01)解 1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见举例说明2.2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x )n≈1＋nx ＋n n －2x 2.见举例说明3.1．(2018·银川模拟)C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C nn等于( ) A ．3nB ．2·3nC.3n2－1 D.3n－12答案 D解析 C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝12(C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n )－12＝12(1＋2)n－12＝3n－12. 2．883＋6被49除所得的余数是( ) A ．－14 B ．0 C ．14 D ．35 答案 B解析 由二项式定理展开得 883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋C 183×782＋…＋C 8183×72＋C 8283×7＋1＋6 ＝72M ＋83×7＋7(M 是正整数) ＝49M ＋49×12 ＝49N (N 是正整数)．∴883＋6被49除所得的余数是0. 3．求0.9986的近似值．(精确到0.001)解 0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.易错防范 二项展开式中项的系数与二项式系数[典例] (2018·四川仁寿一中模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405 答案 C解析 由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，r ＝2,32C 26＝135.故选C.11。

第3讲二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为T k＋1＝C k n a n－k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、习题改编1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1803．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－15求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________．【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 5x 5－3r 2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25⎝⎛⎭⎫－122＝52.(2)⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2. 【答案】 (1)52(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．1.⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝⎛⎭⎫－12kx10－2k3，由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －2二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B ．513 C ．512D ．511【解析】 (1)由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.【答案】 (1)C (2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．1.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4x C ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A.令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 2．若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：选D.(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39，所以a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D.多项式的展开式问题(多维探究) 角度一 几个多项式的和的展开式问题在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2项的系数是( )A ．55B ．66C ．165D ．220【解析】 展开式中x 2项的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312，所以x 2项的系数是C 312＝220.故选D. 【答案】 D几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二 几个多项式的积的展开式问题(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. 【答案】 (1)A (2)25求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n 的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2·(c ＋d )n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )m ，(c ＋d )n 的通项，综合考虑．角度三 三项展开式的定项问题(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【答案】 (1)A (2)C三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝62，则log n 25等于________．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2＝62，解得n ＝5，所以log n 25＝2.答案：22．在⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是_________________________________． (用数字作答)解析：由题意得，⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝⎛⎭⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1803．在⎝⎛⎭⎫2＋x －x 2 0182 01712的展开式中，x 5项的系数为________． 解析：T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2 0182 017r，要出现x 5项，则r ＝0，T 1＝(2＋x )12，所以x 5项的系数为22C 1012＝4C 1012＝264.答案：264[基础题组练]1.⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6D ．－6解析：选D.通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B. 3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C.4．在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25D ．25解析：选B.因为(1－x )5＝(－x )5＋5x 4＋C 35(－x )3＋…，所以在(1－x )5·(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为5－2C 35＝－15.故选B.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋…＋2n ＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( )A ．8B ．10C ．12D ．1解析：选A.(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)·(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中x 3的系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.故选A.7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x －15展开式中的常数项是( )A ．12B ．－12C ．8D ．－8解析：选B.⎝⎛⎭⎫1x －15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 5－r(－1)r ＝(－1)r C r 5xr －5，当r －5＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 35＋2(－1)5C 55＝－12.故选B.8.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．21 C ．31D ．51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x＋C 25(x ＋1)3·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝⎛⎭⎫1x 4＋C 55⎝⎛⎭⎫1x 5. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12＝51.故选D. 9．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 10．(2020·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2解析：选D.由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.11．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n －12C ．2n ＋1D ．3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.12．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.13．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 4x 4－k 2y 2＋k 2，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6. 答案：614.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322. 答案：6322 15．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124·x ＝358x . 答案：8 358x 16．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．解析：(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. 因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！. 所以m ＝6.答案：6[综合题组练]1．已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：选C.因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63，故选C.2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D.512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.3．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案：64．设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：155．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)因为(1－2x )7的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， 解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为a r＋1最大，则a r＋1＝2－r C r8，则a r＋1a r＝2－r C r82－（r－1）C r－18＝9－r2r≥1，a r＋1 a r＋2＝2－r C r82－（r＋1）C r＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.。