高考理科第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形3.3

三角函数、三角恒等变换及解三角形第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲要求：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[基础真题体验]考查角度[任意角的三角函数]1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45【解析】 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 【答案】 D2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin xx【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．(2011·课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【解析】 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，由任意角的三角函数定义得，cos θ＝±55，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B4．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255＜0， ∴y ＜0且y16＋y 2＝－255，解得y ＝－8. 【答案】 －8[命题规律预测]考向一 角的集合表示及象限角的判定[典例剖析]【例1】 (1)给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________． 【思路点拨】 (1)先用终边相同角的表示方法分解角，再判断所在象限． (2)先确定边界，再用集合方式表示即可．【解析】 (1)①中，－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中，－400°＝－360°－40°，为第四象限角，故③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，为第一象限角，故④正确．(2)如图，设S 1＝{α|90°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}，S 2＝{α|270°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z}，∴阴影所表示的范围S ＝S 1∪S 2＝{α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}．【答案】 (1)C (2){α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α＜2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [对点练习](1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z)时，α＝n ·360°＋45°， 所以α在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α＝n ·360°＋225°， 所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．(2)当角的终边在第一象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z ，当角的终边在第三象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋43π，k ∈Z ，故所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋43π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z . 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z考向二【例2】 (1)已知扇形周长为10，面积为4，则扇形的圆心角为________．(2)已知扇形周长为40，则当它的半径r ＝________，圆心角θ＝________时，扇形的面积最大． 【思路点拨】 (1)建立关于圆心角和半径的方程组求解．(2)由题设得出面积关于圆心角(或半径)的函数关系式，利用函数求最值． 【解析】 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100. 当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． 【答案】 (1)12 (2)10 2弧度制应用的关注点：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题，常常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形． 因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l ＝α·R ＝π3×10＝103π， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考向三 三角函数的定义[典例剖析]【例3】 (1)已知角α终边上一点P (3，1)，则2sin 2α－3tan α＝( ) A ．－1－3 3 B ．1－3 3 C ．－2 3D ．0(2)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________．【思路点拨】 (1)先由三角函数的定义求出角α，再进行计算． (2)由三角函数定义及题设确定B 点坐标，再计算tan 2α的值．【解析】 (1)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝32，即α＝2k π＋π6(k ∈Z)． 所以2sin 2α－3tan α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k π＋π3－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×32－3×33＝0.(2)设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z)，点A (2cos θ，2sin θ)．设点B (x ，y )，由已知得 x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以点B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 【答案】 (1)D (2)(－1，3) 3用三角函数概念求三角函数值的方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值，进而得到三角函数值．[对点练习](1)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( )A.3 B ．±3 C.33 D ．±33(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12【解析】 (1)由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12， ∴tan α＝±3，B 正确．(2)由三角函数定义可知Q (x ，y )满足： x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32， 故A 正确．【答案】 (1)B (2)A误区分析8 误认为“|t |＝t ”致三角函数定义求值中漏解[典例剖析]【典例】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＋45tan α＝________.【解析】 因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.误区：此处求解时，常认为r ＝5t ，不对t 进行分类讨论而导致漏解． 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－3t 5t ＝－35， cos α＝4t 5t ＝45，tan α＝－3t 4t ＝－34，所以sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－25；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t ＝－45，tan α＝－3t 4t ＝－34.所以sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，所求值为－25或－45. 【答案】 －25或－45【防范措施】 1.对于a 2＝|a |，在去掉绝对值号后，应分a ≥0和a ＜0两种情况讨论． 2．已知角α终边上任意一点P (x ，y )，求三角函数值时，应用sin α＝y x 2＋y2，cos α＝x x 2＋y2，tanα＝yx 求解．[对点练习]已知角θ的终边上一点P (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________. 【解析】 ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝(3a )2＋(4a )2＝5|a |.(1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y r ＝45. (2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y r ＝－45， 综上，sin θ＝±45. 【答案】 ±451．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)【解析】 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z)，但角度制与弧度制不能混用，故只有C 正确．【答案】 C2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C3．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 sin α＝2(－1)2＋22＝255.【答案】 B4．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【解析】 设扇形的半径为R ，则12|α|R 2＝2，∴R ＝1. ∴周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6. 【答案】 C课时提升练(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数(见学生用书第263页)一、选择题1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 【答案】 C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0【解析】 在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 【答案】 B3．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C 4．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点则cos α＝－x x 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确，sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的非负半轴上． ④不正确，在三角函数的定义中，cos α＝xr ＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．【答案】 A5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角的终边所在的范围(阴影部分)是()【解析】 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，应选C.【答案】 C6．已知角α的终边过点P (x ，x 2＋1)(x ＞0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D. 2 【解析】 tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取“＝”．【答案】 B7．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.【答案】 A8．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4【解析】 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 【解析】 ∵r ＝64m 2＋9.∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12. 【答案】 B10．设π4＜α＜π2，sin α＝a ，cos α＝b ，tan α＝c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．b ＜a ＜c【解析】 在单位圆中作出角α的正弦线、余弦线、正切线，如图，sin α＝|MP |，cos α＝|OM |，tan α＝|AT |，∵|OM |＜|MP |＜|AT |，∴b ＜a ＜c .【答案】 D11．函数y ＝|tan x |tan x ＋sin x |sin x |＋|cos x |cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π2，k ∈Z 的值域是( )A ．{y |－1≤y ≤3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{y |－3≤y ≤3}D ．{－1,3}【解析】 当x 是第一象限角时，tan x ，sin x ，cos x 都是正的，故y ＝1＋1＋1＝3；当x 是第二象限角时，tan x ＜0，sin x ＞0，cos x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1；同理可得，x 是第三、四象限角时，y ＝－1.12．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0 D ．小于等于0 【解析】 ∵θ是第四象限角， ∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α， 又当－1＜α＜0时，sin α＜0. 故sin(sin θ)＜0. 【答案】 C 二、填空题13．若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a 4＝tan 120°，∴－a 4＝－3， ∴a ＝4 3. 【答案】 4 314．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小角的弧度数为________．【解析】 2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 【答案】 5π615．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【解析】 由已知tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限． 【答案】 二 16．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角． 其中不正确．．．的命题是________． 【解析】 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 【答案】 ①②④⑤第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[基础真题体验]考查角度[同角三角函数的基本关系] 1．(2014·课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0【解析】 ∵tan α>0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)， 结合正、余弦函数图象可知，A 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2a ＝0，故D 不正确． 【答案】 A2．(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.2425 【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425. 【答案】 A3．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1，所以α＝3π4，tan α＝－1. 【答案】 A 考查角度[诱导公式]4．(2013·广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C.【答案】 C [命题规律预测]考向一 同角三角函数的基本关系的应用[典例剖析]【例1】 (1)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2(2)(2014·嘉兴模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 【思路点拨】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解． (2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解析】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55同角三角函数基本关系应用题目的破题技巧：(1)在sin α、cos α与tan α三者中知一求二的题目常利用平方关系和商数关系构造方程组求解． (2)知tan α的值求关于sin α与cos α的n 次齐次分式的值时，一般分子分母同除以cos n α，转化为关于tan α的式子求解．(3)含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将式子的分母看作“1”，利用平方关系代换后转化为“切”再求解．[对点练习](1)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.54(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则tan α＝________. 【解析】 (1)∵tan α＝2，∴2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.【答案】 (1)B (2)－43考向二 诱导公式的应用[典例剖析]【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________．【思路点拨】 (1)利用诱导公式将给定的任意角转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角再求值． (2)注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π和α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，对待求式中的角进行转化即可． 【解析】 (1)原式＝－sin1 200°cos1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【答案】 (1)1 (2)－2＋331．使用诱导公式解题的技巧诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角的三角函数，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角．利用诱导公式时要正确分析角的结构特点，然后确定要使用哪个诱导公式，应用时注意函数名是否要改变，符号是否要改变．2．给值求值问题的求解须知在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进化转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错． [对点练习](1)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( )A ．－79B ．－13 C.13 D.79【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 【答案】 (1)B (2)C考向三 in α±cos α与sin α·cos α的关系[典例剖析]【例3】 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．【思路点拨】 由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1可求得． 【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，① ∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.方程组思想的运用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.体现了方程组思想的运用．[对点练习]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 【解析】 由sin α－cos α＝2，得1－2sin αcos α＝2， ∴2sin αcos α＝－1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝22，cos α＝－22，∴tan α＝－1.【答案】 －1误区分析9 未提取“角的范围”这一隐含信息致三角函数求值增根[典例剖析]【典例】 (2015·佛山模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－34 D.34 【解析】 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos_α＜0，sin_α＜0，且|cos_α|＜|sin_α|，误区：审题时，“5π4＜α＜3π2”即α为第三象限角，故cos α＜0，sin α＜0，而|cos α|＜|sin α|这一关键问题未审出，而导致cos α－sin α的符号不确定．∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.∴cos α－sin α＝32. 【答案】 B【防范措施】 利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断，以防产生增根．一般地判断角范围的条件很隐蔽，需要认真分析、挖掘．如本例中的“5π4＜α＜3π2”应理解为第三象限后半区的角．[对点练习]已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.【解析】 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23. 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29， 故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝43. 【答案】 431．cos 600°的值为( )A.32B.12 C ．－32 D ．－12 【解析】 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 【答案】 D2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213 【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513， ∴cos α＝513，又α是第四象限角， ∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A3．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 【解析】 sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝25. 【答案】 254．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 ，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ＝________. 【解析】 (cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516，∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ，∴cos θ－sin θ＝－154. 【答案】 －154课时提升练(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3 D ．－1＋ 3【解析】 tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 B2．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213 【解析】 因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.【答案】 A3．在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55 B ．－55 C.255 D ．－255【解析】 ∵在△ABC 中，tan A ＝－2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－55. 【答案】 B4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12【解析】 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 【答案】 B5．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255 B.255 C ．±255 D.52【解析】 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.【答案】 B6．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ) D ．sin θ＋cos θ 【解析】 ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，∴原式＝sin θ－cos θ.【答案】 A7．已知sin(π－2)＝a ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2的值为( )A ．－1－a 2B ．－a C.1－a 2 D ．a【解析】 ∵sin(π－2)＝a ，∴sin 2＝a . ∴cos 2＝－1－a 2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos 2＝－1－a 2.【答案】 A8．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13【解析】 由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010. 【答案】 C9．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3【解析】 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.【答案】 D10．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4【解析】 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ， 设t ＝tan x ，则0＜t ＜1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 【答案】 D11．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为( )A.4－2m m －3 B ．±m －34－2m C ．－512 D ．－34或－512 【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝8或m ＝0. ∴sin θ＝513，cos θ＝－1213或sin θ＝－35，cos θ＝45. ∴tan(k π＋θ)＝tan θ＝－512或－34. 【答案】 D 二、填空题12．已知cos(75°＋α)＝13，－180°＜α＜－90°，则tan(15°－α)＝________. 【解析】 由－180°＜α＜－90°得，－105°＜α＋75°＜－15°， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－223，又cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)，sin(15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)，∴tan(15°－α)＝－24. 【答案】 －2413．已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 31514．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于________． 【解析】 ∵α与β的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋β＝ 2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，∴α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，故sin α＝12. 【答案】 1215．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 【答案】 016．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝______. 【解析】 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2得，sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcosθ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 【答案】 310第三节 三角函数的图象与性质考纲要求：1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． [基础真题体验]考查角度[三角函数的图象]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )【解析】 在[－π，π]上，∵f (－x )＝[1－cos(－x )]·sin(－x )＝(1－cos x )(－sin x )＝－(1－cos x )sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，排除B.取x ＝π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π2sin π2＝1＞0，排除A. ∵f (x )＝(1－cos x )sin x ，∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x＝1－cos 2x ＋cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为23π，靠近π，选C. 【答案】 C考查角度[三角函数的性质]2．(2014·课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 【解析】 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 【答案】 C3．(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]【解析】 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B 、C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k∈Z ，排除D.【答案】 A4．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π [命题规律预测]考向一 三角函数的定义域与值域[典例剖析]【例1】 (1)(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．0 (2)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．【思路点拨】 (1)先确定2x －π4的范围，再用数形结合法求最值． (2)由2sin x －1≥0求解．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. (2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)求三角函数的定义域、值域(最值)的方法：(1)求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的常见求法①化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．②换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．[对点练习](1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最大值是________．【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2考向二 三角函数的单调性[典例剖析]【例2】 (1)(2014·辽宁高考)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增(2)函数y ＝|tan x |的单调减区间为________．【思路点拨】 (1)先进行图象变换，再用代换法求单调区间．(2)由y ＝tan x 的图象得到y ＝|tan x |的图象，观察图象写出其单调减区间即可．【解析】 (1)y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z.令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．(2)y ＝|tan x |的图象如图所示：观察图象可知，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z三角函数的单调区间的求法：(1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[对点练习]函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 在[－π，0]上的单调递减区间为________．【解析】 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0考向三三角函数的奇偶性、周期性和对称性【命题视角】 三角函数的奇偶性、周期性与对称性是三角函数的重要性质，是高考的命题热点，通常以选择题、填空题或解答题某一问的形式呈现，常考查对称轴与对称中心的求解，周期的求解与奇偶性的判断等问题．角度一：判断对称轴与对称中心【例3－1】 (2014·福建高考)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 【思路点拨】【解析】 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对．【答案】 D利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x 轴的交点这一性质求解或通过检验函数值进行判断角度二：求三角函数的周期【例3－2】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π【思路点拨】 利用辅助角公式把函数f (x )表示为正弦型函数，解出交点横坐标，由距离求出ω，得到周期T .【解析】 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z)． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 【答案】 C(1)利用周期定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．角度三：三角函数的奇偶性及应用【例3－3】 已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3【思路点拨】 化f (x )为A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合诱导公式求解φ值．【解析】 f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π3(k ∈Z)，由所给选项知只有D 适合．【答案】 D若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.思想方法7 研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想所谓整体思想就是研究问题时从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析，整体处理的思想方法．在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题： (1)三角函数的化简求值．(2)研究三角函数的有关性质，(如求单调区间、值域、对称轴、对称中心等)． (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题．[典例剖析]【典例】 (2014·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解】 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4·(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.[对点练习]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 【解析】 由已知得2πω＝π，∴ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，故f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． 【答案】 D课堂达标训练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 ∵正弦函数的图象的对称轴过图象的最高点或最低点，∴令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，取k ＝－1，则x ＝－π4.【答案】 C2．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数． 【答案】 A3．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．【解析】要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 【解析】 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3补上一课(二) 三角函数最值(值域)的求法三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，历年高考题中均重点考查，对于这类问题如果找到恰当的方法，掌握其规律，可以简捷求解．前面考向一中我们已稍作介绍，在此再总结以下类型以供参考．1 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值(值域)【例1】 设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的值域为________．【思路点拨】令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1—求得y ＝4t 2－12t －1的 最值，得原函数的值域【解析】 令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. y ＝4t 2－12t －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减， 所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6； 当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9. ∴y ∈[－9,6]． 【答案】 [－9,6]【名师点津】 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的值域问题转化为二次函数的值域问题，要注意换元前后变量的取值范围要保持不变．2 y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值(值域)【例2】 函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32【思路点拨】 转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的值域求解．【解析】 ∵f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数f (x )的值域为[－3，3]． 【答案】 B【名师点津】 形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的函数最值应用辅助角公式转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值．。

3.3 三角函数的积化和差与和差化积典题精讲例1 已知cos α-cos β=21，sin α-sin β=-31，求sin(α+β)的值. 思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan 2βα+的值，再用万能公式求sin(α+β)的值.解:∵cos α-cos β=21，∴-2sin 2βα+sin 2βα-=21.① ∵sin α-sin β=-31，∴2cos 2βα+sin 2βα-=-31.②①÷②得-tan2βα+=-23. ∴tan2βα+=23. ∴sin(α+β)=2tan 12tan22βαβα+++=491232+⨯=1312. 绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin 2α+cos 2α=1，sin 2β+cos 2β=1联立方程组，分别解得sin α,cos α,sin β,cos β的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境. 变式训练1 已知tan α、tan β是方程x 2+3x-4=0的两个根，求βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++的值.思路分析:利用根与系数的关系，得到tan α+tan β和tan αtan β，进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β，sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形.解:由韦达定理得tan α+tan β=-3，tan αtan β=-4. ∴βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++=)cos()sin(2)cos()cos(2βαβαβαβα-+-+=βαβαβαtan tan tan tan 1)tan(1+-=+=341-+=-35.变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx 和cos4x 组到一起，将cos2x 和cos3x 组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2cos25x cos 23x +2cos 25x cos 2x =2cos 25x (cos 23x +cos 2x )=4cos 25x cosxcos 2x. 例2(2005重庆高考卷，文17)若函数f(x)=)2sin(22cos 1x x-+π+sinx+a 2sin(x+4π)的最大值为2+3，试确定常数a 的值.思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(ωx+φ)的形式，再确定常数a 的值. 解:f(x)=)2sin(2cos 22x x -π+sinx+a 2sin(x+4π) =xx cos 2cos 22+sinx+a 2sin(x+4π)=sinx+cosx+a 2sin(x+4π)=2sin(x+4π)+a 2sin(x+4π)=(2+a 2)sin(x+4π). ∵f(x)的最大值为2+3,sin(x+4π)的最大值为1，∴2+a 2=2+3.∴a=±2.绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为 y=Asin(ωx+φ)的形式求解，有时化归为二次函数求解. 变式训练 求函数y=cos3x·cosx 的最值.思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值. 解:y=cos3x·cosx=21(cos4x+cos2x) =21(2cos 22x-1+cos2x) =cos 22x+21cos2x-21=(cos2x+41)2-169.∵cos2x∈［-1，1］， ∴当cos2x=-41时，y 取得最小值-169； 当cos2x=1时，y 取得最大值1，即函数y=cos3x·cosx 的最大值是1，最小值是-169. 问题探究问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C的值. ①在等边三角形ABC 中；②A=60°,B=90°,C=30°；③A=120°,B=30°,C=30°.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.(3)利用(2)的结论计算-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值.导思:从A+B+C 上归纳并猜想出结论. 探究:(1)①由题意得A=B=C=60°， cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C =cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30°=21+21+21-4×21×21×21=1; ②cosA+cosB+cosC -4sin 2A sin 2B sin 2C=cos60°+cos90°+cos30°-4sin30°sin45°sin15° =21+0+23-4×21×22×2cos30-1︒=1； ③cosA+cosB+cosC -4sin 2A sin 2B sin 2C=cos120°+cos30°+cos30°-4sin60°sin15°si n15° =-21+23+23-4×23sin 215° =-21+3-3×(1-cos30°)=1. (2)在(1)①中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C=1； 在(1)②中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1；在(1)③中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1.猜想：当A+B+C=180°时，有cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.证明：当A+B+C=180°时，有A+B=180°-C,即2B A +=90°-2C，∴cosA+cosB+cosC=2cos 2B A +cos 2B A -+1-2sin 22C =2cos(90°-2C )cos 2B A -+1-2sin 22C=2sin 2C cos 2B A --2sin 22C +1=2sin 2C (cos 2B A --sin 2C )+1=2sin 2C (cos 2B A --cos 2B A +)+1=2sin2C (-2)sin 2A sin(-2B)+1 =4sin 2A sin 2B sin 2C+1.∴cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.(3)∵10°+99.8°+70.2°=180°，∴cos10°+cos99.8°+cos70.2°-4sin5°sin49.9°sin35.1°=1.∴-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°=-2.。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式页)1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________． 答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜ －π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。

注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。

)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。