2010陈省身杯数学邀请赛六年级答案

第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．证明 如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．图1°°2GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==． 从而， HA AG =，即AG AH =．因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ． 设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．图2则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．由射影定理得2AG AQ AP =⋅．注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACBb c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。

六年级历届陈省身杯重要知识点数论专题高频考点一、05～10陈省身杯数论模块重要知识点约、倍、质、合、整除位值原则余数(中国剩余，同余)个位率常用方法1．翻译？！2．分解3．位值4．题型特点—方法(同余、奇偶性…)【例1】(2010年陈省身杯第4题)三个相邻的自然数的乘积是3360，这三个自然数分别是________、________和________。

5=⨯⨯⨯=⨯⨯，所以三个自然数为14、15、16。

33602357141516【例2】(2008年13题)用5、6、7、8四个数字(每个数字恰好用一次)可组成24个不同的四位数，其中有________个数能被11整除。

5＋8＝6＋7，当奇数位是5、8时：2×2＝4（种）。

当奇数位是6、7时：2×2＝4（种）。

共有8（种）。

【例3】(2009年12题)A、B、C、D都是小于100的合数，并且A、B、C、D两两互质，则A＋B＋C＋D的最大值为_______。

由于此题求和的最大值，所以我们要使每个数尽量大，且保证其两两互质，故分别取99，95，94，91，和为379。

【例4】(2011年4题)一个数是质数，+10 +14 都是质数，求这个数是几？这个数为3。

【例5】(2011年6题)A是大于0的最小自然数，B是质数中唯一的偶数，C是最小的奇质数，C和D的和是70，问：A+B×C×D×（B+C）=_______。

A=1，B=2，C=3，D=67；A+B×C×D×（B+C）=2011【例6】(2011年14题)有一个三位数，各个数位都不为0，且不相同，把这三个数交换位置，形成5个不同的三位数，其平均数为这三位数，求这三个数最大数多少？设此三位数为abc ，则形成的5个三位数在加上原数就是原数的6倍 则有：222()6a b c abc ++=，37()abc a b c =++；三位数各不相同，最大629符合要求。

小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）【复习1】（我爱数学夏令营）计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89分析：原式=（6.11+1.89）+（9.22+2.78）+（8.33+3.67）+（7.44+4.56）+5.55=8+12+12+12+5.55=49.55【复习2】（06香港圣公会小学奥林匹克）计算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4分析：原式=（3.72+5.28）+（4.6+6.4）-（2.73+0.27）=9+11-3=17 .【复习3】(华罗庚学校五年级入学考试试题)8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62＋2.38)-3.27分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算一步,再用简便方法进行计算.原式=8×0.25×12.5×4－3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27=100-3.27=96.73【复习4】（04陈省身杯数学邀请赛）（56789+67895+78956+89567+95678）÷7分析：原式=（5+6+7+8+9）×11111÷7=5×11111=55555 . 观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次 .【复习5】计算：l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007分析：原式= l+3-2+5-4+7-6+…+2005+2007-2006=1+1×1003=1004 ，分组求和的思路.在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧！在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有：（1）加法交换律：a＋b=b＋a（2）加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)（3）乘法交换律：ab=ba（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)（5）分配律： a(b＋c)=ab＋ac （反过来就是提取公因数）（6）减法（括号）的性质：a-b-c=a-(b＋c)（7）除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a＋b) ÷c=a÷c＋b÷c(a-b) ÷c=a÷c-b÷c和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.【例1】（04陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415×252-3.1415×152分析：（法1）：题中的三项都有因数34.5，容易想到把34.5作为公因数提取出来(把乘法分配律反过来用)，从而使计算简便.原式=34.5×(8.23＋2.77—1)=34.5×10=345.（法2）：原式=3.1415×（252-152）=3.1415×（25+15）×（25-15）=3.1415×40×10=1256.6 应用下面的平方差公式【回忆巩固】ａ、ｂ代表任意数字，（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ×ａ－ｂ×ｂ，这个公式在数学上称为平方差公式。

六年级“陈省杯”数学竞赛模拟题答案测试时间：60分钟 姓名 成绩一、填空 （每题7分。

）1、20072008×20082008-20072007×20082007＝（ 40154015 ）2、2007年12月21日是星期五，北京奥运会将在2008年8月8日举行，试推算一下，那一天是星期（ 五 ）。

3、五个评委分别给一名参加“超级女声”歌咏大赛的选手评了分。

如果去掉一个最高分和一个最低分后，平均95.8分；如果去掉一个最低分平均96.6分；如果去掉一个最高分后平均94.6分。

这五个评委给的原始平均分是（ 95.48 ）分。

4、将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知红卡片的张数与黄卡片相同，那么丁得到（ 4 ）分。

5、王辉和李奕都是IC 卡收集迷。

一天他们在一起整理好IC 卡后，王辉说：如果你给我12张，我们的卡就一样多。

李奕说，如果你给我12张，我的卡就是你的4倍。

他们一共收集了（ 80 ）张卡。

6、将3支红筷子，9支黄筷子，18支绿筷子和1支黑筷子混合放在一个布袋里，黑暗中至少摸出（ 7 ）支，才能保证有两双颜色相同的筷子。

7、右图三角形中，AB=4AD AC=5AE 已知四边形BCED 的面积是57平方厘米，那么小三角形ADE 的面积是（ 3 ）平方厘米。

8、数列的第一个数是4，后面的数规律是：如果前一个数小于（或等于）10，就将它乘以2；如果前一个数大于10，就将它减去7，这样一直写下去，数列的第2007个数是（ 16 ）。

9、某剧院有20排座位，后一排比一排多2个座位，最后一排有50个座位，这剧院共有（ 620 ）个座位。

10、1234567891011……383940是一列按一定规律排列的数字，现在要求从中划去61个 数字，使得剩下的数字（前后顺序不变）组成一个最大的多位数，这个多位数是（ 9997383940 ）。

2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级1. 计算17474719196634_____⨯+⨯+⨯+⨯=2. 十个连续自然数的和不大于100，这十个数的和最大是______。

3. “陈省身数学周”组委会为了奖励参加活动的学生，买来数学故事数和数学文化书共2010本，其中数学文化书是数学故事书的4倍，那么数学故事数有_____本。

4. 数学课上，李老师布置了两道题，结果有34人答对了第一题；有46人做对了第二题；没有人两道题全部做错。

如果这个班共有52人，那么两道题都做对的有_____人。

5. 为庆祝元旦，学校在大门口安装了50盏彩灯，彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红…”的顺序依次排列，则在这50盏彩灯中，共有黄色的彩灯_____盏。

6. 如图，观察这个数表并找出它的规律，这个数表第15行的第一个数是______。

(2523211917)16141210975421？身杯身省陈第6题图 第8题图 第9题图7. 2004年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍；而2010年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍，那么父亲出生在______年。

8. 在上面的方格表的每个小方格中填入一个字，使得方格表的每行、每列及每条对角线上的四个方格中的文字都是“陈”、“省”、“身”、“杯”，那么表中“？”所在的方格中应填的汉字是______。

9. 数一数，上图中共有_____个三角形。

10. 计算1(12)(123)(1234)(1298)(1299)_____-++++-++++-+++++++= 。

11. 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到右图的圆圈中，使得每个正方形的四个角上的数字之和都相等，这个相等的和是_____。

12. A 、B 、C 、D 四名学生猜测自己的数学成绩。

A 说：“如果我得优，那么B 也得优。

”B 说：“如果我得优，那么C 也得优。

”C 说：“如果我得优，那么D 也得优。

2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级1. 计算17474719196634_____⨯+⨯+⨯+⨯=分析：1747471919663447171961934=4736653=4766653=2826653=282+536=3356=2010⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯（）（）（）2. 十个连续自然数的和不大于100，这十个数的和最大是______。

分析：和=（首项+尾项）×项数÷2=（首项+尾项）×10÷2=（首项+尾项）×5和是5的倍数，所以最大为953. “陈省身数学周”组委会为了奖励参加活动的学生，买来数学故事数和数学文化书共2010本，其中数学文化书是数学故事书的4倍，那么数学故事数有_____本。

分析：和倍问题。

数学故事书有2010÷（4+1）=402（本）4. 数学课上，李老师布置了两道题，结果有34人答对了第一题；有46人做对了第二题；没有人两道题全部做错。

如果这个班共有52人，那么两道题都做对的有_____人。

分析：容斥原理。

则两道题都做对的有 34+46-52=28（人）5. 为庆祝元旦，学校在大门口安装了50盏彩灯，彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红…”的顺序依次排列，则在这50盏彩灯中，共有黄色的彩灯_____盏。

分析：周期问题。

可以找到是按照“黄黄红绿绿红”的顺序循环，6个一循环，即周期是6.那么50÷6=8…2,有8个这样的循环多两个黄灯,一个循环中有2个黄灯,那么共有黄灯8×2+2=18(盏)6. 如图，观察这个数表并找出它的规律，这个数表第15行的第一个数是______。

(2523211917)16141210975421？身杯身省陈第6题图 第8题图 第9题图分析:发现这个数表的奇数行是奇数,偶数行是偶数,而15是个奇数,所以这一行的数必定是奇数.又数表的每一行的最后一个数就为这一行行数的平方,那么14行的最后一个数为196,那么第15行的第一个数就为197.7. 2004年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍；而2010年时，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍，那么父亲出生在______年。

2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级1. 计算：58+15⨯⨯8+25⨯8+35⨯8+45⨯8= 。

【分析】： 原式=58358558758958⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯相邻两个加数之间相差258⨯⨯。

是等差数列，所以原式=(58958)521000⨯+⨯⨯⨯÷=2. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于2010，而被减数是差的5倍，那么差等于 。

【分析】： 减数+差=被减数，被减数+减数+差=2010,所以2×被减数=2010，被减数=1005，差=被减数÷5=1005÷5=201.3. 数列2，9，17，24，32，39，47，54，62，……的2010项是 。

【分析】：经过观察，会发现奇数项和偶数项分别是公差是15的两个等差数列，2010即为偶数项等差数列的第1005项，由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可知：第1005项为9+1004×15=15069.4. 如图，一个正方体被切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积之和是原长方体表面积的_______倍。

第4题图 第8题图【分析】：本来的大长方体前后各有一个面，被切了两下之后相当于多了4个面，前后面的面积变为原来的3倍，同理，左右上下也变为原来3倍。

总面积也变为3倍。

5. 数学大师陈省身先生生于1911年，2010年是他诞辰99周年，若六位数2010恰好是99的倍数，则这个六位数是 。

【分析】：被99整除的特征：从末位开始两位一断，分成两位数，把这些两位数求和，这个和能被99整除原来的数就能，根据这个特征，方框里填入696. 一个平行四边形，其相邻的两边的长度分别是14cm 和10cm ，而它的一条高是12cm ，则这个平行四边形的面积是 cm 2。

如下图，由于直角三角形中，斜边肯定大于直角边，所以12cm 的高只能是图②中的，所以面积为10×12=120（cm 2 ）。

2011年陈省身杯国际青少年数学邀请赛（六年级）试题及答案答题卡（请将答案填入下面的答题卡中）1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 201.在下面的四个数3.14、3.14%，3.1415和π中，最大的是_________，最小的是_________。

2.一份稿件，甲需要6天才能完成打印，乙需要10天才能完成打印，那么两人合打3天共完成这份稿件的_________。

3.如下图，已知正方形的边长为2cm，则阴影部分的周长为_________cm。

（π取3.14）4.有一个质数，用它分别加上10与4以后，所得和仍为质数，这个质数是_________。

335.如上图表示的长方体（单位:dm ），其长和宽都是3dm ，体积是363dm ，则这个长方体的表面积是_________2dm 。

6.已知A 是大于0的最小自然数，B 是质数中唯一的一个偶数，C 是最小奇质数，C 与D 的和等于70，那么A+B ×C ×D ×(B+C)= _________。

7.一个分数的分子与分母之和是100，将它的分子、分母都减去6后约分得13，那么原来的分数是_________。

8.把同一段铁丝围成一个正方形后，又改围成一个圆形，发现按照面积公式得出的二者面积之和比为4:5，那么在计算圆面积时，圆周率 的取值为_________。

9.一个六位数能被99整除，竖式如图所示，则这个六位数最小可以是_________。

998310.搬运一批货物，甲车单独运要运6次，乙车每次可运72吨，现在甲、乙两车合运，运的次数相同，完成任务时，甲、乙两车搬运货物重量的比是5:3，这批货物共有_________吨。

□□□ □□□ _________□□□ □□□ _________ 011.计算111111111335192124111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ _________。

2009年陈省身杯国际青少年数学邀请赛（六年级）试题答题卡（请将答案填入下面的答题卡中）1.计算(1)(1)2323+-÷-+=_________________。

2.如图，若图中的三个小圆的周长之和为20cm，则图中的大圆周长为_________cm。

（本题中π取3.14）3.华华、英英和乐乐三个小朋友分别用各自零花钱的12、23、34去买了同一本数学竞赛参考书。

如果此时华华还剩下15元零花钱，那么英英和乐乐共还剩下_________元钱。

4.将一个大正方体切成27个棱长相同的小正方体，这些小正方体的表面积之和是原大正方体表面积的_________倍。

5.若将分数19112009的分子与分母同时减去一个整数后，所得到的分数约分以后等于18，则减掉的这个整数是_________。

6.如图中，一个小正六边形内接于一个圆，一个大正六边形外切于同一个圆。

若大正六边形的面积为10平方厘米，则其中小正六边形的面积为_________平方厘米。

7.1000以内的自然数，有些数不能被2整除，有些数不能被3整除，有些数不能被5整除，那么，这样的数共有_________个。

8.在下面的算式中，不同的汉子代表不同的数字，则其中四位数“我要加参”最小是_________。

比赛+ 陈省身我要参加.9．有三批货物共值152万元，第一、二、三批货物按重量比为2:4:3，按单价比为6：5:2，这三批货物分别值_________万元、_________万元和_________万元。

10.将2009除以一个两位数，所得的余数为7，则满足条件的两位数共有_________个。

11.计算1119111243234++++++=__________________。

12.A、B、C、D都是小于100的合数，并且A、B、C、D两两互质，则A+B+C+D的最大值为_________。

13.如图，两个正方形的中心相同，其对应边成45度角，若两个阴影三角形的面积分别为362cm和50362cm，则其中较大正方形的面积为_________2cm。

六年级历届陈省身杯重要知识点—计算计算专题分类：一、分数混合运算、分数裂项与拆分、分数大小比较； 二、公式计算，定义新运算； 三、有理数与绝对值运算； 1、10%-15% 2、难度一般； 快速 准确【例 1】（2005年第6题）计算： 79793451385751685776751689385734517577691212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=÷÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯= 【例 2】（2010年第16题）计算：20102009201020092010200920102009 (20092008200820072008200721)111120102009 (200920082008200720072006211)11111120102009 (1200820092007200820062007)220102⨯⨯⨯⨯=++++⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⨯⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫=⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭=⨯1009120094036080⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=【例 3】（2006年第16题）在□内填入11以内的自然数，使得等式成立。

60的约数小于有1、2、3、4、5、6、10，经试验取4、3、10可使等式成立111620154110346060++++==【例 4】（2009年第1题）11111111()()()()__________3451385751685776-÷-÷-⨯-=。

2010201020092010200920082010200943____2008200820072008200720062008200721⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯。

41111++60=□□□计算：111111_______2323⎛⎫⎛⎫+-÷-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2012年“陈省身”国际青少年数学邀请赛六年级1、在做工程计算中，我们常常需进行单位换算，那么0.54立方米/小时＝ 毫升/秒。

分析：0.54立方米/小时＝150毫升/秒。

2、甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变。

如果两人同时从同地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇。

已知甲跑一周、需6分钟，那么乙跑一周需 分钟。

分析：1÷（41－61）＝12(分钟)。

3、已知a 、b 、c 是三个不同的质数，并且2a ＋3b ＋6c ＝42，则a ＋b ＋c ＝ 。

分析：a ＋b ＋c ＝3＋2＋5＝10。

4、如图，其中正方形的面积为50cm ²，则阴影部分的面积是 cm ²。

(本题中π取3)分析：41×3×（50×2）－50＝25(平方厘米)。

5、一种商品的进价为600元，出售时标价为900元。

后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证之后出售的每件商品在售出时的利润率均不低于5％，则最多可以打 折。

分析：600×（1＋5％）＝630(元)，630÷900＝70％，所以最多可以打七折。

6、计算：（1＋51）×[82÷（221－37）＋11]×（51＋61）＝ 。

分析：原式＝56×（82÷61＋11）×301＝56×503×301＝20.12。

7、如图，一个尺寸为2厘米×3厘米×5厘米的长方体，被切下一块后，新得到的几何体的表面积比原长方体的表面积增加了 平方厘米。

分析：1×2×2－1×1×2＝2(平方厘米)。

8、用0、1、2三个数字可以组成很多的自然数，将其从小到大依次排列起来，分别是：0，1，2，10，11，…，则2012是其中的第 个数。

分析：一位数：3个；两位数：2×3＝6(个)；三位数：2×3×3＝18(个)；千位是1的四位数：3×3×3＝27(个)，千位是2的四位数：2000、2001、2002、2010、2011、2012，6个；所以2012是其中的第3＋6＋18＋27＋6＝60(个)数。

六年级陈省身杯模拟题（限时：60分钟）1．2． 小强在计算“25-△×3”时，按从左向右依次计算，算出的结果与正确答案相差_________3．自然数987654321的各个数位上的数字之和是4545。

从中划掉一些数字，使剩下的自然。

从中划掉一些数字，使剩下的自然。

从中划掉一些数字，使剩下的自然 数的各个数位上的数字之和是2626，剩下的自然数最大是，剩下的自然数最大是，剩下的自然数最大是 。

4．一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排。

这排。

这 个剧院共有________个座位 5．一张长方形纸片的周长是16厘米，三张这样的纸片恰好可以拼成一张正方形纸片，拼厘米，三张这样的纸片恰好可以拼成一张正方形纸片，拼 成的正方形纸片的周长是成的正方形纸片的周长是 厘米。

厘米。

厘米。

6．有一个人每星期一、三、五说真话，二、四、六、日说假话。

有一天他说：“我明天将“我明天将 说真话。

”这天是星期”这天是星期 。

7．两个自然数的乘积是9999999999，这两个数之和最小是，这两个数之和最小是，这两个数之和最小是 . .8．两个数的最小公倍数是420420，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和 是9，这两个整数是，这两个整数是 . .9．将下式补充完整，乘积是将下式补充完整，乘积是 。

10．各个数位上的数的乘积等于100的最小的整数是的最小的整数是 . .11．在小于2006的自然数中，各个数位上的数字之和等于的自然数中，各个数位上的数字之和等于 26 26的共有的共有 个。

个。

个。

12．在长方形ABCD 中(见下图见下图))，AB=6AB=6，，．AD=2AD=2，，AE=EF=FB AE=EF=FB，求阴影部分的面积。

，求阴影部分的面积。

，求阴影部分的面积。

2009年”陈省身杯”六年级组答案1. 计算（1+21-31）÷（1-21+31）=__________。

答案：五分之七。

方法：题目本身不难，通分即可2. 如图，若图中的三个小圆的周长之和为20cm ，则图中的大圆周长为_________cm 。

（本题中π取3.14）答案：20cm方法：设三个小圆直径分别为a,b,c;则大圆直径为D=a+b+cπa+πb+πc=20π（a+b+c ）=203. 华华，英英和乐乐三个小朋友分别用各自的零花钱的21，32和43去买了一本数学竞赛参考书。

如果此时华华剩下15元零花钱，那么英英和乐乐共还剩下________元钱。

答案：12.5方法：华华剩15元，省的钱是二分之一，所以华华原来有15÷0.5=30元，那本书花费15元， 元，这是英英原来有的钱数，同理可以求出乐乐有的钱数是20元，所以两人分别剩7.5元和5元，一共剩12.5元4. 将一个大正方体切成27个冷场相同的小正方体，这些小正方体的表面积之和是原大正方体的表面积的_________倍。

答案：3方法：，设大正方体的棱长为3a,则每个小正方体的棱长为a ，每个小正方体的表面积是大正方体表面积的九分之一，所以27个小正方体的表面积之和是大正方体表面积的3倍5. 若将分数20091911的分子与分母同时减去同一个整数后，所得到的分数约分之后等于81，则剪掉的这个整数是___________。

答案：1897注意一点就是分子分母差不变，2009-1911=98，98÷（8-1）=14，所以分母为14，所以答案为1911-14=18976. 如上图中，一个小正六边形内接于一圆，一个大正六边形外切于同一圆。

若大正六边形的面积为10平方厘米，则其中小正六边形的面积为____平方厘米。

答案：7.5方法：旋转，使得内部的六边形与外面的六边形相接，然后可以把内部的六边形分割成六个正三角形，易知外部的六边形有8个这样的三角形，所以内部六边形面积为10÷8×6=7.57.1000以内的自然数，有些数不能被2整除，有数不能被3整除，有些数不能被5整除，那么，这样的数共有_______个。

六年级历届陈省身杯重要知识点——应用题模块应用题知识模块【例 1】（2010年陈省身杯第8题）甲、乙、丙三人共同加工2010个零件，如果他们分别加工一个零件需要10分钟、12分钟和25分钟，那么当工作完成时，甲比丙多加工了_____个零件。

甲、乙、丙每分钟加工零件数为：110、112和125，所以加工2010零件共需要1112010()9000101225÷++=（分钟），此时甲共加工了9000÷10＝900（个），丙共加工了9000÷25＝360（个），甲比丙多加工了900－300＝540（个）。

【例 2】（2007年陈省身杯第19题）甲、乙两个小组共同完成一批生产任务，7天可以完成。

实际上共同工作5天后，甲组及乙组的15人员调做其他工作，留下的乙组人员又经过6天完成全部任务。

则甲、乙两组单独完成这批任务分别需要花____天和____天。

甲与乙工效和为：17，共同工作5天后所剩工作量为：121577-⨯=，则45乙的工效应该为：216721÷=，则乙的工效为：14521584÷=，甲的工效为：15178412-=，则甲单独完成这批任务应为：111212÷=（天），乙单独完成这批任务为：55411684845÷==（天）【例3】（2006年陈省身杯第16题）甲筐苹果比乙筐苹果重14千克，将甲筐苹果售出37，乙筐苹果售出25后，两筐剩下的苹果重量相等。

那么原来甲筐中有苹果_____千克，乙筐中有苹果_____千克。

设乙筐苹果重x 千克，则甲筐苹果重(14)x +千克，则有：32(1)(14)(1)75x x -+=-35x =。

答：甲筐苹果重49千克，乙筐苹果重35千克。

【例 4】（2009年陈省身杯第9题）有三批货物共值152万元，第一，第二，第三批货物按重量比为2：4：3，按单价比为6：5：2，这三批货物为别价值______万元、______万元和______万元。

陈省身杯讲座六年级的讲义答案计算部分： 1、原式11111()31212312341234950=⨯+++++++++++++++21111()32334455051=⨯++++⨯⨯⨯⨯2111111()323345051=⨯-+-++-211()3251=⨯-49153=2、原式2008200720092009200820102010200920112011201020122007200920091200820102010120092011201112010201220121+⨯+⨯+⨯+⨯=+++⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-1111=+++ 4= 3、原式1235912358121605932+++++++++=++++595857212+++++=885= 4、原式22222222122318191920121223231819181919201920=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯122318191920213219182019=++++++++11112222122318191920=++++++++⨯⨯⨯⨯1219(1)20=⨯+-193820=5、原式2222222222(21)2(41)2(61)2(181)2(201)2214161181201-+-+-+-+-+=+++++-----222221111131535323399=++++++++++111111102()13355717191921=⨯+⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯11111111102(1)2335571921=+⨯⨯-+-+-++-110(1)21=+-201021=6、原式1111130111134343111114303030221313134======++++++7、运用繁分数的值47倒推，得到5x =。

数论相关：1、最大的是10112358。

所有的三位数中，如果个位数字是9，那么符合要求的数有：189、279、369、459、549、639、729、819、909，共9种；如果个位数字是8，那么符合要求的数有：178、268、358、448、538、628、718、808，共8种；以此类推，个位数字是1的只有101一种。

第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．证明 如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．图1°°2GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==． 从而， HA AG =，即AG AH =．因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ． 设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．图2则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．由射影定理得2AG AQ AP =⋅．注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACBb c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。

六年级历届陈省身杯重要知识点——行程模块行程主要知识模块主要解题方法甲、乙、丙三人同时从A地步行至B地，分别用了6小时、7小时和8小时，那么此三人的速度之比为多少？【例2】（2005年陈省身杯第19题）三个自行车运动员，同时从市中心出发沿一条马路行进，6分钟后甲赶上一个长跑运动员，又过了4分钟，乙也赶上这个长跑运动员，再过2分钟，丙也赶上这个长跑运动员，如果这四个人的速度是保持不变，乙的速度是甲的5/6，则丙的速度是乙的_______。

【例3】（2008年陈省身杯第15题）一辆汽车从甲地开往乙地。

在以原速行驶120千米后出现了故障，经过一个小时修理，汽车再次出发，为了准时到达，司机将车速提高了25%，结果晚了20分钟到达。

如果从出发时间将车速提高20%，可以比原定时间提前了一个小时到达（这里不考虑汽车出现故障的情况）。

那么甲、乙两地相距________千米。

【例4】（2007年陈省身杯第14题）甲、乙两人同时出发向山顶冲刺，规定冲刺到山顶后立即返回，结果甲下山时与乙正上山相遇。

此时距山顶有20米，山坡共440米。

已知甲返回山底比乙少用1/2分钟，他们上山与下山的速度之比都是2 ：3，那么甲回到山底共用________分钟。

【例5】（2006年陈省身杯第20题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中两人相遇时，甲比乙多走18千米，而后甲又经过13.5小时到达B地，乙却用了24小时才到达A地，则A、B两地相距________千米。

【例6】（2010年陈省身杯第10题）东西两地相距9千米，小明从东向西走，每分钟走60米，小莉从西向东走，小辉骑车从东向西走，每分钟300米，三人同时动身，途中小辉遇见小莉即折回向东骑，遇见小明又折回向西骑，再遇见小莉又折回向东骑，...这样往返，如果小辉第二次返回遇见小明时，小明与小莉相距恰好1千米，那么小莉每分钟走_____米。

有一个圆形的湖，周长为22千米，甲乙两人从湖的同一点出发，反向而行，甲的速度为每小时6千米，乙的速度为每小时4千米，甲每走1小时要休息五分钟，乙每走50分钟要休息10分钟，问甲乙多少分钟后相遇？【例8】（2007年陈省身杯国际数学邀请赛试题）甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。

小学数学《等差数列》练习题（含答案）你还记得吗【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手, 多多贏得小印章！分析：以下答案仅供参考！（1）先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、••••••从第二项起，每一项比前一项小5 ,递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用型表示；末项：一个数列的最后一项，通常用爲表示，它也可表示数列的第n项.每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；和：一个数列的某些项的和，常用Sn来表示・（3）三个重要的公式：①通项公式：末项二首项+（项数-DX公差a n =a i+ （n _ 1） Xd回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：aιl-aιlt=（n-m）×cl,②项数公式：项数二（末项-首项）一公差+1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到：n = （a lt-a l）÷d + \（若U ll）；n = （a l-a n）÷d + \（若A a”）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、•・••••、40、43、46 ,分析：配组：（4、5、6）、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48 有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组.当然，我们还可以有其他的配组方法.③求和公式；和=(首项+末项)X项数÷2s l,=(a l+a n)×n÷2对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：(思路 1) 1+2+3+…+98+99+100=(1 + IOo) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (50 +51)V ______________________ iz______________________ >50-MoL= 101x50=5050(思路2)这道题目，我们还可以这样理解：和=1 + 2 + 3+ 4+ ....+ 98+ 99+100 + 和二100+99 + 98+ 97+ ....+ 3+2+12 倍和=101 + 101+101+101+ .. + 101 + 101+101100 --------即，和=(IOO+l)xl00∙j∙2=101x50=5050(4)中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数•譬如：(1) 4+8+12+...+32+36= (4+36) ×9÷2=20×9=180 ,题中的等差数列有 9 项, 中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20X9 ；(2) 65+63+61 + ...+5+3+1= (1+65) ×33÷2=33X33= 1089 ,题中的等差数列有 33 项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33X33.如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.譬如：计算：124. 68+324. 68+524. 68+724. 68+924. 68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524. 68,所以可以用5X524. 68=2623.4.等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点. 一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透∙【复习2］某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位•问: 这个剧一共有多少个座位？分析：首项：70-(25-1)X2=22 ,座位总数：(22+70) × 25÷2=1150 .【复习3】小明从1月1日开始写大字。