第六章 多元函数微分学(改)

6.2 多元函数微分法6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式不变性一、相关问题1.设(,,)u f x xy xyz =，其中f 具有一阶连续偏导数，显然u 是,x y ，z 的三元函数，如何求u 的一阶偏导数及二阶偏导数．2.一元函数的一阶微分形式的变性是什么？二、相关知识1.如何确定复合函数的中间变量及自变量？2.如何确定复合函数的高阶导数中的中间变量及自变量？三、练习题1.设22ln(1),2sin ,3z x y x t y t =++==，求dy dt。

解 这里z 是函数，,x y 是中间变量，t 是自变量．复合关系图为则222222224c o s 62c o s 3111d y x y x t yt d t x y x y x y+=⋅+⋅=++++++． 2.设(,,)z f x u v =可微，(,,)u g x v y =，(,)v h x y =的偏导数存在，求dz ，zx ∂∂，z y∂∂。

解 由于函数有多重复合结构，用全微分形式的不变性较简便123 dz f dx f du f dv =++ 又 123d u g d x g d vg dy =++，12dv h dx h dy =+ 12123312121312212332222 ()() ()()dz f dx f g dx g dv g dy f h dx h dy f f g f h f g h dx f g f h f g h dy∴=+++++=++++++故12131221zf fg fh f g h x∂=+++∂，2332222z f g f h f g h y ∂=++∂。

3.设20(,)x ytz f t e dt =⎰，其中f 具有连续一阶偏导数，求dz 及2zx y∂∂∂。

解 由于222222(,)(,)(2)x y x y dz f x y e dx y f x y e xydx x dy ==⋅+ 所以22(,)2x y zf x y e xy x∂=∂ 故2222222312122(,)()222()x y x y x y zxf x y e x f x e f xy xf x y f e f x y∂''''=++⋅=++∂∂。

第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。

即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。

空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。

二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。

特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。

2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。

例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。

【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。

x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。

3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。

这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。

柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。

（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。

6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。

2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。

设D是开集。

如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档[单选题]2、（）．A、9B、4C、3实用文档D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】?? [单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、实用文档设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、实用文档C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、实用文档函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、实用文档D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，实用文档.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]实用文档14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、实用文档B、C、D、实用文档【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。

（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。

解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。

解 过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

第六章 多元函数微分学及其应用主要考点：必考内容. 计算容易得分.难点：（1）涉及概念或结合应用的问题.（2）抽象函数的相关的计算（3）二元函数的泰勒公式（从未考过）概念：①多元函数微分学的基本概念及其联系．计算：②常见函数的偏导数、全微分等概念与计算（包括利用定义）．体会复合函数球偏导数的方法；理解一阶微分形式不变性．③抽象复合函数的偏导数、全微分的计算④隐函数的偏导数、全微分的概念与计算．．⑤变量替换下方程的变形．⑥方向导数与梯度（只对数一）．应用：⑦几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）．⑧多元函数的极最值．常见题型：选择题、填空题、计算题.知识网络图一 多元函数微分学的基本概念及其联系几个概念之间的关系： ⇑⇐⇒⇓连续偏导数方向连续偏导数可微分方向导数存在注意：关注几个典型的例子!!!【例】（97）二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处 （ ） P87（A ）连续，偏导数存在， （B ）连续，偏导数不存在，（C ）不连续，偏导数存在， （D ）不连续，偏导数不存在。

【例】（02）考虑二元函数的下面4条性质： P87（1）在点处连续； （2）在点处的两个偏导数连续； ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x （3）在点处可微； （4）在点处的两个偏导数存在。

),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x 【例】(07)二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） P153（A ）()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →−=⎡⎤⎣⎦（B ） ()(),00,0lim0x f x f x →−=，且()()00,0,0lim0y f y f y →−= （C ）()(,0,0,00,0lim 0x y f x f →−=（D ） 且()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →−=⎡⎤⎣⎦()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤−=⎣⎦ 二常见函数的偏导数、全微分等概念与计算1．利用定义【例】(08) 已知(,)f x y =，则 P153（A ），都存在 （B ）不存在，存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′（C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′【例】32)sin(1)1(x xy x y z ++−=，求)1,2(x z ′。