湖南省娄底市中考数学试题(含答案解析)

2023年湖南省娄底市中考数学试卷试卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. −3的倒数是 （ ）A.−3B.3C.13D.−132. 下列运算正确的是( )A.a 2⋅a 4=a 8B.(2a +b)(2a −b)=2a 2−b 2C.(−a 2)3=−a 6D.a 4+a 4=2a 83. 共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门2018年11月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆，将49万用科学记数法表示正确的是( )A.4.9×104B.4.9×105C.0.49×104D.49×1044. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=47∘，则∠2=（ ）A.40∘B.43∘C.45∘D.47∘−3−3313−13()⋅=a 2a 4a 8(2a +b)(2a −b)=2−a 2b 2=−(−)a 23a 6+=2a 4a 4a 820181149494.9×1044.9×1050.49×10449×104∠1=47∘∠2=40∘43∘45∘47∘5. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是( )A.{x −1>0,x +2≤0B.{x +1>0,x +2≤0C.{x +1>0,x −2≤0D.{x −1≤0,x +2<06. 正比例函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为（ ）A.y ＝2x +1B.y ＝2x −1C.y ＝2x +2D.y ＝2x −27. 下列说法中，错误的是( )A.一个正数的两个平方根的和为零B.任意一个实数都有奇次方根C.平方根和立方根相等的数只有零D.任何实数的绝对值都大于它的相反数8.下图几何体面的个数为（ ）A.1B.2C.3D.49. 如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，扇形AOE 的面积是12π，则该正六边形的边长是(){x−1>0,x+2≤0{x+1>0,x+2≤0{x+1>0,x−2≤0{x−1≤0,x+2<0y 2x 1y 2x+1y 2x−1y 2x+2y 2x−21234O ABCDEF AOE 12πA.6B.3√2C.2√3D.1210. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点(−1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M =4a +2b +c ，则M 的取值范围是( )A.M <2 B.−2<M <0 C.M >−1D.−6<M <611. 请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43．观察计算的结果，由发现的规律得出√13+23+33+⋯+253的值为( )A.351B.350C.325D.300 12. 将大小不同的两个正方形按图1，图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是20，图2中阴影部分的面积是14，则小正方形的边长是( )A.4B.5C.6D.7二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）632–√23–√12y =a +bx+c(a ≠0)x 2(−1,0)(0,2)M =4a +2b +c MM <2−2<M <0M >−1−6<M <613−−√+1323−−−−−−√++132333−−−−−−−−−−√+++13233343−−−−−−−−−−−−−−√+++⋯+132333253−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√35135032530012120214456713. 函数y =√2−x 中，自变量x 的取值范围是________．14. 若n(n ≠0)是关于x 的方程x 2−mx +2n =0的根，则m−n 的值为________．15. 如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为________.16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =2，扇形的圆心角θ=120∘，则该圆锥母线l 的长为________．17. 抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，则关于x 的一元二次方程a(x −3)2−4＝3b −bx −c 的解为________．18. 已知正方形的周长为a ，用a 表示正方形的边长是________.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ）19. （6分） 计算：(−1)2016+2sin60∘−|1−√3|+π0．20. （6分） 先化简，再求值：(1a +1a +1)÷4a 2−1a 2+a ，其中a =√3+12．21.(8分) 为加强学生身体锻炼，我校开展体育“大课间”活动．学校学生会体育部决定在学生中开设A：篮球，B ：立定跳远，C ：跳绳，D ：跑步，E ：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？(2)将两个统计图补充完整；(3)若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人？ 22. （8分） 如图，在△ABC 中，BC =12，tanA =34，∠B =30∘，求AC 的长和△ABC 的面积．y =2−x −−−−−√x n(n ≠0)x −mx+2n =0x 2m−n ABCD AB =4BC =3P BC △CDP DP C E PE DE AB O F OP =OF cos ∠ADFr =2θ=120∘ly a +bx+c x 2A(−1,4)B(2,4)x a(x−3−4)23b −bx−c a a (−1+2sin −|1−|+)201660∘3–√π0(+)÷1a 1a +14−1a 2+a a 2a =+13–√2A B C D E (1)(2)(3)1200△ABC BC =12tanA =34∠B =30∘AC △ABC23.(9分) 某校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买1个足球和2个篮球共需230元，购买5个足球和3个篮球共需555元．(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元．(2)根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共100个，且总费用不超过7030元．求最多可以购买多少个篮球． 24.(9分) 已知：AB 是⊙O 的直径，DA 是⊙O 的切线，点A 是切点，点C 在圆周上，连接DC ，连接DO 交弧AC 于点E ，连接AE ，CE ，且AE =CE.(1)如图(1)，求证：CD 是⊙O 的切线；(2)如图(2)，延长DO 交⊙O 于点F ，连接CF ，BE 交于点G ，求证：∠CGE =2∠F ；(3)在(2)条件下，DE =12AD,EF =2√5，求线段CE 的长. 25.(10分) 如图，路灯OP 距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 处时，（1）求此时人影的长度BN ；（2）求MN 的长． 26.(10分) 如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线的顶点为M (2,−2√33)，抛物线与轴的一个交点为A(4,0)，点B (2,2√3)与点C 关于y 轴对称．(1)判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；(2)顺次连接AB ，BC ，CO ，判断四边形ABCO 的形状并证明；(3)设点P 是抛物线上的动点，连接PM 、PC 、AC ， △PAC 的面积S 随点P 的运动而变化，请探究S 的大小变化并填写表格①∼④处的内容；当S 的值为②时，求点P 的横坐标的值．直线AC 的函数表达式S 取的一个特殊值满足条件的P 点的个数S 的可能取值范围①________64个③________②________3个102个④________1223053555(1)(2)1007030AB ⊙O DA ⊙O A C DC DO AC E AE ，CE AE =CE(1)CD ⊙O(2)(2)DO ⊙O F CF ，BEG ∠CGE =2∠F(2)DE =AD,EF =2125–√CE OP 8 1.6O 20A OA 14BBNMNO M(2,−)23–√3A(4,0)B(2,2)3–√C y (1)C(2)AB BC CO ABCO(3)P PM PC AC △PAC S P S ∼S P AC S P S 643102参考答案与试题解析2023年湖南省娄底市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】倒数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的乘法平方差公式【解析】根据同底数幂的乘法即可确定A 是否正确；根据平方差公式即可确定B 是否正确；根据幂的乘方即可确定C 是否正确；根据合并同类项的方法即可确定D 是否正确.【解答】解：A ，a 2⋅a 4=a 2+4=a 6，故A 错误；B ，(2a +b)(2a −b)=(2a)2−b 2=4a 2−b 2，故B 错误；C ，(−a 2)3=−a 2×3=−a 6，故C 正确；D ，a 4+a 4=2a 4，故D 错误.故选C.3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a|<10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：49万=4.9×105．故选B.4.【答案】B【考点】中位数【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∴∠3=∠1=47∘，∴∠4=90∘−∠3=43∘，∴∠2=∠4=43∘，故选B ．5.【答案】C【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案.【解答】解：{x −1>0,x +2≤0,解得:{x >1,x ≤−2,则不等式组无解；{x +1>0,x +2≤0,解得:{x >−1,x ≤−2,则不等式组无解；{x+1>0,x−2≤0,解得:{x>−1,x≤2,则不等式组解集为：−1<x≤2；{x−1≤0,x+2<0,解得:{x≤1,x<−2,则不等式组解集为：x<−2.结合数轴，可知C正确.故选C.6.【答案】C【考点】一次函数的图象一次函数图象与几何变换【解析】依据一次函数图象平移的规律（左加右减）即可得出平移后的函数解析式．【解答】正比例函数y＝2x的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为y＝2(x+1)，即y＝2x+2．7.【答案】D【考点】绝对值平方根立方根相反数【解析】根据平方根、立方根、相反数的定义和性质来解答即可.【解答】解：A，一个正数的两个平方根的和为零，正确，故A不合题意；B，任意一个实数都有奇次方根，正确，故B不合题意；C，平方根和立方根相等的数只有零，正确，故C不合题意；D，任何实数的绝对值都大于它的相反数，错误，故D符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】认识立体图形【解析】本题考查认识立体图形.【解答】解，由图知此为球体，由1个面构成，故选A ．9.【答案】A【考点】扇形面积的计算正多边形和圆【解析】利用扇形面积公式，结合正六边形性质即可求解.【解答】解：在正六边形ABCDEF 中，连接OF ，如图，则 OA =OF ，∠AOF =360∘×16=60∘ ，∴△AOF 是等边三角形.∵∠AOE =2∠AOF =2×60∘=120∘，∴ 扇形面积 S =120π⋅OA 2360=12π,∴OA 2=36，解得 OA =6，∴AF =OA =6，即正六边形的边长为6.故选A.10.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】将(−1,0)与(0,2)代入y ＝ax 2+bx +c ，可知b ＝a +2，利用对称轴可知：a >−2，从而可知M 的取值范围．【解答】解：将(−1,0)与(0,2)代入y =ax 2+bx +c ，∴0=a −b +c ，2=c ，∴b =a +2.∵−b2a >0，a <0，∴b >0，∴a >−2，∴−2<a <0，∴M =4a +2(a +2)+2=6a +6，∴−6<M <6.故选D.11.【答案】C【考点】规律型：数字的变化类有理数的混合运算【解析】直接找到规律，利用规律的结构即可求出.【解答】解：由于√13=1=1，√13+23=3=1+2，√13+23+33=6=1+2+3，√13+23+33+43=10=1+2+3+4，故据此规律，得√13+23+33+⋯+253=1+2+3+⋯+25=252(1+25)=25×13=325.故选C.12.【答案】A【考点】三角形的面积单项式乘多项式算术平方根【解析】设大正方形的边长为a ．小正方形的边长为b ．根据题意列方程组，即可得到结论．【解答】解：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，根据题意可得：{12ab +12b(a −b)=20，12ab =14，解得：b =4.故选A ．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）13.【答案】x ≤2【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围．【解答】根据题意得：2−x ≥0，解得：x ≤2．14.【答案】2【考点】一元二次方程的解【解析】把n 代入方程得n(n −m+2)=0.由n ≠0即可得出m−n 的值．【解答】解：n(n ≠0)是关于x 的方程x 2−mx +2n =0的根，把x =n 代入方程得n 2−mn +2n =0，整理得n(n −m+2)=0，由n ≠0，得n −m+2=0，故m−n =2.故答案为：2.15.【答案】1517【考点】解直角三角形矩形的性质翻折变换（折叠问题）根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≅△OBP(AAS)，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4−x 、BF =PC =3−x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【解答】解：根据折叠可知：△DCP ≅△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，{∠EOF =∠BOP,∠B =∠E =90∘,OP =OF,∴△OEF ≅△OBP(AAS)，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE −EF =4−x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC −BP =3−x ，∴AF =AB −BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x)2+32=(4−x)2，解得：x =35，∴DF =4−x =175，∴cos ∠ADF =ADDF =1517．故答案为：1517.16.【答案】6【考点】圆锥的计算【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2=120⋅π⋅l180，然后解关于l 的方程即可．【解答】解：根据题意得2π×2=120⋅π⋅l180，解得l =6，即该圆锥母线l 的长为6.故答案为：6.17.【答案】2或5【考点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x 轴的交点【解析】抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，即y ＝ax 2+bx +c ＝4时，x ＝−1或2，则将上述抛物线向右平移3个单位得到y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ，进而求解．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，即y ＝ax 2+bx +c ＝4时，x ＝−1或2，则将上述抛物线向右平移3个单位得到y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ，则y ＝4时，即y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ＝4，即a(x −3)2−4＝3b −bx −c ，则点A 、B 也向右平移了3个单位，则x ＝2或5，18.【答案】a4【考点】列代数式【解析】设出正方形的边长为x ，根据正方形的周长公式列出代数式，即可求解.【解答】解：设正方形的边长为x ，则正方形的周长为a =4x ，即x =a4.故答案为：a4.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ）19.【答案】原式=1+2×√32−(√3−1)+1=1+√3−√3+1+1＝3．【考点】零指数幂实数的运算特殊角的三角函数值【解析】先计算乘方、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再去括号，最后计算加减可得．【解答】原式=1+2×√32−(√3−1)+1=1+√3−√3+1+1＝3．20.【答案】原式=2a +1a(a +1)÷(2a +1)(2a −1)a(a +1)=2a +1a(a +1)⋅a(a +1)(2a +1)(2a −1)=12a −1，√3+12时，当a=√3+12−1原式=12×=1√3=√33．【考点】分式的化简求值【解析】利用分式的加减法则、除法法则，先化简分式，再代入求值．【解答】原式=2a+1a(a+1)÷(2a+1)(2a−1)a(a+1)=2a+1a(a+1)⋅a(a+1)(2a+1)(2a−1)=12a−1，√3+12时，当a=√3+12−1原式=12×=1√3=√33．21.【答案】解：(1)40÷20%=200（名）答：共调查了200名学生.(2)喜欢篮球的学生人数：200−10−40−30−40=80（名），篮球所占百分比为：80÷200×100%=40%，跑步所占百分比为：30÷200×100%=15%，如图所示．(3)1200×20%=240（人）答：喜欢排球的学生大约有240人.【考点】条形统计图扇形统计图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)40÷20%=200（名）答：共调查了200名学生.(2)喜欢篮球的学生人数：200−10−40−30−40=80（名），篮球所占百分比为：80÷200×100%=40%，跑步所占百分比为：30÷200×100%=15%，如图所示．(3)1200×20%=240（人）答：喜欢排球的学生大约有240人.22.【答案】解：作CD⊥AB于D，如图.在Rt△CDB中，∠B=30∘，∴ CD=12BC=6，BD=BC⋅cosB=12×√32=6√3.在Rt△ACD中，tanA=34，∴CDAD=34，即6AD=34，解得AD=8.√CD2+AD2=√62+82=10，由勾股定理得AC=∴△ABC的面积=12AB×CD=12×(8+6√3)×6=24+18√3.【考点】解直角三角形【解析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出BD，根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图.在Rt△CDB中，∠B=30∘，∴ CD=12BC=6，BD=BC⋅cosB=12×√32=6√3.在Rt△ACD中，tanA=34，∴CDAD=34，即6AD=34，解得AD=8.√CD2+AD2=√62+82=10，由勾股定理得AC=∴△ABC的面积=12AB×CD=12×(8+6√3)×6=24+18√3.23.【答案】解：(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得，{x+2y=2305x+3y=555，解得：{x=60y=85.答：购买一个足球需要60元，购买一个篮球需要85元.(2)设购买a个篮球，则购买(100−a)个足球，根据题意得：85a+60(100−a)≤7030，解得：a≤41.2，∵a是整数，∴最多可以购买41个篮球．【考点】一元一次不等式的实际应用由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得，{x+2y=2305x+3y=555，解得：{x=60y=85.答：购买一个足球需要60元，购买一个篮球需要85元.(2)设购买a个篮球，则购买(100−a)个足球，根据题意得：85a+60(100−a)≤7030，解得：a≤41.2，∵a是整数，∴最多可以购买41个篮球．24.【答案】解：(1)证明：如图(1)连接OC,∵DA是⊙O的切线，∴∠DAO=90∘，∵AE=CE，∴∠EOA=∠EOC，在△ODA和△ODC中，{OA=OC，∠EOA=∠EOC，OD=OD，∴△ODA≅△ODC，∴∠DCO=∠DAO=90∘，∴DC是⊙O的切线.(2)证明：如图(2)，连接OC,由(1)可得∠AOE =∠COE ，又∵∠B =12∠AOE,∠F =12∠COE ，∴∠B =∠F.∵OB =OE ，∴∠B =∠OEB ，∴∠F =∠OEG ，∵∠CGE 是△EGF 的外角，∴∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.(3)∵EF 是⊙O 的直径，∴∠ECF =90∘,∵EF =2√5,∴OA =OE =12EF =√5，设DE =m ，则AD =2m ，在Rt △DAO 中，OA 2+DA 2=OD 2,即(√5)2+(2m)2=(m+√5)2，解得m 1=0(舍去)，m 2=2√53，∴DA =4√53,∴DO =5√53，在Rt △ADO 中，tan ∠DOA =DAOA =43,cos ∠DOA =OADO =35，如图(2)，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △EOH 中，OH =OE ⋅cos ∠EOH =√5×35=3√55，∴EH =4√55,AH =AO −OH =√5−35√5=2√55，在Rt △EHA 中，EA 2=AH 2+EH 2，∴EA =2，∵AE =CE,∴EC =2.【考点】圆的综合题【解析】作辅助线，构造三角形，通过证明△ODA ≅△ODC ，来判断∠DCO =∠DAO =90∘，进而得出DC 是⊙O 的切线.通过圆周角定理以及等边三角形的性质，外角的性质推断出∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.设DE =m ，则AD =2m ，利用勾股定理，求出m,得出相关线段的长度，通过直角三角形中的角的三角函数来解得所求.【解答】解：(1)证明：如图(1)连接OC,∵DA 是⊙O 的切线，∴∠DAO =90∘，∵AE =CE ，∴∠EOA =∠EOC ，在△ODA 和△ODC 中，{OA =OC ，∠EOA =∠EOC ，OD =OD ，∴△ODA ≅△ODC ，∴∠DCO =∠DAO =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：如图(2)，连接OC,由(1)可得∠AOE =∠COE ，又∵∠B =12∠AOE,∠F =12∠COE ，∴∠B =∠F.∵OB =OE ，∴∠B =∠OEB ，∴∠F =∠OEG ，∵∠CGE 是△EGF 的外角，∴∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.(3)∵EF 是⊙O 的直径，∴∠ECF =90∘,∵EF =2√5,∴OA =OE =12EF =√5，设DE =m ，则AD =2m ，在Rt △DAO 中，OA 2+DA 2=OD 2,即(√5)2+(2m)2=(m+√5)2，解得m 1=0(舍去)，m 2=2√53，∴DA =4√53,∴DO =5√53，在Rt △ADO 中，tan ∠DOA =DAOA =43,cos ∠DOA =OADO =35，如图(2)，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △EOH 中，OH =OE ⋅cos ∠EOH =√5×35=3√55，∴EH =4√55,AH =AO −OH =√5−35√5=2√55，在Rt △EHA 中，EA 2=AH 2+EH 2，∴EA =2，∵AE=CE,∴EC=2.25.【答案】解：（1）∵OA=20米，AB=14米，∴OB=20−14=6（米）．∵BC//OP，∴△BCN∽△OPN，∴BCOP=BNON，即1.68=BN6+BN，解得BN=1.5（米）；（2）∵BN=1.5米，∴ON=6+1.5=7.5米，∴AN=20−7.5=12.5米．∵AD//OP，∴△AMD∽△OMP，∴AMOM=ADOP，即AM20+AM=1.68，解得AM=5（米），∴MN=AN+AM=12.5+5=17.5米．【考点】相似三角形的应用中心投影【解析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化；（2）先求出AN的长，再由△AMD∽△OMP求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵OA=20米，AB=14米，∴OB=20−14=6（米）．∵BC//OP，∴△BCN∽△OPN，∴BCOP=BNON，即1.68=BN6+BN，解得BN=1.5（米）；（2）∵BN=1.5米，∴ON=6+1.5=7.5米，∴AN=20−7.5=12.5米．∵AD//OP，∴△AMD∽△OMP，∴AMOM=ADOP，即AM20+AM=1.68，解得AM=5（米），∴MN=AN+AM=12.5+5=17.5米．26.【答案】【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2021年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分，每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里〕1．〔3分〕〔2021•娄底〕2021的相反数是〔〕A．B．2021 C．﹣2021 D．﹣2．〔3分〕〔2021•娄底〕一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是〔〕A．﹣3 B．2 C．0 D．13．〔3分〕〔2021•娄底〕随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万〞用科学记数法表示为〔〕A．×107B．×106C．21×105D．×1074．〔3分〕〔2021•娄底〕以下运算正确的选项是〔〕A．a2•a5=a10B．〔3a3〕2=6a6C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a+2〕〔a﹣3〕=a2﹣a﹣65．〔3分〕〔2021•娄底〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+k=0的根的情况是〔〕A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．〔3分〕〔2021•娄底〕不等式组的最小整数解是〔〕A．﹣1 B．0 C．1 D．27．〔3分〕〔2021•娄底〕如下图立体图形的俯视图是〔〕A． B． C．D．8．〔3分〕〔2021•娄底〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．〔3分〕〔2021•娄底〕将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为〔〕A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U〞形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，那么AB中水柱的长度约为〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，那么sinα﹣cosα=〔〕A．B．﹣C．D．﹣12．〔3分〕〔2021•娄底〕：[x]表示不超过x的最大整数．例：[]=3，[﹣]=﹣2．令关于k的函数f〔k〕=[]﹣[]〔k是正整数〕．例：f〔3〕=[]﹣[]=1．那么以下结论错误的选项是〔〕A．f〔1〕=0 B．f〔k+4〕=f〔k〕 C．f〔k+1〕≥f〔k〕D．f〔k〕=0或1二、填空题〔木大题共6小题，每题3分，总分值18分〕13．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，那么△POA的面积为．14．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．那么S1S2+S3．〔填“＜〞或“=〞或“＞〞〕15．〔3分〕〔2021•娄底〕从2021年高中一年级学生开场，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．假设他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，那么选修地理和生物的概率为．16．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB 于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，那么BF=cm．17．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，那么AE•BE=．18．〔3分〕〔2021•娄底〕设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数〔n是正整数〕．a1=1，4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，那么a2021=．三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕19．〔6分〕〔2021•娄底〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．〔6分〕〔2021•娄底〕先化简，再求值：〔+〕÷，其中x=．四、解答题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕21．〔8分〕〔2021•娄底〕为了获得贫工作的成功，某市对扶贫工作人员进展了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了局部人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完好统计图如图，请根据图中的信息，解答以下问题：〔1〕求样本容量；〔2〕补全条形图，并填空：n=；〔3〕假设全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．〔8分〕〔2021•娄底〕如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一程度面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题〔本大题共2小题，每题9分，共18分〕23．〔9分〕〔2021•娄底〕“绿水青山，就是金山银山〞．某旅游景区为了保护环境，需购置A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．每台A型设备日处理才能为12吨；每台B型设备日处理才能为15吨；购回的设备日处理才能不低于140吨．〔1〕请你为该景区设计购置A、B两种设备的方案；〔2〕每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，那么按9折优惠；问：采用〔1〕设计的哪种方案，使购置费用最少，为什么？24．〔9分〕〔2021•娄底〕如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题〔木本大题共2小题，每题10分，共20分〕25．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．〔1〕当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；〔2〕求证：BC2﹣CE2=CE•DE；〔3〕OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕，D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．〔1〕求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；〔2〕F〔x，y〕是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2021年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分，每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里〕1．〔3分〕〔2021•娄底〕2021的相反数是〔〕A．B．2021 C．﹣2021 D．﹣【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．应选：C．【点评】此题主要考察了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．〔3分〕〔2021•娄底〕一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是〔〕A．﹣3 B．2 C．0 D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，此题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，应选：B．【点评】此题主要考察众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．〔3分〕〔2021•娄底〕随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万〞用科学记数法表示为〔〕A．×107B．×106C．21×105D．×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：210万×106，应选：B．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．〔3分〕〔2021•娄底〕以下运算正确的选项是〔〕A．a2•a5=a10B．〔3a3〕2=6a6C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a+2〕〔a﹣3〕=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，应选：D．【点评】此题考察了整式的混合运算，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．5．〔3分〕〔2021•娄底〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+k=0的根的情况是〔〕A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【考点】AA：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=〔k+3〕2﹣4×k=〔k+1〕2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=〔k+3〕2﹣4×k=k2+2k+9=〔k+1〕2+8，∵〔k+1〕2≥0，∴〔k+1〕2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．应选：A．【点评】此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．〔3分〕〔2021•娄底〕不等式组的最小整数解是〔〕A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，那么不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，应选：B．【点评】此题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．7．〔3分〕〔2021•娄底〕如下图立体图形的俯视图是〔〕A． B． C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表如今俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，应选：B．【点评】此题考察了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表如今视图中．8．〔3分〕〔2021•娄底〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．应选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．〔3分〕〔2021•娄底〕将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为〔〕A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减〞，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2〔x﹣2〕﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，应选：A．【点评】此题考察了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规那么“左加右减，上加下减〞是解题的关键．10．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U〞形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，那么AB中水柱的长度约为〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．应选：C．【点评】此题考察了旋转的性质：对应点到旋转中心的间隔相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，那么sinα﹣cosα=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+〔7+AC〕2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12〔舍去〕，∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，应选：D．【点评】此题考察了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．〔3分〕〔2021•娄底〕：[x]表示不超过x的最大整数．例：[]=3，[﹣]=﹣2．令关于k的函数f〔k〕=[]﹣[]〔k是正整数〕．例：f〔3〕=[]﹣[]=1．那么以下结论错误的选项是〔〕A．f〔1〕=0 B．f〔k+4〕=f〔k〕 C．f〔k+1〕≥f〔k〕D．f〔k〕=0或1【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答此题．【解答】解：f〔1〕=[]﹣[]=0﹣0=0，应选项A正确；f〔k+4〕=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f〔k〕，应选项B正确；C、当k=3时，f〔3+1〕=[]﹣[]=1﹣1=0，而f〔3〕=1，应选项C错误；D、当k=3+4n〔n为自然数〕时，f〔k〕=1，当k为其它的正整数时，f〔k〕=0，所以D选项的结论正确；应选：C．【点评】此题考察解一元一次不等式组、函数值，解答此题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题〔木大题共6小题，每题3分，总分值18分〕13．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，那么△POA的面积为1．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考察了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．那么S1＜S2+S3．〔填“＜〞或“=〞或“＞〞〕【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考察了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．〔3分〕〔2021•娄底〕从2021年高中一年级学生开场，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．假设他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，那么选修地理和生物的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果， 所以选修地理和生物的概率为， 故答案为：．【点评】此题主要考察了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，合适于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3cm ，那么BF= 6 cm ．【考点】KH ：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL 证明Rt △ADB ≌Rt △ADC ，得出S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB ，又S △ABC =AC•BF ，将AC=AB 代入即可求出BF ．【解答】解：在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ADB ≌Rt △ADC ，∴S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB ，∵S △ABC =AC•BF ，∴AC•BF=3AB ，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】此题考察了全等三角形的断定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，那么AE•BE=1．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想方法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．〔3分〕〔2021•娄底〕设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数〔n是正整数〕．a1=1，4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，那么a2021=4035．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，可得〔a n+1﹣1〕2=〔a n﹣1〕2+4a n=〔a n+1〕2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n=a n+2，根据a1=1，分别求出+1a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2021=4035．【解答】解：∵4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，﹣1〕2=〔a n﹣1〕2+4a n=〔a n+1〕2，∴〔a n+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1∴a n=a n+2，+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2021=4035．故答案为4035．【点评】此题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的=a n+2．规律，并应用发现的规律解决问题．解决此题的难点在于得出式子a n+1三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕19．〔6分〕〔2021•娄底〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答此题．【解答】解：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】此题考察实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法．20．〔6分〕〔2021•娄底〕先化简，再求值：〔+〕÷，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考察了分式的化简求值，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．四、解答题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕21．〔8分〕〔2021•娄底〕为了获得贫工作的成功，某市对扶贫工作人员进展了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了局部人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完好统计图如图，请根据图中的信息，解答以下问题：〔1〕求样本容量；〔2〕补全条形图，并填空：n=10；〔3〕假设全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】〔1〕用B等级人数除以其所占百分比可得；〔2〕总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；〔3〕总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：〔1〕样本容量为18÷30%=60；〔2〕C等级人数为60﹣〔24+18+6〕=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；〔3〕估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】此题考察的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．22．〔8分〕〔2021•娄底〕如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一程度面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．【解答】解：作EH⊥AC于H，那么四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，那么AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】此题考察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题〔本大题共2小题，每题9分，共18分〕23．〔9分〕〔2021•娄底〕“绿水青山，就是金山银山〞．某旅游景区为了保护环境，需购置A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．每台A型设备日处理才能为12吨；每台B型设备日处理才能为15吨；购回的设备日处理才能不低于140吨．〔1〕请你为该景区设计购置A、B两种设备的方案；〔2〕每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，那么按9折优惠；问：采用〔1〕设计的哪种方案，使购置费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据购回的设备日处理才能不低于140吨列出不等式12x+15〔10﹣x〕≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；〔2〕分别求出各方案实际购置费用，比拟即可求解．【解答】解：〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据题意，得12x+15〔10﹣x〕≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购置A种设备1台，B种设备9台；方案二：购置A种设备2台，B种设备8台；方案三：购置A种设备3台，B种设备7台；〔2〕各方案购置费用分别为：方案一：3×1+×＞40，实际付款：×〔万元〕；方案二：3×2+×＞40，实际付款：×〔万元〕；方案三：3×3+×＜40，实际付款：〔万元〕；∵＜＜，∴采用〔1〕设计的第二种方案，使购置费用最少．【点评】此题考察了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到适宜的不等关系是解决问题的关键．24．〔9分〕〔2021•娄底〕如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的断定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；〔2〕结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】〔1〕证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．〔2〕解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考察全等三角形的断定和性质、平行四边形的断定和性质、菱形的断定等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题〔木本大题共2小题，每题10分，共20分〕25．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．〔1〕当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；〔2〕求证：BC2﹣CE2=CE•DE；〔3〕OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】〔1〕由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；〔2〕连接OC，设圆的半径为r，那么OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；〔3〕先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：〔1〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；〔2〕∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，那么OA=OB=OC=r，那么DE•CE=AE•BE=〔OA﹣OE〕〔OB+OE〕=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，那么BC2﹣CE2=2r2﹣〔OE2+r2〕=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；〔3〕∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，那么CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴〔4〕2﹣〔2〕2=DE•2，解得：DE=．【点评】此题主要考察圆的综合问题，解题的关键是纯熟掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的断定与性质、勾股定理等知识点．26．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕，D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．〔1〕求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；〔2〕F〔x，y〕是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】〔1〕根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；〔2〕①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；的面积公式可得出S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，那么∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：〔1〕将A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕．〔2〕①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n〔m≠0〕，将〔3，0〕、〔1，4〕代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为〔x，﹣x2+2x+3〕，∴点M的坐标为〔x，﹣2x+6〕，∴FM=﹣x2+2x+3﹣〔﹣2x+6〕=﹣x2+4x﹣3，=FM•〔y B﹣y D〕=﹣x2+4x﹣3=﹣〔x﹣2〕2+1．∴S△BDF∵﹣1＜0，取最大值，最大值为1．∴当x=2时，S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，∴点E的坐标为〔1，0〕．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E〔1，0〕代入y=﹣2x+b1，。

2022年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是()A ．2022B ．2022-C ．12022D ．12022-【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C ．2．（3分）下列式子正确的是()A ．325a a a ⋅=B ．235()a a =C ．22()ab ab =D ．325a a a +=【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、325a a a ⋅=，故A 符合题意；B 、236()a a =，故B 不符合题意；C 、222()ab a b =，故C 不符合题意；D 、3a 与2a 不能合并，故D 不符合题意；故选：A ．3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是()A ．10B ．8C ．7D ．6【分析】根据众数的意义求出众数即可．【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，故选：B ．4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为()A ．105010⨯B ．11510⨯C ．120.510⨯D ．12510⨯【分析】根据5000亿500000000000=，再用科学记数法表示即可．【解答】解：5000 亿11500000000000510==⨯，故选：B ．6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2(∠=)A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．【解答】解：如图，由平行线的性质得：3180∠=∠=︒，23180∠+∠=︒ ，218080100∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．7．（3分）不等式组3122x x -⎧⎨>-⎩的解集在数轴上表示正确的是()A ．B ．C ．D ．【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．【解答】解：3122x x -⎧⎨>-⎩①②，解①，得2x ，解②，得1x >-．所以原不等式组的解集为：12x -<．故符合条件的选项是C ．故选：C ．8．（3分）将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于()A ．向左平移2个单位B ．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位【分析】根据直线y kx b=+平移k值不变，只有b发生改变解答即可．【解答】解：将直线21y x=++，即=+向上平移2个单位后得到新直线解析式为：212y x=+．23y x由于232(1)1y x x=+=++，所以将直线21=+．y xy x=+向左平移1个单位即可得到直线23所以将直线21=+向左平移1个单位．y xy x=+向上平移2个单位，相当于将直线21故选：B．9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了()A．1335天B．516天C．435天D．54天【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5，37⨯，⨯⨯⨯，然后把它们相加即可．⨯⨯和1777377【解答】解：孩子自出生后的天数是：⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+1777377375=+++343147215=，516答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．10．（3分）如图，等边ABC∆内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边ABC∆的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与ABC∆的面积之比是()A ．318B ．318C ．39D ．39【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与ABC ∆的面积之比．【解答】解：作AD BC ⊥于点D ，作BE AC ⊥于点E ，AD 和BE 交于点O ，如图所示，设2AB a =，则BD a =，90ADB ∠=︒，AD ∴==，1333OD AD ∴==，∴圆中的黑色部分的面积与ABC ∆21)2π⨯⨯=故选：A．11．（3分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有()①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB ∆为等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P 、Q 点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP 、OQ 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．【解答】解： 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，则11m m m ⋅=⋅=，∴点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上，故①正确；设直线PQ 为y kx b =+，则1mk b k b m +=⎧⎨+=⎩，解得11k b m =-⎧⎨=+⎩，∴直线PQ 为1y x m =-++，当0y =时，1x m =+；当0x =时，1y m =+，(1,0)A m ∴+，(0,1)B m +，OA OB ∴=，90AOB ∠=︒ ，AOB ∴∆为等腰直角三角形，故②正确； 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，P ∴、Q 都在第一象限，090POQ ∴︒<∠<︒，故③正确； 直线OP 为1y x m=，直线OQ 为y mx =，∴当01m <<时，POQ ∠的值随m 的增大而减小，当1m >时，POQ ∠的值随m 的增大而增大，故④错误；故选：D ．12．（3分）若10x N =，则称x 是以10为底N 的对数．记作：x lgN =．例如：210100=，则2100lg =；0101=，则01lg =．对数运算满足：当0M >，0N >时，()lgM lgN lg MN +=．例如：3515lg lg lg +=，则2(5)522lg lg lg lg +⨯+的值为()A ．5B ．2C ．1D ．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式5(52)2lg lg lg lg =++5(52)2lg lg lg =⨯⨯+5102lg lg lg =+52lg lg =+10lg =1=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y =的自变量x 的取值范围是1x >．【分析】0)a ，以及分母不能为0，可得10x ->，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：10x ->，解得：1x >，故答案为：1x >．14．（3分）已知实数1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =1-．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解： 方程210x x +-=中的1a b ==，1c =-，121cx x a∴==-．故答案是：1-．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是715．【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．【解答】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是715，故答案为：715．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即0.618DE AD ≈．延长HF 与AD 相交于点G ，则EG ≈0.618DE ．（精确到0.001)【分析】根据黄金分割的定义可得0.618DE AEAD DE=≈，再根据题意可得EG AE =，即可解答．【解答】解： 点E 是AD 的黄金分割点，且0.618DE AD ≈，∴0.618DE AEAD DE=≈，由题意得：EG AE =，∴0.618EGDE≈，0.618EG DE ∴≈，故答案为：0.618．17．（3分）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为【分析】连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，利用SAS 证明ABQ CBQ ∆≅∆，得AQ CQ =，当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，再求出AH 的长即可．【解答】解：连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，四边形ABCD 是菱形，AB CB ∴=，ABQ CBQ ∠=∠，BQ BQ = ，()ABQ CBQ SAS ∴∆≅∆，AQ CQ ∴=，∴当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，2AB = ，45ABC ∠=︒，AH ∴=CQ PQ ∴+，．18．（3分）如图，已知等腰ABC ∆的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D '处，连接BD '．给出下列结论：①ACD ABD ∆≅∆'；②ACB ADD ∆∆'∽；③当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【分析】由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，即可根据SAS 判断ACD ABD ∆≅∆'；根据BAC D AD θ∠=∠'=，AC ABAD AD ='，即可判断ACB ADD ∆∆'∽；由ACB ADD ∆∆'∽，得出2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD CD =，则AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．【解答】解：由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，ACD ABD ∴∆≅∆'，故①正确；AC AB = ，AD AD ='，BAC D AD θ∠=∠'=，∴AC ABAD AD ='，ACB ADD ∴∆∆'∽，故②正确；ACB ADD ∆∆' ∽，∴2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=， 当AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．而AB AC =，BD CD ∴=，∴当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：011(2022)()|12sin 602π--++-︒．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解答】解：原式12122=++-⨯121=++2=．20．（6分）先化简，再求值：324(2)244xxx x x++÷--+，其中x是满足条件2x的合适的非负整数．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式23244()22(2) x xx x x-=+÷---223(2)2x xx x-=⋅-2xx-=，x≠且20x-≠，x∴≠且2x≠，1x∴=，则原式1211-==-．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(:10A h以上，:8~10B h h，:6~8C h h，:6D h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共200名；（2）a=，b=；（3）补全条形统计图．【分析】（1）根据D类人数以及所占的百分比即可求解；（2）根据总数以及A类、B类的人数即可求解；（3）根据C类所占的百分比，求出C类人数，即可补全条形统计图．【解答】解：（1）本次调查的学生共：105%200÷=（名)，故答案为：200；（2）6010030200a=⨯=，10010050200b=⨯=，故答案为：30，50；（3）C类人数为20015%30⨯=，补全条形统计图如图：22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm ，即3PQ cm =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4PB cm =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120PBC ∠=︒，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k =⋅△x ，k 是劲度系数，△x 是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则△0x x x =-．【分析】由题意可以先求出k 的值，然后即可求出PC 的长，再根据勾股定理即可得到PA 和AB 的长，由图可知：BC AC AB =-，代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，03x cm =，100(43)k =-，解得100k =，100F ∴=△x ，当300F =时，300100(3)PC =⨯-，解得6PC cm =，由图可得，90PAB ∠=︒，120PBC ∠=︒，30APB ∴∠=︒，4PB cm = ，2AB cm ∴=，)PA cm ==，5PC cm = ，)AC cm ∴==，2)BC AC AB cm ∴=-=，即BC 的长是2)cm ．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由（1）的结果列式计算即可．【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意得：6224x y x y +=⎧⎨=-⎩，解得：4022x y =⎧⎨=⎩，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg ；（2）50000402000000()2mg kg ⨯==，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．24．（9分）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设G θ∠=．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值．（2）当90θ=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【分析】（1）证明四边形DEGF 是平行四边形，可得结论；（2）当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．证明//OJ AC ，可得结论．【解答】（1）证明： 四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，//CF BG ∴，//CD BE ，CB CF CD BG BE ====，D ，C ，F 共线，G ∴，B ，E 共线，//DF EG ∴，DF GE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，EF ∴与BC 互相平分．当EF FG ⊥时，GF BG BE == ，2EG GF ∴=，30GEF ∴∠=︒，903060θ∴=︒-︒=︒；（2）解：当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．四边形BCFG是菱形，90G FCO∴∠=∠=︒，EF与BC互相平分，OC OB∴=，CF BC∴=，2FC OC∴=，tan tanFOC ABC∴∠=∠，ABC FOC∴∠=∠，//OJ AB∴，OC OB=，CJ AJ∴=，BC是直径，90BAC OJC∴∠=∠=︒，EF∴垂直平分线段AC．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt ABC∆的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与O的位置关系，为什么？（2）若3BC=，32 CD=，①求sin DBC∠、sin ABC∠的值；②试用sin DBC∠和cos DBC∠表示sin ABC∠，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用30α=︒给予验证．∠=∠=︒，再根据圆的切线的判定定ODA COD BC，则90理证明AC是O的切线；（2）①根据三角函数定义可得结论；②计算cos DBC∠⋅∠的值，可得结论：DBC DBC∠的值，并计算2sin cosα=︒可得结论．ABC DBC DBCsin2sin cos∠=∠⋅∠；并用30【解答】解：（1）AC是O切线，理由如下：如图，连接OD，，=OD OBODB OBD∴∠=∠，BD是ABC∆的角平分线，OBD DBC∴∠=∠，∴∠=∠，ODB DBC∴，//OD BC90∴∠=∠=︒，ODA C⊥，OD是O的半径，且AC ODAC ∴是O 的切线；（2）①在Rt DBC ∆中，3BC = ，32CD =，BD ∴===32sin 352CD DBC BD ∴∠===如图2，连接DE ，OD ，过点O 作OG BC ⊥于G，90ODC C CGO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，32OG CD ∴==，BE 是O 的切线，90BDE ∴∠=︒，cos cos DBE CBD ∴∠=∠，∴BC BD BD BE=，∴2BE =，154BE ∴=，11528OB BE ∴==，342sin 1558OG ABC OB ∴∠===；②542sin cos 255352DBC DBC ∠⋅∠=⨯ ，sin 2sin cos ABC DBC DBC ∴∠=∠⋅∠；猜想：sin 22sin cos ααα=，理由如下：当30α=︒时，3sin 2sin 602α=︒=，1332sin cos 2222αα=⨯⨯=，sin 22sin cos ααα∴=．26．（10分）如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点(P m ，)(06)n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC ∆的面积最大？并求出PBC ∆面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作//FE AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将0x =及0y =代入抛物线21262y x x =--的解析式，进而求得结果；（2）连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，分别表示出POC S ∆，BOP S ∆，计算出BOC S ∆，根据PBC BOC PBOC S S S ∆∆=-四边形，从而得出PBC ∆的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE 和ACEF 的情形．当ACFE 时，点F 和点C 关于抛物线对称轴对称，从而得出F 点坐标；当ACED 时，可推出点F 的纵坐标为6，进一步求得结果．【解答】解：（1）当0x =时，6y =-，(0,6)C ∴-，当0y =时，212602x x --=，16x ∴=，22x =-，(2,0)A ∴-，(6,0)B ；（2）方法一：如图1，连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，116322POC P S OC x m m ∆∴=⋅=⨯⋅=，211||3(26)22BOP P S OB y m m ∆=⋅=-++，11661822BOC S OB OC ∆=⋅=⨯⨯= ，PBC BOCPBOC S S S ∆∆∴=-四边形()POC POB BOCS S S ∆∆∆=+-2133(26)182m m m =+-++-2327(3)22m =--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；方法二：如图2，作PQ AB ⊥于Q ，交BC 于点D ，(6,0)B ，(0,6)C -，∴直线BC 的解析式为：6y x =-，(,6)D m m ∴-，2211(6)(26)322PD m m m m m ∴=----=-+，221113276(3)(3)22222PBC S PD OB m m m ∆∴=⋅=⨯⋅-+=--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；（3）如图3，当ACFE 时，//AE CF ， 抛物线对称轴为直线：2622x -+==，1F ∴点的坐标：(4,6)-，如图4，当ACEF 时，作FG AE ⊥于G ，6FG OC ∴==，当6y =时，212662x x --=，12x ∴=+，22x =-2(2F ∴+，6)，3(2F -，6)，综上所述：(4,6)F -或(2+，6)或(2-，6)．。

2021年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分，每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里〕1．〔3分〕〔2021•娄底〕2021的相反数是〔〕A．B．2021 C．﹣2021 D．﹣2．〔3分〕〔2021•娄底〕一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是〔〕A．﹣3 B．2 C．0 D．13．〔3分〕〔2021•娄底〕随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万〞用科学记数法表示为〔〕A．×107B．×106C．21×105D．×1074．〔3分〕〔2021•娄底〕以下运算正确的选项是〔〕A．a2•a5=a10B．〔3a3〕2=6a6C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a+2〕〔a﹣3〕=a2﹣a﹣65．〔3分〕〔2021•娄底〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+k=0的根的情况是〔〕A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．〔3分〕〔2021•娄底〕不等式组的最小整数解是〔〕A．﹣1 B．0 C．1 D．27．〔3分〕〔2021•娄底〕如下图立体图形的俯视图是〔〕A． B． C．D．8．〔3分〕〔2021•娄底〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．〔3分〕〔2021•娄底〕将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为〔〕A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U〞形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，那么AB中水柱的长度约为〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，那么sinα﹣cosα=〔〕A．B．﹣C．D．﹣12．〔3分〕〔2021•娄底〕：[x]表示不超过x的最大整数．例：[]=3，[﹣]=﹣2．令关于k的函数f〔k〕=[]﹣[]〔k是正整数〕．例：f〔3〕=[]﹣[]=1．那么以下结论错误的选项是〔〕A．f〔1〕=0 B．f〔k+4〕=f〔k〕 C．f〔k+1〕≥f〔k〕D．f〔k〕=0或1二、填空题〔木大题共6小题，每题3分，总分值18分〕13．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，那么△POA的面积为．14．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．那么S1S2+S3．〔填“＜〞或“=〞或“＞〞〕15．〔3分〕〔2021•娄底〕从2021年高中一年级学生开场，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．假设他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，那么选修地理和生物的概率为．16．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB 于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，那么BF=cm．17．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，那么AE•BE=．18．〔3分〕〔2021•娄底〕设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数〔n是正整数〕．a1=1，4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，那么a2021=．三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕19．〔6分〕〔2021•娄底〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．〔6分〕〔2021•娄底〕先化简，再求值：〔+〕÷，其中x=．四、解答题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕21．〔8分〕〔2021•娄底〕为了获得贫工作的成功，某市对扶贫工作人员进展了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了局部人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完好统计图如图，请根据图中的信息，解答以下问题：〔1〕求样本容量；〔2〕补全条形图，并填空：n=；〔3〕假设全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．〔8分〕〔2021•娄底〕如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一程度面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题〔本大题共2小题，每题9分，共18分〕23．〔9分〕〔2021•娄底〕“绿水青山，就是金山银山〞．某旅游景区为了保护环境，需购置A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．每台A型设备日处理才能为12吨；每台B型设备日处理才能为15吨；购回的设备日处理才能不低于140吨．〔1〕请你为该景区设计购置A、B两种设备的方案；〔2〕每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，那么按9折优惠；问：采用〔1〕设计的哪种方案，使购置费用最少，为什么？24．〔9分〕〔2021•娄底〕如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题〔木本大题共2小题，每题10分，共20分〕25．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．〔1〕当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；〔2〕求证：BC2﹣CE2=CE•DE；〔3〕OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕，D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．〔1〕求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；〔2〕F〔x，y〕是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2021年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分，每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里〕1．〔3分〕〔2021•娄底〕2021的相反数是〔〕A．B．2021 C．﹣2021 D．﹣【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．应选：C．【点评】此题主要考察了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．〔3分〕〔2021•娄底〕一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是〔〕A．﹣3 B．2 C．0 D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，此题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，应选：B．【点评】此题主要考察众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．〔3分〕〔2021•娄底〕随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万〞用科学记数法表示为〔〕A．×107B．×106C．21×105D．×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：210万×106，应选：B．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．〔3分〕〔2021•娄底〕以下运算正确的选项是〔〕A．a2•a5=a10B．〔3a3〕2=6a6C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a+2〕〔a﹣3〕=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，应选：D．【点评】此题考察了整式的混合运算，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．5．〔3分〕〔2021•娄底〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+k=0的根的情况是〔〕A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【考点】AA：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=〔k+3〕2﹣4×k=〔k+1〕2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=〔k+3〕2﹣4×k=k2+2k+9=〔k+1〕2+8，∵〔k+1〕2≥0，∴〔k+1〕2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．应选：A．【点评】此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．〔3分〕〔2021•娄底〕不等式组的最小整数解是〔〕A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，那么不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，应选：B．【点评】此题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．7．〔3分〕〔2021•娄底〕如下图立体图形的俯视图是〔〕A． B． C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表如今俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，应选：B．【点评】此题考察了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表如今视图中．8．〔3分〕〔2021•娄底〕函数y=中自变量x的取值范围是〔〕A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．应选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．〔3分〕〔2021•娄底〕将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为〔〕A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减〞，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2〔x﹣2〕﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，应选：A．【点评】此题考察了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规那么“左加右减，上加下减〞是解题的关键．10．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U〞形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，那么AB中水柱的长度约为〔〕A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．应选：C．【点评】此题考察了旋转的性质：对应点到旋转中心的间隔相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，那么sinα﹣cosα=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+〔7+AC〕2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12〔舍去〕，∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，应选：D．【点评】此题考察了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．〔3分〕〔2021•娄底〕：[x]表示不超过x的最大整数．例：[]=3，[﹣]=﹣2．令关于k的函数f〔k〕=[]﹣[]〔k是正整数〕．例：f〔3〕=[]﹣[]=1．那么以下结论错误的选项是〔〕A．f〔1〕=0 B．f〔k+4〕=f〔k〕 C．f〔k+1〕≥f〔k〕D．f〔k〕=0或1【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答此题．【解答】解：f〔1〕=[]﹣[]=0﹣0=0，应选项A正确；f〔k+4〕=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f〔k〕，应选项B正确；C、当k=3时，f〔3+1〕=[]﹣[]=1﹣1=0，而f〔3〕=1，应选项C错误；D、当k=3+4n〔n为自然数〕时，f〔k〕=1，当k为其它的正整数时，f〔k〕=0，所以D选项的结论正确；应选：C．【点评】此题考察解一元一次不等式组、函数值，解答此题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题〔木大题共6小题，每题3分，总分值18分〕13．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，那么△POA的面积为1．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考察了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．那么S1＜S2+S3．〔填“＜〞或“=〞或“＞〞〕【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考察了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．〔3分〕〔2021•娄底〕从2021年高中一年级学生开场，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．假设他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，那么选修地理和生物的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果， 所以选修地理和生物的概率为， 故答案为：．【点评】此题主要考察了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，合适于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3cm ，那么BF= 6 cm ．【考点】KH ：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL 证明Rt △ADB ≌Rt △ADC ，得出S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB ，又S △ABC =AC•BF ，将AC=AB 代入即可求出BF ．【解答】解：在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ADB ≌Rt △ADC ，∴S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB ，∵S △ABC =AC•BF ，∴AC•BF=3AB ，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】此题考察了全等三角形的断定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．〔3分〕〔2021•娄底〕如图，半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，那么AE•BE=1．【考点】S9：相似三角形的断定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想方法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．〔3分〕〔2021•娄底〕设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数〔n是正整数〕．a1=1，4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，那么a2021=4035．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，可得〔a n+1﹣1〕2=〔a n﹣1〕2+4a n=〔a n+1〕2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n=a n+2，根据a1=1，分别求出+1a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2021=4035．【解答】解：∵4a n=〔a n+1﹣1〕2﹣〔a n﹣1〕2，﹣1〕2=〔a n﹣1〕2+4a n=〔a n+1〕2，∴〔a n+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1∴a n=a n+2，+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2021=4035．故答案为4035．【点评】此题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的=a n+2．规律，并应用发现的规律解决问题．解决此题的难点在于得出式子a n+1三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕19．〔6分〕〔2021•娄底〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答此题．【解答】解：〔π﹣〕0+〔〕﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】此题考察实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法．20．〔6分〕〔2021•娄底〕先化简，再求值：〔+〕÷，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考察了分式的化简求值，纯熟掌握运算法那么是解此题的关键．四、解答题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕21．〔8分〕〔2021•娄底〕为了获得贫工作的成功，某市对扶贫工作人员进展了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了局部人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完好统计图如图，请根据图中的信息，解答以下问题：〔1〕求样本容量；〔2〕补全条形图，并填空：n=10；〔3〕假设全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】〔1〕用B等级人数除以其所占百分比可得；〔2〕总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；〔3〕总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：〔1〕样本容量为18÷30%=60；〔2〕C等级人数为60﹣〔24+18+6〕=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；〔3〕估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】此题考察的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．22．〔8分〕〔2021•娄底〕如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一程度面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．【解答】解：作EH⊥AC于H，那么四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，那么AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】此题考察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题〔本大题共2小题，每题9分，共18分〕23．〔9分〕〔2021•娄底〕“绿水青山，就是金山银山〞．某旅游景区为了保护环境，需购置A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．每台A型设备日处理才能为12吨；每台B型设备日处理才能为15吨；购回的设备日处理才能不低于140吨．〔1〕请你为该景区设计购置A、B两种设备的方案；〔2〕每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，那么按9折优惠；问：采用〔1〕设计的哪种方案，使购置费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据购回的设备日处理才能不低于140吨列出不等式12x+15〔10﹣x〕≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；〔2〕分别求出各方案实际购置费用，比拟即可求解．【解答】解：〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据题意，得12x+15〔10﹣x〕≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购置A种设备1台，B种设备9台；方案二：购置A种设备2台，B种设备8台；方案三：购置A种设备3台，B种设备7台；〔2〕各方案购置费用分别为：方案一：3×1+×＞40，实际付款：×〔万元〕；方案二：3×2+×＞40，实际付款：×〔万元〕；方案三：3×3+×＜40，实际付款：〔万元〕；∵＜＜，∴采用〔1〕设计的第二种方案，使购置费用最少．【点评】此题考察了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到适宜的不等关系是解决问题的关键．24．〔9分〕〔2021•娄底〕如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的断定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；〔2〕结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】〔1〕证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．〔2〕解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考察全等三角形的断定和性质、平行四边形的断定和性质、菱形的断定等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题〔木本大题共2小题，每题10分，共20分〕25．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．〔1〕当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；〔2〕求证：BC2﹣CE2=CE•DE；〔3〕OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】〔1〕由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；〔2〕连接OC，设圆的半径为r，那么OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；〔3〕先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：〔1〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；〔2〕∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，那么OA=OB=OC=r，那么DE•CE=AE•BE=〔OA﹣OE〕〔OB+OE〕=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，那么BC2﹣CE2=2r2﹣〔OE2+r2〕=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；〔3〕∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，那么CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴〔4〕2﹣〔2〕2=DE•2，解得：DE=．【点评】此题主要考察圆的综合问题，解题的关键是纯熟掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的断定与性质、勾股定理等知识点．26．〔10分〕〔2021•娄底〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕，D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．〔1〕求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；〔2〕F〔x，y〕是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】〔1〕根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；〔2〕①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；的面积公式可得出S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，那么∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：〔1〕将A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕．〔2〕①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n〔m≠0〕，将〔3，0〕、〔1，4〕代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为〔x，﹣x2+2x+3〕，∴点M的坐标为〔x，﹣2x+6〕，∴FM=﹣x2+2x+3﹣〔﹣2x+6〕=﹣x2+4x﹣3，=FM•〔y B﹣y D〕=﹣x2+4x﹣3=﹣〔x﹣2〕2+1．∴S△BDF∵﹣1＜0，取最大值，最大值为1．∴当x=2时，S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，∴点E的坐标为〔1，0〕．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E〔1，0〕代入y=﹣2x+b1，。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（ ）A ．12018B ．2018C ．﹣2018D ．﹣120182．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（ ）A ．﹣3B ．2C ．0D ．13．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．0.21×107B ．2.1×106C ．21×105D ．2.1×1074．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 5=a 10B ．（3a 3）2=6a 6C ．（a +b ）2=a 2+b 2D ．（a +2）（a ﹣3）=a 2﹣a ﹣65．（3分）（2018•娄底）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +k=0的根的情况是（ ）A ．有两不相等实数根B ．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定6．（3分）（2018•娄底）不等式组{2−x ≥x −23x −1＞−4的最小整数解是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．27．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D．8．（3分）（2018•娄底）函数y=√x−2x−3中自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠3D．x≠39．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4B．y=2x+4C．y=2x+2D．y=2x﹣210．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6√3cm C．8cm D．12cm11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．513B．﹣513C．713D．﹣71312．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[k+14]﹣[k4]（k是正整数）．例：f（3）=[3+14]﹣[34]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0B．f（k+4）=f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB 于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC 都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）（2018•娄底）设a 1，a 2，a 3……是一列正整数，其中a 1表示第一个数，a 2表示第二个数，依此类推，a n 表示第n 个数（n 是正整数）．已知a 1=1，4a n =（a n +1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2，则a 2018= ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°． 20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（1x+1+1x −1）÷x x +2x+1，其中x=√2．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A 、B 、C 、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n= ；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A 级的人数为多少？22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，sinα=2425，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，求发射塔AB 的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AĈ=BĈ，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A．12018B．2018C．﹣2018D．﹣12018【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3B．2C．0D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定【考点】AA ：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=（k +3）2﹣4×k=（k +1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k +3）2﹣4×k=k 2+2k +9=（k +1）2+8，∵（k +1）2≥0，∴（k +1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2018•娄底）不等式组{2−x ≥x −23x −1＞−4的最小整数解是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【考点】CC ：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x ≥x ﹣2，得：x ≤2，解不等式3x ﹣1＞﹣4，得：x ＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B ． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）（2018•娄底）函数y=√x−2x−3中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ≥2且x ≠3 D ．x ≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意得：{x −2≥0x −3≠0， 解得：x ≥2且x ≠3．故选：C ．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4B．y=2x+4C．y=2x+2D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6√3cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．513B．﹣513C．713D．﹣713【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC=√AB 2−AC 2=12，∴sinα=AC AB =513，cosα=BC AB =1213， ∴sinα﹣cosα=513﹣1213=﹣713， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）（2018•娄底）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k 的函数f （k ）=[k+14]﹣[k 4]（k 是正整数）．例：f （3）=[3+14]﹣[34]=1．则下列结论错误的是（ ） A ．f （1）=0 B ．f （k +4）=f （k ） C ．f （k +1）≥f （k ） D ．f （k ）=0或1【考点】CB ：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f （1）=[1+14]﹣[14]=0﹣0=0，故选项A 正确； f （k +4）=[k+4+14]﹣[k+44]=[k+14+1]﹣[k 4+1]=[k+14]﹣[k 4]=f （k ），故选项B 正确；C 、当k=3时，f （3+1）=[4+14]﹣[44]=1﹣1=0，而f （3）=1，故选项C 错误； D 、当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，所以D 选项的结论正确；故选：C ．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：12AO•PA=12xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=12AB•PD，S2=12BC•PF，S3=12AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为16．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为16， 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3cm ，则BF= 6 cm ．【考点】KH ：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL 证明Rt △ADB ≌Rt △ADC ，得出S △ABC =2S △ABD =2×12AB•DE=AB•DE=3AB ，又S △ABC =12AC•BF ，将AC=AB 代入即可求出BF ． 【解答】解：在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，{AB =AC AD =AD， ∴Rt △ADB ≌Rt △ADC ，∴S △ABC =2S △ABD =2×12AB•DE=AB•DE=3AB ， ∵S △ABC =12AC•BF ， ∴12AC•BF=3AB ，∵AC=AB ，∴12BF=3， ∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，半径OC=1，则AE•BE= 1 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC ：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△AEO ∽△OEB ，可得AE OE =OE BE，推出AE•BE=OE 2=1． 【解答】解：如图连接OE ．∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ， ∴OE ⊥AB ，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∠OAD=∠OAE ，∠OBC=∠OBE ，∴AD ∥BC ，∴∠DAB +∠ABC=180°，∴∠OAB +∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE +∠AOE=90°，∠AOE +∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB ，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AEOE =OE BE，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=4035．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n+1=a n+2，根据a1=1，分别求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，∴（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∵a1，a2，a3……是一列正整数，∴a n+1﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1=a n+2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°=1+9﹣2√3+4×√3 2=1+9﹣2√3+2√3=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（1x+1+1x2−1）÷xx2+2x+1，其中x=√2．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x−1+1(x+1)(x−1)•(x+1)2x=x+1x−1，当x=√2时，原式=√2+1√2−1=3+2√2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=660×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A 级的人数为5000×2460=2000人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，sinα=2425，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，求发射塔AB 的高度．【考点】TA ：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH ⊥AC 于H ，设AC=24x ，根据正弦的定义求出AD ，根据勾股定理求出CD ，根据题意列出方程求出x ，结合图形计算即可．【解答】解：作EH ⊥AC 于H ，则四边形EDCH 为矩形，∴EH=CD ，设AC=24x ，在Rt △ADC 中，sinα=2425， ∴AD=25x ，由勾股定理得，CD=√AD2−AC2=7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤31 3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCO OA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AĈ=BĈ，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由AĈ=BĈ知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4√2、CE=2√5，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DE BE =AE CE，即DE•CE=AE•BE ， 如图，连接OC ，设圆的半径为r ，则OA=OB=OC=r ，则DE•CE=AE•BE=（OA ﹣OE ）（OB +OE ）=r 2﹣OE 2，∵AĈ=BC ̂， ∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE 2=OE 2+OC 2=OE 2+r 2，BC 2=BO 2+CO 2=2r 2，则BC 2﹣CE 2=2r 2﹣（OE 2+r 2）=r 2﹣OE 2，∴BC 2﹣CE 2=DE•CE ；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC=√OB 2+OC 2=4√2，又∵E 是半径OA 的中点，∴AE=OE=2，则CE=√OC 2+OE 2=√42+22=2√5，∵BC 2﹣CE 2=DE•CE ，∴（4√2）2﹣（2√5）2=DE•2√5，解得：DE=6√55． 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN ∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，{a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得：{a=−1b=2c=3，。

2022娄底中考数学【一】:湖南省娄底市2022年中考数学试卷(解析版)2022年湖南省娄底市中考数学试卷参考与试题解析一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．2022的相反数是（）A．2022B．﹣2022C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．【解答】解：2022的相反数是﹣2022，故选：B．2．已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）A．MB．NC．PD．Q【考点】绝对值；数轴．【分析】根据各点到原点的距离进行判断即可．【解答】解：∵点Q到原点的距离最远，∴点Q的绝对值最大．故选：D．3．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．5a﹣2a=3a2C．（a3）4=a12D．（+y）2=2+y2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出．【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、5a﹣2a=3a，故此选项错误；C、（a3）4=a12，正确；D、（+y）2=2+y2+2y，故此选项错误；故选：C．4．下列命题中，错误的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．内错角相等【考点】命题与定理．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法即可判断A、B、C正确．【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．D、内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．故选D．5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出都为矩形的几何体．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．故选：B．6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣40°=50°．故选C．7．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数．故选：B．8．函数y=的自变量取值范围是（）A．≥0且≠2B．≥0C．≠2D．＞2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，≥0且﹣2≠0，解得≥0且≠2．故选A．9．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．CnH2n+2B．CnH2nC．CnH2n﹣2D．CnHn+3【考点】规律型：数字的变化类．【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题．【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察，发现规律：a1=4=21+2，a2=6=22+2，a3=8=23+2，…，∴an=2n+2．∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．故选A．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•coα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，∴CF=DC•coα，BE=DB•coα，∴BE+CF=（DB+DC）coα=BC•coα，2022娄底中考数学。

娄底市中考数学试题及答案第一节选择题1.已知a = 2, b = 3，则a²b + 3a + b的值为多少？A. 24B. 27C. 36D. 39解析：代入a和b的值，得到2²×3+3×2+3=36+6+3=45，所以选D. 39。

2.∠AOC是直角，则△BOC的外角∠BOC等于多少？A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°解析：△BOC的外角等于180°减去∠BOC的度数，即180°-90°=90°，所以选A. 90°。

3.已知等差数列的前n项和Sn等于3n²-4n，则这个等差数列的公差d为多少？A. -4B. -3C. 2D. 3解析：根据等差数列前n项和的通项公式Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)，代入已知的Sn=3n²-4n，得到3n²-4n=(n/2)(2a+(n-1)d)。

将右边展开，化简得到3n²-4n=an+dn²-dn/2。

由此可推知a=0，d=-4/2=-2，所以选A. -4。

第二节解答题解答题考查学生的解题思路、分析能力和计算能力。

答案请参考答题卡。

1.一辆火车从A站出发前往B站，途中包括4个停靠站。

已知一次停靠和发车的间隔时间为5分钟，从A站到B站的总行驶时间为1小时20分钟，求平均每一站的行驶时间。

解析：一次停靠和发车的间隔时间为5分钟，一共有4个停靠站，所以4个停靠站的总时间为4×5=20分钟。

从A站到B站的总行驶时间为1小时20分钟，换算成分钟为80+20=100分钟。

平均每一站的行驶时间为100/4=25分钟。

2.已知甲乙两人一起做一件工作需要10天完成，按照甲独立做工作所需时间的三倍，乙独立做工作所需时间的两倍，问甲独立做工作需要多少天完成？解析：设甲独立做工作的时间为x天，则乙独立做工作的时间为2x 天。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷和答案解析一.选择题（本大题共12小题I每小题3分,满分36分.每小题给题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1・（3分）・2020的倒数是（）故选：D.点拨:本题主要考查的是倒数的定义I掌握倒数的定义是解题的关2.(3分)下列运算正确的是(A ・ a2∙a3 = a6C .(・ 2a) 3= - 8a3解析:利用同底数黑的乘法■积的乘方的运算法则■合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断・参考答案：解:A. a2∙a3二｛原计算错误,故此选项不符合题意；B. （a÷b ）2 = a2+2ab÷b2r原计算错误,故此选项不符合题意；出的个选项中•只有个选项是符合题目要求的,请把你认为符合A ・・ 2020B ・ 2020解析:乘积是1的两数互为倒参考答案：解: -2020的倒数是- 12020)B ・(a+b ) 2 =a2+b2［计算正确r故此选项符合题意;2020 2020•依据倒数的定义回答即可.D、a2÷a2 = 2a2I原计算错误r故此选项不符合题意•故选：C.点拨:此题主要考查了整式的运算・正确掌握同底数冨的乘法■积 的乘方的运算法则.合并同类项法则和完全平方公式等知识I 熟练 掌握相关法则和公式是解题的关｝3.（3分）如图■将直尺与三角尺叠放在一起,如果Zl = 28o r 那么Z解.参考答案：解：如图■标注字母,由题意可得:ZBAC = 90o, ZDAC = ZBAC ・ Zl =62° ,VEFllAD ,.∖Z2 = ZDAC = 62o r故选：A.点拨:本题考查了平行线的性质,两锐角互余的性质•掌握平行线C ・ 28°D ・ 72°解析：由两锐角互余的性质可求ZDAC 度数 ,由平行线的性质可求C的性质是本题的关键.4 •（ 3分）一组数据7r 8r 10r 12f 13的平均数和中位数分别是（解析:根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可.参考答案：解门 L 7÷8÷10r hl2+13-10,从小到大排列处在中间位置5的一个数是IO r 因此中位数是10, 故选：C.点拨：本题考查平均数.中位数的意义和计算方法r 理解平均数、 中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提.5.（3分）我国汽车工业迅速发展I 国产汽车技术成熟■下列汽车图解析:根据中心对称图形的概念求解.参考答案：解：A.不是中心对称图形.故错误；B 、是中心对称图形・故正确；U 不是中心对称图形・故错误；D 、不是中心对称图形・故错误・故选：B ・点拨：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对第3页（共27页）A ・ 7. IOB ・ 9. 9C ・ 10、 10D ・ 12. 11标是中心对称 形的是（称中心,旋转180度后与原图重合•6 • （ 3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元r 比上年增长&3% •其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A ・ 16.959×10,° 元 B ・ 1695.9×108元解析:科学记数法的表示形式为a× 10啲形式■其中l≤lal<10l n 为整数•确定n 的值时r 要看把原数变成a 时f 小数点移动了多少 位r n 的绝对值与小数点移动的位数相同•当原数绝对值≥ 10时rn 是正数；当原数的绝对值V ］时.n 是负数.参考答案：解：1695.9 亿元=169590000000 元=1.6959× IO 11元 r 故选：D.点拨:此题考查了科学记数法的表示方法・科学记数法的表示形式 为ax W 的形式■其中l≤lal<10f n 为整数r 表示时关键要正确 确定a 的值以及n 的值•7（3分）正多边形的一个外角为60。