第1讲 二次根式的概念与性质

第十六章 二次根式16.1 二次根式一、复习1、什么叫平方根？开平方？如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，求一个数a 平方根的运算叫做开平方2、平方根如何表示？一个非负数a 的平方根可以表示为a ±3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：（1）4； （2）0.16； （3）925. （1）225; （2）0.0001； （3）1681. 二、二次根式的意义1. 二次根式的意义_根号a,其中a 是被开方数. 做二次根式.。

2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零 即：a ≥03. 例题例题1 下列各式是二次根式吗？2、32、2-、 12+a 、)0(<b b例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x ； （2）x -2； （3）x1； （4）21x + 4．练习（一）设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1 （2 （3三、二次根式的性质性质1a a 2=; 性质2：_________________________;性质3：______________________; 性质4：________________________________.例题3 求下列二次根式的值：（1）2)3(π-； （2）122+-x x ，其中3-=x .（1（2（3)0x ≥；（4（5（60)b > 例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-练习（二）：1、化简下列二次根式（1（20)x ≥； （30)n ≥； （4（5） （6）2、选择题（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b（2）、化简2)21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-±（3）、如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞216．2最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1）_________________________________________________;（2）_________________________________________________.例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1（2（3（41)a ≥-例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：（1)0y >；（2)0a b ≥≥；（3)0m n >>· · · · a b 0 12、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：))00a y >> （3）将下列各二次根式化成最简二次根式：)))000b x y p q >>>>>3、同类二次根式几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？))0,0a a >>例题9 合并下列各式中的同类二次根式：（1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：B. )0;x ≥))00a y >>（2）合并下列各式中的同类二次根式：A.-B.。

二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。

通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。

一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。

普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。

二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。

当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。

二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。

例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。

例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。

例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。

2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。

3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。

例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。

例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。

专题01 二次根式的有关概念和性质知识网络重难突破知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

【典型例题】1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ A ） A 21a +B 333C 1-D ．12a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（B ） A 21x +B 4-C 0D 2()a b -3．（2018·48n n 是（ B ） A ．6B ．3C ．48D ．24．（2018·26的值在（ D ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2(5)12130a b c -+--=，则△ABC 是（ C ）A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形7．（2019·滨州市期中）下列式子：①13；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（B ）A ．①③ B ．①③⑤C ．①②③D ．①②③⑤8．（2019·汕头市期末）若211a aa a--=，则a 的取值范围是（ D ） A ．0a >B ．1a ≥C ．01a ≤≤D ．01a <≤9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( B ) A ．x ＞15B ．x≥15C ．x≤15D ．x≤510．（2018·德州市期末）使代数式34x x --有意义的自变量x 的取值范围是（C ） A ．x≥3B ．x ＞3且x≠4C ．x≥3且x≠4D ．x ＞311．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（B ）A ．B ．且C ．D ．且12．（2018·泉州市期中）若a ab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1、二次根式的概念（1（0a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）ABCD【答案】．B【分析】根据二次根式的定义判断即可；【详解】A 错误；B 正确；C 错误；a 的取值范围，故D 错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键．2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】．A【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a是整数，知识精讲即可求得a 能取的最小整数．【详解】解：成立，410a \+³，解得14a ³-，又\a 能取的最小整数为0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．3a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-【答案】．C【分析】二次根式有意义的条件和分式分母有意义的条件即可解得．【详解】∵∴10a +³，-20a ¹解得-1a ³且2a ¹故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是列出不等式求解．4．若2m =，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-【答案】A【分析】先根据二次根式的意义求出n ，再求出m ，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．【详解】解：由题意可得：2n -5=5-2n =0，∴52n =，m =0+0+2=2，∴n-m =225242525-æöæö==ç÷ç÷èøèø，故选A ．【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．5=-，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-【答案】A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．【详解】=-，∴020a a £+³，，∴-20a ££．故选A ．【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1）二次根式的性质：性质1(0)a a =³；性质2：2(0)a a =³；性质3=0a ³，0b ³）；性质4=（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<．【典例分析】6====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是()A (n=-B=C (n=+D =【答案】．C【分析】观察等式，找出规律，写出第n 个式子即可．【详解】解：由规律可得，第n 个式子为：(n =+．故选项A 、B 、D 错误，选项C 正确故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．7．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．aD ．B【答案】．B【分析】由数轴知，a <0<b ，得到a-b <0，进而根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵由数轴知，a <0<b ，∴a-b <0，∴b +2b b a b a+-=-故选：B ．【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简二次根式，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．8．已知xy ＞0，化简二次根式-的正确结果（ ）A B C ．D ．【答案】．B 【分析】根据二沉池根式有意义的条件求出2x y -≥0，求出x 、y 的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．【详解】解：由二次根式有意义的条件可得20x y ->，∵xy ＞0，∴x ＜0，y ＜0，∴-==故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．9．实数a、b的结果是（）A．- 2a B．2（a+b）C．2b D．- 2b【答案】．C【分析】根据数轴判断a、b、a+b与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知：a＜-b＜0＜b，∴a＜0，b＞0，a+b＜0，∴原式=|a|+|b|-|a+b|=-a+b+（a+b）=-a+b+a+b=2b，故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、化简绝对值、数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．10．实数a，b）A．2b-D．0b a-B．2a-C．22【答案】．A【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0=a b a b---=-a －b ＋a －b=2b-故选A ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a ，b ||a b +化简的结果为（ ）A ．aB ．2a b +C ．2a b-D ．2a b -+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）综合训练A 9=-B ．3=C ．(22=-D 1-6，3，…，，3，L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，（ ）A ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c-+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b ___________．13)12x <<=___________．14有意义，则a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y ，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a +的值，其中4a =22．已知关于x 、y 的二元一次方程组325342x y a x y a +=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a 的值；(2)若b 为3c23．当2022a =时，求a(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；a>|1|a-的值．(3)当3参考答案：1．B【分析】根据算术平方根的非负性可得230x +³，23x =+可得x x =-，据此即可作答．【详解】∵23x =+，∴230x +³，∴23x ³-，23x =+，∴()()222323x x -=+，∴2291249124x x x x -+=++，∴x x =-，∴0x £，∴x 取值范围：203x -££，故选：B ．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键．2．A【分析】根据1a <-去绝对值计算即可．【详解】∵1a <-∴11a a +=--，a a=-1)()1a a ----=-故选：A ．3．C【分析】根据二次根式有意义的条件求出20xy -³，求出x 、y 的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由二次根式有意义的条件求出20xy -³，∵0xy <，∴0x <，0y >，==故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．4．D 【分析】根据题意可得：a b ＞，0a b ＜＜，从而可得0a b +＜，0b a -＞，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答．【详解】解：∵a b ＞，0a b ＜＜，∴0a b +＜，0b a -＞，||a b ++a b a a b =+--+a b a a b =-+-++2a b =-+故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．D【分析】根据立方根，算术平方根，二次根式的性质计算判断即可．【详解】解：|9|9=-=，∴A 不符合题意；∵-=∴B 不符合题意；∵(22=，∴C 不符合题意；1=-，∴D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了求立方根，算术平方根，二次根式的性质，熟练掌握求立方根的方法和二次根式的性质是解题的关键．6．A【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n 29个数，6行的第4个数．【详解】解：一组数据的排列变形为L ；由题意可知，每行5个数，∵87=3×29，29个数，∵2955¸=…4，6行的第4个数，()64，，故选：A ．【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的数的特点，找到数的排列规律是解题的关键．7．C【分析】根据题意0a b c ＜＜＜，从而可得0b c -＜，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的意义进行计算即可得出答案．a b c b---+【详解】由题意得0a b c ＜＜＜，∴0b c -＜，b ()ac b =+--，()a b c b =-+--+，a b c b =---+，a c =--，故选：C ．键．8．C【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．【详解】解：A.=A 不符合题意；B. ===，故B 不符合题意；C.是最简二次根式，故C 符合题意；D. 1=-，故D 不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键．9．A【分析】根据二次根式有意义求出x 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意得，210x +³，解得：21x ³-，∴只有A 选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．10．C 【分析】根据求一个数的算术平方根及立方根，幂的乘方运算的逆用，即可一一判定．【详解】解：5=，故该选项错误，不符合题意；==，故该选项错误，不符合题意；=210-==，故该选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及立方根，幂的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．11【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．【详解】解：2==6※【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键．12．b【详解】由数轴得：0a b <<，∴a a =- ，a b a b-=-+()b a a b a b--=-+--=故答案为：b ．13．21及1的符号，去绝对值化简即可．+1-∵12x <<，∴011x <-<，∴01<<，∴110-<<10>，∴原式11=2=，故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次根式的化简及完全平方公式，化简绝对值，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．14．2a £【分析】根据二次根式有意义的条件列式计算可求解．【详解】解：由题意得20a -³，解得2a £，故答案为2a £．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键．15．15【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出,AB BC 的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可．【详解】解：0BC =，30AB \-=，60BC -=，解得：3AB =，6BC =，若等腰三角形ABC 的三边分别为3,3,6，则336+=，不能构成三角形；若等腰三角形ABC 的三边分别为3,6,6，则此三角形周长为36615++=，故答案为：15．【点睛】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键．16．4【分析】根据三角形三边的关系得到37m <<，再根据二次根式的性质得原式37m m =-+-，然后根据m 的取值范围去绝对值后合并即可．【详解】解：∵2、5、m 为三角形三边，∴37m <<，∴原式()3737374m m m m m m =-+-=---=--+=，故答案为：4．熟练掌握知识点是解题的关键．17．5【分析】直接根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．|5|5=-=故答案为：5(0)0(0)a a a a >-<⎩是解答本题的关键．18．±【分析】利用同类项的含义可得4,22m n m n -=⎧⎨+=⎩再解方程组可得m ，n 的值，再求解3m n -及其平方根即可.【详解】解：∵22m n x y --与423m n x y +是同类项，∴4,22m n m n -=⎧⎨+=⎩解得：2,2m n =⎧⎨=-⎩ ∴()32328,m n -=-´-=∴3m n -的平方根是±故答案为：±【点睛】本题考查的是利用同类项的含义求解未知系数的值，求解非负数的平方根，二元一次方程组的解法，二次根式的化简，掌握“同类项的定义及求解平方根的方法”是解本题的关键.19．13【分析】由二次根式有意义的条件可得4,a ³ 3=再利用算术平方根的含义解方程可得答案.a =，∴40,a -³解得：4,a ³∴3,a a -+=3,=∴49,a -=解得：13a =，经检验符合题意；故答案为：13．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义，掌握“判断题干当中的隐含条件4a ³”是解本题的关键.20．6【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，进而得出y 的值，再求出xy 的值即可．【详解】解：∵∴2020x x -³⎧⎨-³⎩，解得x ＝2，∴y ＝3，∴xy ＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．21．(1)小亮(2)2+【分析】(1)根据二次根式的性质，完全平方公式进行化简即可．（2）先化简，代入计算即可．【详解】（1）因为a=1a a a =+-，因为2022a =-，所以10a -＜，所以原式=11a a +-=，所以小亮的解法错误，故答案为：小亮．（2）因为a +=23a a a +=+-，因为4a =-，所以43，所以原式=2(3)6a a a +-=-，当4a =-原式=642-=【点睛】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．22．(1)1(2)2【分析】（1）先应用求二元一次方程组的解法进行计算，求出x ，y ，再根据题意可得0x y +=，代入计算即可得出答案；（2）根据估算无理数大小的方法，计算出b ，c 出答案．【详解】（1）325342x y a x y a +=⎧⎨+=-⎩①②①×3－②得：484x a =-∴21x a =-把21x a =-代入①得：()32142a y a -+=-∴78y a=-∴x 、y 互为相反数∴0x y +=∴()()21870a a -+-+=∴1a =．（2）23,12,<<<<Q536,\<+<5,1,b c \=-====2=【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小及解二元一次方程组，熟练掌握估算无理数的大小及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．23．(1)小亮||a =(3)2-【分析】（1）根据二次根式的性质即可判断答案．（2）根据二次根式的性质即可判断答案．（3）根据a 的范围判断3a -与1a -的符号，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】（1）原式a =|1|a a =+-，2022a =Q ，10a \-<，\原式1212202214043a a a =+-=-=´-=，故小亮的解法错误．故答案为：小亮．（2||a =．||a =．（3）原式|1|a -|3||1|a a =---，3a >Q ，30a \->，10a -<，原式3(1)a a =-+-31a a=-+-2=-．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．。

二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。

6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。

7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。

9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。

10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

第一讲——二次根式的概念及其性质知识导航与知识总结本节主要涉及以前学过的知识有：算术平方根，不等式，去绝对值等知识点一：二次根式的概念 形如a )0(≥a 的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以)0(≥a 是a 为二次根式的前提条件，如6﹑ 2x ﹑)01-≥x x （等是二次根式，而5﹣，2-2x ﹣等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当)0(≥a 时，a 有意义，所以只要使被开方数 。

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 时，a 没有意义 知识点三：二次根式a )0(≥a 的非负性a )0(≥a 表示a 的算术平方根，也就是说，a )0(≥a 是一个非负数，即0≥a )0(≥a —— 双重非负性注：这个性质和 、 类似 知识点四：二次根式（a ）2的性质（1）（a ）2=a )0(≥a （逆用平方根得来）文字语言叙述为： （2）⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 文字语言叙述为： 。

注：化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简 知识点五：2)(a 与2a 的异同点1、不同点：（1）意义不同。

2)(a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；（2）a 的取值范围不同。

2)(a 在中)0(≥a ，而2a 中a 可以是正实数，0，负实数。

（3）运算结果不同。

)0()(2≥a a a ＝ ，而⎩⎨⎧≥)0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 2、相同点：当被开方数都是非负数，即0≥a 时，22)(a a ＝；0＜a 时，2)(a 无意义，而a a -2＝.基础闯关例1：下列各式（1）51（2）5（3）22+x （4）a -1（5）122+-a a其中是二次根式的是_________（填序号）．例2：要使x x --31有意义，则x 的取值范围是 。

第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。

非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。

非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。

知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。

考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。