2019年湖南省娄底市中考数学试卷

2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

最新湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）的相反数是（）A．B． C．﹣D．﹣2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3分）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．8．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．（3分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）从最新高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a=．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．最新湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．【解答】解：的相反数是：﹣．故选：C．2．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．3．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．4．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．5．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．7．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．8．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．9．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．10．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．11．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．12．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．14．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．15．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．16．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∴S△ABC∵S=AC•BF，△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．17．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．18．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∴（a n+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∴a n+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a=4035．故答案为4035．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．20．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．22．【解答】解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．24．【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．26．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，∴S=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．△BDF∵﹣1＜0，∴当x=2时，S取最大值，最大值为1．△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，﹣2+b1=0，解得：b1=2，∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．当x=0时，y=﹣2x+2=2，∴点N的坐标为（0，2），∴点N′的坐标为（0，﹣2）．同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．。

湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）3．（3分）（2019•娄底）函数y=中自变量x的取值范围为（）4．（3分）（2019•娄底）方程组的解是（）B，∴原方程组的解B．（3分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置67．（3分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学9．（3分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）B二、细心填一填，一锤定音（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000个，75100000用科学记数法表示为7.51×107．12．（3分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55．13．（3分）（2019•娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为1．14．（3分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5．，由①得，15．（3分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．16．（3分）（2019•娄底）如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为4．的几何意义得到=|k|=2y=17．（3分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m．=，=，18．（3分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．∴该卡片上的数字是负数的概率是：故答案为：．19．（3分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．20．（3分）（2019•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．AD=BC BD OE=DE+OE+DO=（AD=BC DO=CDDE+OE+DO==BC BD DC三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题8分，满分24分）21．（8分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．÷=•=22．（8分）（2019•娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）BP=CP=45，=，+4523．（8分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．×四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分）24．（8分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？﹣=1五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）25．（8分）（2019•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）26．（10分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B （x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．，﹣的纵坐标应是﹣，解得，，﹣（），，27．（10分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？，得出==，得出t AQ PH=t﹣，=t+4QE=得出﹣﹣t+3t+4PQ=，=t，即=5=，=，﹣×PH=×﹣﹣），秒时，最大值为cm=，==t+4═﹣t+4QC=（﹣t+4=t+2t=，＜的值是t+3t+4PQ===，；=t，即=5；s s s。

娄底中考初中数学试卷真题2019年娄底中考初中数学试卷真题一、选择题1. （4分）若函数f(x) = x^2 + 2x - 3, 则f(-1)的值为：A. -4B. -2C. 0D. 22. （4分）以下哪一组数字是等差数列？A. 3, 6, 9, 13B. 1, 3, 5, 7C. 2, 4, 8, 16D. 10, 12, 15, 183. （4分）设A = {x | -2 ≤ x < 3}, B = {x | x > 0}. 若c ∈ A ∩ B，则c 的取值范围是：A. [-2, 0)B. (0, 3)C. [-2, 3)D. (-2, 3)二、填空题1. （4分）若三角形ABC中，∠ABC = 90°, AC = 5, BC = 12, 则AB 的长度为______。

2. （4分）设函数f(x) = x^2 - 4x + 3, 则f(2)的值为______。

三、解答题1. （10分）小华去商场购买一支笔折扣前的价格为45元，现在打7折，请计算小华购买这支笔的实际价格。

解答过程及计算：首先，找到折扣前的价格：45元然后，计算折扣后的价格：45元 × 0.7 = 31.5元所以，小华购买这支笔的实际价格为31.5元。

2. （10分）已知等差数列的首项为a，公差为d，且满足a + 2d = 8。

求这个等差数列的前10项之和。

解答过程及计算：设等差数列的第n项为an，根据题目已知条件可得：an = a + (n-1)d，其中第10项an = a + 9d。

由a + 2d = 8可解得：a = 8 - 2d代入第10项公式中可得：an = (8 - 2d) + 9d = 8 + 7d前10项之和为：S10 = (a + an) × 10 ÷ 2 = (a + (8 + 7d)) × 10 ÷ 2 = (8 + a + 7d) × 10 ÷ 2= (8 + (8 - 2d) + 7d) × 10 ÷ 2 = (16 + 5d) × 10 ÷ 2 = (8 + 5d) × 10 = 80 +50d所以，这个等差数列的前10项之和为80 + 50d。

2019娄底中考数学试卷及答案娄底市2019年初中毕业学业考试参考答案数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1－5 BDCDB 6－10 CBAAC二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．－2 12．1.12×10513．AB ∥CD 14．答案不唯一，符合题意即可，如：DE ∥BC15．y ＝2x －2 16．0.8，80%或4517．13 18．3＜m ＜8三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）19．解：原式＝1＋2－1＋2－2×22 ………………………………………………2分 ＝2＋2－2………………………………………………4分 ＝2………………………………………………6分 20．解：原式＝x －1－2x －1 ·x (x －1)(x －3)2…………2分 ＝x －3x －1 ·x (x －1)(x －3)2…………3分 ＝x x －3…………4分 当x ＝1或3时，x －1＝0或x －3＝0，分式无意义，故x ＝2…………5分 当x ＝2时，原式的值＝22－3＝－2 …………6分 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）21．（1）m ＝80，n ＝0.20（2分）；（2）图略（3分）；（3）大约有4000×(0.20+0.10)＝1200人。

（3分）22．BH ≈16.32m （7分）≈16.3m （8分）（之前的步骤省略，评卷人可酌情按步骤给分）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23．（1）解：设乙骑自行车的速度为x m /min 。

…………1分由题意，得 6000.5x ＋24002x ＋2＝3000x…………2分 解得 x ＝300经检验，x ＝300是原方程的解。

…………4分 答：乙骑自行车的速度为300 m /min （或5m/s ）。

…………5分（2）解：300 m /min ×2min ＝600m …………7分 答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600m 。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.2019的相反数是（）A．﹣2019 B．2019 C．D．﹣2.下列计算正确的是（）A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．4x2﹣2x＝2x3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形4.一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、15.2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m6.下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小7.如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π8.如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．29.将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣110.如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜311.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共6小题）13.函数的自变量x的取值范围是．14.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是．15.如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为．16.如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．17.已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为﹣．18.已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．三、解答题（共8小题）19.计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+|﹣|﹣2sin60°20.先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．21.湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：关注程度频数频率A．高度关注m0.4B．一般关注1000.5C．没有关注20n（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为，m＝，n＝．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22.如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A 的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．23.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．25.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019年湖南省娄底市中考数学试卷（解析版）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．【知识点】相反数2.【分析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方3.【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．【知识点】平行四边形的判定、正方形的判定、菱形的判定与性质、中点四边形、矩形的判定4.【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．【知识点】众数、中位数5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．【知识点】科学记数法—表示较小的数6.【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：B．【知识点】命题与定理7.【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．【知识点】扇形面积的计算、反比例函数系数k的几何意义8.【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．【知识点】等边三角形的性质、三角形的内切圆与内心9.【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．【知识点】反比例函数的图象10.【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．【知识点】一次函数与一元一次不等式11.【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；即可求解．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．【知识点】二次函数图象与系数的关系12.【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．【知识点】坐标与图形性质二、填空题（共6小题）13.【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【知识点】函数自变量的取值范围14.【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．【知识点】列表法与树状图法15.【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠A，再由平行线的性质得出∠2＝∠A，即可得出结果．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．【知识点】平行线的性质16.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【知识点】圆周角定理17.【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c＝3，∴c＝﹣．故答案为：﹣．【知识点】根与系数的关系、一元二次方程的解18.【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x﹣4的距离即可．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．【知识点】两条直线相交或平行问题、一次函数的性质三、解答题（共8小题）19.【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算20.【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．【知识点】分母有理化、分式的化简求值21.【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人）．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.1；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【知识点】频数（率）分布表、条形统计图、用样本估计总体22.【分析】作AF⊥CD于F．设AE＝x米．由斜坡AB的坡度为i＝1：1，得出BE＝AE＝x米．解Rt△BDC，求得BC＝＝24米，则AF＝EC＝（x+24）米．解Rt△ADF，得出DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，又DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，列出方程2（x+24）＝96﹣x，求出x即可．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题23.【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【知识点】二元一次方程组的应用24.【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．【知识点】角平分线的性质、圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质25.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；（3）由轴对称﹣﹣最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【知识点】四边形综合题26.【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．【知识点】二次函数综合题。

湖南省娄底市2019年初中学业水平考试数学答案与解析一、选择题1．【答案】A【解析】2019的相反数是：2019-．故选：A ．2．【答案】B【解析】A ．328-=-（），故选项A 不合题意；B ．236a a =（），故选项B 符合题意；C ．235a a a ⋅=，故选项C 不合题意；D ．24x 与x 不是同类项，故不能合并，所以选项D 不合题意．故选：B ．3．【答案】C 【解析】如图，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF AC ∥且12EF AC =， 同理，GH AC ∥且12GH AC =， ∴EF GH ∥且EF GH =，∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又根据三角形的中位线定理，EF AC ∥，FG BD ∥，∴EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形．故选：C ．4．【答案】C【解析】这组数据的众数为1，从小到大排列：2-，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C ．5．【答案】B【解析】7 nm 用科学记数法表示为9710m -⨯．故选：B ．6．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C 、n 边形3n ≥（）的内角和是180360n ︒-︒，正确，是真命题； D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：B ．7．【答案】C 【解析】双曲线1y x=和1y x =-的图象关于x 轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180︒，半径为2，所以：2180π22π360S ⨯==阴影． 故选：C ．8．【答案】A【解析】设ABC △的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，ABC △为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，ABC △为等边三角形，∴60CAB ∠=︒，CH AB ⊥，∴30OAH ∠=︒，12AH BH AB == 在Rt AOH △中，tan tan30OH OAH AH︒∠==，1OH ∴=， 即ABC △内切圆的半径为1．故选：A ．9．【答案】C【解析】由“左加右减”的原则可知，1y x=的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：11y x =-； 由“上加下减”的原则可知，函数1y x 1=-的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：111y x =+-．故选：C ． 10．【答案】D 【解析】直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点-2,0A （），点()3,0B ，∴020x b kx +⎧⎨+⎩＞＞解集为23x -＜＜，故选：D ． 11．【答案】A【解析】由函数图象可知0a ＜，对称轴10x -＜＜，图象与y 轴的交点0c ＞，函数与x 轴有两个不同的交点，∴20b a -＞，0b ＜；240b ac =-＞，0abc ＞；当1x =时，0y ＜，即0a b c ++＜；当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞；∴()()0a b c a b c ++-+＜，即()22a c b +＜；∴只有④是正确的；故选：A ．12．【答案】B【解析】点运动一个AB 用时为120π22π21803⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与AB 交于点E ．在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，1602ACD ACB ∠=∠=︒， ∴30CAD ∠=︒， ∴112122CD AC ==⨯=， ∴211DE CE CD =-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0；第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-；第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0；第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；…，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，2 01945043÷=⋯，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．二、填空题13．【答案】3x ≥【解析】根据题意得，30x -≥，解得3x ≥．故答案为：3x ≥．14．【答案】23【解析】用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：4263P == 故答案为：23．15．【答案】28︒ 【解析】AC BD ∥，∴1A ∠=∠，AB CD ∥，∴2A ∠=∠，∴2128∠=∠=︒，故答案为：28︒．16．【答案】1 【解析】AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，30B ACD ∠=∠=︒， ∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为1．17．【解析】设方程的另一个根为c ，3c =，∴c =．18．【答案】【解析】当0x =时，0y x ==，即点()0,0在直线y x =上，因为点()0,0到直线4y x =-的距离为：d == 因为直线y x =和4y x =-平行，所以这两条平行线之间的距离为故答案为三、解答题19．【答案】原式122=-+12=-+1=-20．【答案】22211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭ 2()a b a b a b ab--=÷- 1a b ab a b-=⋅- ab =，当1a =，1b 时，原式1)1)1=⨯=．四、解答题21．【答案】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为1000.5200÷=（人），2000.480m =⨯=（人），10.40.50.1n =--=；故答案为200，80，0.1；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1 5000.4600⨯=（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【答案】如图，作AF CD ⊥于F ；设AE x =米．斜坡AB 的坡度为1:1i =，∴BE AE x ==米．在Rt BDC △中，90C ∠=︒，96CD =米，DBC β∠=∠， ∴9624tan 4CD BC β===（米）， ∴24EC EB BC x =+=+（）米， ∴24AF EC x ==+（）米． 在Rt ADF △中，90AFD ∠=︒，DAF α∠=∠，∴224DF AF tan x α=⋅=+（）米， 96DF DC CF DC AE x =-=-=-（）米， ∴22496x x +=-（），解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．五、解答题23．【答案】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：500253514 500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：300200x y =⎧⎨=⎩． 答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）35253004835200 5 600-⨯+-⨯=（）（）（元）． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【答案】证明：（1）连接OD ，AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，OA OB =，∴BAD ADO ∠=∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是O 的切线；（2）连接BD ，BE 是O 的切线，AB 为O 的直径，∴90ABE BDE ∠=∠=︒，CD AC ⊥，∴90C BDE ∠=∠=︒，CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE △∽△， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．六、综合题25．【答案】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，∴A C ∠=∠．∴在AEH △与CGF △中，AE CG A C AH CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH CGF SAS △≌△（）； （2）由（1）知，AEH CGF △≌△，则EH GF =，同理证得EBF GDH △≌△，则EF GH =， ∴四边形EFGH 是平行四边形；（3）四边形EFGH 的周长一半等于矩形ABCD 一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC ，BD ．四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =．E 、H 分别是边AB ，AD 的中点，∴EH 是ABD △的中位线， ∴12EH BD =． 同理，12FG BD =，12EF HG AC ==． 1122EH HG GF EF AC BD AC ∴+++=+=（）（）． ∴四边形EFGH 的周长一半等于矩形ABCD 一条对角线长度．26．【答案】（1）函数的表达式为：()()13y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =， 故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()()()21113223222POD D P S OG x x m m m m =⨯-=+-=-++△， 10-＜，故POD S △有最大值，当14m =时，其最大值为4916；（3）3OB OC ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒， ABC OBE ∠=∠，故OBE △与ABC △相似时，分为两种情况： ①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC过点A 作AH BC ⊥与点H ，1122ABC S AH BC AB OC =⨯⨯=⨯△，解得：AH = 则sinAH ACB AC ∠==，则tan 2ACB ∠=， 则直线OQ 的表达式为：2y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q - ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为：3y x =-…③，联立①③并解得：x =，故点1122Q ⎛-+- ⎝⎭；综上，点-或⎝⎭．。

湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分，每道小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里） 1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（ ）A ．﹣2019B ．-C ．2019D ．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A ．x 2•x 3=x 6B ．（x 3）3=x 9C ．x 2+x 2=x 4D ．x 6÷x 3=x 2 3．（3 分）（2019•娄底）函数 y=中自变量 x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤﹣24．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm ，圆心距为了 8cm ，则两圆的位置关系为（ ） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．89，90B ．90，90C ．88，95D ．90，958．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．菱形的对角线互相垂直平分C ．矩形的对角线相等且互相垂直平分D ．角平分线上的点到角两边的距离相等9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（ ）A．40°B．45°C．50°D．60°10．（3 分）（2019•娄底）一次函数 y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、细心填一填，一锤定音（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为 75100000 个，75100000 用科学记数法表示为．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于 x 的方程 2x+a﹣5=0 的解是 x=2，则 a 的值为．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是或（添加一个条件即可）．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数 y=的图象上的一点，MA 垂直 y 轴，垂足为 A，△ MAO 的面积为 2，则 k 的值为．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为m．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个▲组成，第 2 个图案由 7 个▲组成，第 3 个图案由 10 个▲组成，第 4 个图案由 13 个▲组成，…，则第 n（n 为正整数）个图案由个▲ 组成．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 3 道小题，每小题 8 分，满分 24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式 2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60°，测得 B 的方位角为南偏东 45°，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向．求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用 A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．四．综合用一用，马到成功（本大题共 1 道小题，满分 8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为 180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的 1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？五、耐心想一想，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线 y=x2+mx+（m﹣1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与 y 轴交于点 C（0，c），且满足 x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点 P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．27．（10 分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 PC，将△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值；′（3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- C．2019 D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．3．（3 分）（2019•娄底）函数 y=中自变量 x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．解答：解：根据题意，得 x﹣2≥0，解得 x≥2．故选 C．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C． D．考点：解二元一次方程组．分析：用加减法解方程组即可．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6， x=2，把 x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选 D．点评：此题考查二元一次方程组的解法．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm，圆心距为了 8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距为 d：外离，则 d＞R+r；外切，则 d=R+r；相交，则 R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则 d＜R﹣r．解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即 R+r=d，∴两圆外切． 故选 A ．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．89，90B ．90，90考点：众数；中位数C ．88，95D ．90，95分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96， 最中间的数是 90，则中位数是 90； 90 出现了 3次，出现的次数最多，则众数是 90； 故选 B ．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．菱形的对角线互相垂直平分C ．矩形的对角线相等且互相垂直平分D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据角平分线的性质对 D 进行判断．解答：解：A 、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；B 、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确；C 、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误；D 、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确． 故选 C ．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（ ）A．40°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数，又由 AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数 y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据 k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数 y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线 y=kx+b，可以看做由直线 y=kx 平移|b|个单位而得到．当 b ＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．二、细心填一填，一锤定音（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为 75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将 75100000 用科学记数法表示为 7．51×107．故答案为：7．51×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为 55 ．考点：代数式求值专题：图表型．分析：根据运算程序列式计算即可得解．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于 x 的方程 2x+a﹣5=0 的解是 x=2，则 a 的值为 1 ．考点：一元一次方程的解分析：把 x=2 代入方程即可得到一个关于 a 的方程，解方程即可求解解答：解：把 x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为 2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞2，由②得 x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或 AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是 90 度的平行四边形是矩形．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数 y=的图象上的一点，MA 垂直 y 轴，垂足为 A，△ MAO 的面积为 2，则 k 的值为 4 ．考点：反比例函数系数 k 的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得到 |k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解答：解：∵MA 垂直 y 轴，∴S△AOM= |k|，∴|k|=2，即|k|=4，而 k＞0，∴k=4．故答案为 4．点评：本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y=的图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 9 m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得 AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．考点：概率公式．分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个▲组成，第 2 个图案由 7 个▲组成，第 3 个图案由 10 个▲组成，第 4 个图案由 13 个▲组成，…，则第 n（n 为正整数）个图案由 3n+1个▲ 组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有 3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有 3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有 3×4﹣3+1=10 个三角形；…第 n 个图形有 3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 9 ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出 DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出 OE=CD，求出△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为 18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出 DE=BC，DO= BD，OE= DC．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 3 道小题，每小题 8 分，满分 24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式 2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到 x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，不等式 2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为 1，2，3，4，当 x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60°，测得 B 的方位角为南偏东 45°，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向．求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点 C 作 CP⊥AB 于 P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据 AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点 C 作 CP⊥AB 于 P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用 A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．分析：（1）用 C 等级的人数除以 C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数 50 分别减去 A、C、D 等级的人数得到 B 等级的人数，然后画出折线统计图；（3）用 360°乘以 B 等级所占的百分比即可得到 B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了 50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中 B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．四．综合用一用，马到成功（本大题共 1 道小题，满分 8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为 180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的 1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1．5xkm/h，由题意得解得 x=60，则 1．5x=90，答：大货车速度为 60km/h，则小轿车的速度为 90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据 AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据 HL 定理得出△ABD≌△CDB；（2）由 BE 是切线，得 AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由 OA=OD，得出∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为 37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．1 2 1 2 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线 y=x 2+mx+（m ﹣1）与 x 轴交于点 A （x 1，0），B （x 2，0）， x 1＜x 2，与 y 轴交于点 C （0，c ），且满足 x 12+x 22+x 1x 2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点 P ，使∠POC=∠PCO ？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根与系数的关系，等式 x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系，得 x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1．代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解答：解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7， 即 m 2﹣m ﹣6=0，解得 m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是 y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO，PC，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D．若∠POC=∠PCO则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令 x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点 P 的坐标是（，﹣），（。

湖南省娄底市2019年中考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1、2019的相反数是（ ）A. ﹣2019B. 2019C.12009D. 12009-2、下列计算正确的是（ ）A. 3(2)8-=B. ()326a a =C. 236a a a ⋅=D.2422x x x -=3、顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形4、一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. ﹣2、0B. 1、0C. 1、1D. 2、15、2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate 20系列、荣耀Magic 2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗()97110nm nm m -=手机芯片．7nm 用科学记数法表示为（ ）A. 8710m -⨯B. 9710m -⨯C. 80.710m -⨯D. 10710m -⨯6、下列命题是假命题的是（ ）A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-D. 旋转不改变图形的形状和大小7、如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是（ ）A. 4πB. 3πC. 2πD. π8、如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为（ ）A. 1B.3C. 2D. 239、将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（ ）A. 111y x =++ B. 111y x =-+ C. 111y x =+- D. 111y x =-- 10、如图，直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，则20x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为（ ）A. 2x <-B. 3x >C. 2x <-或3x >D. 23x -<<11、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） ⊙0abc < ⊙240b ac -< ⊙2a b >⊙22()a c b +<A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12、如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A （A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13、函数y x 3=-中，自变量x 的取值范围是______．14、如图所示的电路中，当随机闭合开关123S S S 、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______．15、如图，AB CD ∥，AC BD ，128︒∠=，则2∠的度数为______°．16、如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ︒∠=，则AD =______．17、已知方程230x bx ++=52+______．18、已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为0021kx b y d k+-=+例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离2512d ==+y x=和4y x =-之间的距离为______． 三、解答题19、计算：11(20191)32sin |602+-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭20、先化简，再求值：22211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭．其中21a =，21b =． 21、湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表： 关注程度频数 频率A ．高度关注 m 0.4B ．一般关注 100 0.5C ．没有关注 20n（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为______，m ＝______，n ＝______． （2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22、如图，某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为1:1i =．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE （C 、B 、E 在同一水平面上）．23、某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 25 35 乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24、如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ． （1）求证：直线CD 是⊙O 的切线． （2）求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．25、如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA （不包括端点）上运动，且满足AE CG =，AH CF =． （1）求证：AEH CGF ∆≅∆；（2）试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．答案第1页，共12页参考答案1、【答案】A【分析】根据相反数的概念解答即可． 【解答】2019的相反数是：﹣2019． 选：A ． 2、【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方和整式加减法的运算法则计算后利用排除法求解．【解答】A ．3(2)8-=-，选项A 不合题意；B ．()326a a =，选项B 符合题意；C ．235a a a =，选项C 不合题意；D ．24x 与x 不是同类项，故不能合并，∴选项D 不合题意． 选：B ． 3、【答案】C【分析】根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得． 【解答】解：⊙E ，F ，G ，H 是中点，⊙EH ⊙BD ，同理，EF ⊙AC ，GH ⊙AC ，FG ⊙BD ， ⊙EH ⊙FG ，EF ⊙GH ，则四边形EFGH 是平行四边形． 又⊙AC ⊙BD ， ⊙EF ⊙EH ，⊙平行四边形EFGH 是矩形． 选：C ． 4、【答案】C【分析】根据的中位数和众数的概念进行分析即可．【解答】这组数据1出现的次数最多，∴这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，处在最中间的两个数的平均数为1，∴这组数据的中位数是1， 选：C ． 5、【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯． 选：B ． 6、【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法、等边三角形的性质、多边形的内角和以及旋转的性质进行判断即可【解答】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C 、n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-，正确，是真命题； D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 选：B ． 7、【答案】C【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【解答】双曲线1y x =和1y x=-的图象关于x 轴对称， 根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为180︒，半径为2， ∴：218022360S ππ⨯==阴影．选：C ． 8、【答案】A【分析】连接AO 、CO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，利用内心的性质得CH 平分⊙BCA ，AO 平分⊙BAC ，再根据等边三角形的性质得⊙CAB =60°，CH ⊙AB ，则⊙OAH =30°，AH=BH=12AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】设ABC∆的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，⊙ABC∆为等边三角形，⊙CH平分BCA∠，AO平分BAC∠，⊙ABC∆为等边三角形，⊙60CAB︒∠=，CH AB⊥，⊙30OAH︒∠=，132AH BH AB===，在Rt AOH∆中，⊙OHtan tan30AHOAH︒∠==，⊙331OH=⨯=，即ABC∆内切圆的半径为1．选：A．9、【答案】C【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，1yx=的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：1x1y=-；由“上加下减”的原则可知，函数11yx=-的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：111yx=+-．选：C．10、【答案】D【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】解：⊙直线y x b=+和2y k x=+与x轴分别交于点(2,0)A-，点(3,0)B，⊙20x bkx+>⎧⎨+>⎩解集为23x-<<，选：D．11、【答案】A答案第3页，共12页【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴-1＜x ＜0，20b a ->；0b <，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；⊙=b 2-4ac ＞0；再由图象可知当x =1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x =-1时，y ＞0，即a -b +c ＞0；即可求解．【解答】解：由函数图象可知0a <，对称轴10x -<<，图象与y 轴的交点0c >，函数与x 轴有两个不同的交点， ⊙2b a >，0b <；⊙错误240b ac ∆=->；⊙错0abc >；⊙错误当1x =时，0y <，即0a b c ++<； 当1x =-时，0y >，即0a b c -+>； ⊙()()0a b c a b c ++-+<，即22()a c b +<； ⊙只有⊙是正确的； 选：A ． 12、【答案】B【分析】先计算点P 走一个AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是-1．【解答】解：点运动一个AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒．如图，作CD AB ⊥于D ，与AB 交于点E ． 在Rt ACD ∆中，⊙90ADC ︒∠=，1602ACD ACB ︒∠=∠=， ⊙30︒∠=CAD ， ⊙112122CD AC ==⨯=， ⊙211DE CE CD =-=-=，⊙第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1； 第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为﹣1； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1； …，答案第5页，共12页 ⊙点P 的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，⊙201945043÷=⋯，⊙第2019秒时点P 的纵坐标为是﹣1．选：B ．13、【答案】x ≥3【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件来解.x 3-x 30x 3-≥⇒≥．14、【答案】23 【分析】根据题意可得：随机闭合开关123S S S 、、中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为23． 【解答】解：∵随机闭合开关123S S S 、、中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光∴P （灯泡发光）＝23． 故本题答案为：23． 15、【答案】28【分析】由平行线的性质得出⊙1=⊙A ，再由平行线的性质得出⊙2=⊙A ，即可得出结果．【解答】解：⊙ACBD ，⊙1A ∠=∠，⊙AB CD ∥，⊙2A ∠=∠，⊙2128︒∠=∠=，故答案为：28︒．16、【答案】1【分析】利用圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙B =⊙ACD =30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD 的长．【解答】解：⊙AB 为直径，⊙90ADB ︒∠=，⊙30B ACD ︒∠=∠=， ⊙112122AD AB ==⨯=． 故答案为1．17、-【分析】设方程的另一个根为c ，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为c ，⊙3c +=，⊙c =-18、【答案】【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y =x 上任意取一点，然后计算这个点到直线y =x -4的距离即可．【解答】解：当0x =时，0y x ==，即点(0,0)在直线y x =上，∵点(0,0)到直线4y x =-的距离为：d === 因直线y x =和4y x =-平行，∴这两条平行线之间的距离为故答案为19、【答案】-1．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】原式1222=-+⨯12=-+-1=-．20、【答案】ab，1．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：22211 a ab bab b a-+⎛⎫÷-⎪-⎝⎭2()a b a ba b ab--=÷-1a b aba b-=⋅-ab=，当21a=-，21b=+时，原式(21)(21)1=-⨯+=．21、【答案】（1）200，80，0.4；（2）补图见解答；（3）高度关注新高考政策的约有600人．【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5=200（人），m=200×0.4=80（人），n=1-0.4-0.5=0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人）．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为1000.5200÷=（人），2000.480m=⨯=（人），10.40.50.1n=--=；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：15000.4600⨯=（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22、【答案】山顶A的高度AE为16米．【分析】作AF⊙CD于F．设AE=x米．由斜坡AB的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x米．解Rt⊙BDC，求得9624tan4CDBCβ===（米），则AF=EC=（x+24）米．解Rt⊙ADF，答案第7页，共12页得出DF =AF •tanα=2（x +24）米，又DF =DC -CF =DC -AE =（96-x ）米，列出方程2（x +24）=96-x ，求出x 即可．【解答】解：如图，作AF CD ⊥于F ．设AE x =米．⊙斜坡AB 的坡度为1:1i =，⊙BE AE x ==米．在Rt BDC ∆中，⊙90︒∠=C ，96CD =米，DBC β∠=∠， ⊙9624tan 4CD BC β===（米）， ⊙(24)EC EB BC x =+=+米，⊙(24)AF EC x ==+米．在Rt ADF ∆中，⊙90AFD ︒∠=，DAF α∠=∠，⊙tan 2(24)DF AF x α=⋅=+米，⊙(96)DF DC CF DC AE x =-=-=-米，⊙2(24)96x x +=-，解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．23、【答案】（1）购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【分析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：500253514500x y x y +=⎧⎨+=⎩，答案第9页，共12页解得：300200x y =⎧⎨=⎩．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）(3525)300(4835)2005600-⨯+-⨯=（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24、【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）连接OD ，由角平分线的定义得到⊙CAD =⊙BAD ，根据等腰三角形的性质得到⊙BAD =⊙ADO ，求得⊙CAD =⊙ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊙OD ，于是得到结论；（2）连接BD ，根据切线的性质得到⊙ABE =⊙BDE =90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：证明：（1）连接OD ，⊙AD 平分BAC ∠，⊙CAD BAD ∠=∠，⊙OA OD =，⊙BAD ADO =∠∠，⊙CAD ADO ∠=∠，⊙AC OD ∥，⊙CD AC ⊥，⊙CD OD ⊥，⊙直线CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，⊙BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，⊙90ABE BDE ︒∠=∠=，⊙CD AC ⊥，⊙90C BDE ︒∠=∠=，⊙CAD BAE DBE ∠=∠=∠，⊙ACD BDE ∆∆∽， ⊙CD AD DE BE=， ⊙CD BE AD DE ⋅=⋅．25、【答案】（1）证明见解答；（2）四边形EFGH 是平行四边形，理由见解答；（3）四边形EFGH 的周长一半大于或者等于矩形ABCD 一条对角线长度，理由见解答．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH =GF ，同理可得FE =HG ，即可得四边形EFGH是平行四边形；（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．【解答】解：（1）⊙四边形ABCD 是矩形，⊙A C ∠=∠．⊙在AEH ∆与CGF ∆中，AE CG A C AH CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙(SAS)AEH CGF ∆≅∆；（2）⊙由（1）知，(SAS)AEH CGF ∆≅∆，则EH GF =，同理证得(SAS)EBF GDH ∆≅∆，则EF GH =，⊙四边形EFGH 是平行四边形；（3） 四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC 的对称点G ′，连接EG ′，可得EG ′的长度就是EF +FG 的最小值．连接AC ，⊙CG ′=CG =AE ，AB ⊙CG ′，答案第11页，共12页⊙四边形AEG ′C 为平行四边形，⊙EG ′=AC ．在⊙EFG ′中，⊙EF +FG ′≥EG ′=AC ，⊙四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．26、【答案】（1）抛物线的表达式为：223y x x =--；（2）POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；（3）点(3,23)Q -或113113,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y =a （x +1）（x -3），将点D 坐标代入上式，即可求解； （2）()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，即可求解； （3）分⊙ACB =⊙BOQ 、⊙BAC =⊙BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…⊙；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ⊙10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； （3）⊙3OB OC ==，⊙45OCB OBC ︒∠=∠=，⊙ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：⊙当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =过点A 作AH ⊙BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =， 则sin 5AH ACB AC ∠==，则tan 2ACB ∠=， 则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…⊙， 联立⊙⊙并解得：3x =±， 故点3,3)Q -⊙BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…⊙， 联立⊙⊙并解得：1132x -+=， 故点113113Q -+-⎝⎭； 综上，点3,3)Q -或11311322⎛-+- ⎝⎭．。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．﹣2019 B．2019 C．D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．4x2﹣2x＝2x3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形4．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、15．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m6．（3分）下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小7．（3分）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π8．（3分）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．29．（3分）将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣110．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜311．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数的自变量x的取值范围是．14．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是．15．（3分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．17．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．18．（3分）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+|﹣|﹣2sin60°20．（6分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为，m＝，n＝．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22．（8分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24．（9分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c＝3，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB ＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，△ABC则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2019的相反数是（）A. −2019B. 2019C. 12009D. −120092.下列计算正确的是（）A. (−2)3=8B. (a2)3=a6C. a2⋅a3=a6D. 4x2−2x=2x3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形4.一组数据-2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A. −2、0B. 1、0C. 1、1D. 2、15.2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm （1nm=10-9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A. 7×10−8mB. 7×10−9mC. 0.7×10−8mD. 7×10−10m6.下列命题是假命题的是（）A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. n边形(n≥3)的内角和是180∘n−360∘D. 旋转不改变图形的形状和大小7.如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=1x和y=−1x，则阴影部分的面积是（）A. 4πB. 3πC. 2πD. π8.如图，边长为2√3的等边△ABC的内切圆的半径为（）A. 1B. √3C. 2D. 2√39.将y=1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A. y=1x+1+1 B. y=1x+1−1 C. y=1x−1+1 D. y=1x−1−110.如图，直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A（-2，0），点B（3，0），则{x+b>0kx+2>0解集为（）A. x<−2B. x>3C. x<−2或x>3D. −2<x<311.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2-4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的AB⏜多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A. −2B. −1C. 0D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.函数y=√x−3的自变量x的取值范围是______．14.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是______．15.如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1=28°，则∠2的度数为______．16.如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=______．17.已知方程x2+bx+3=0的一根为√5+√2，则方程的另一根为______．18.已知点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离可表示为d=|kx0+b−y0|√1+k2，例如：点（0，1）到直线y=2x+6的距离d=|2×0+6−1|√1+22=√5．据此进一步可得两条平行线y=x和y=x-4之间的距离为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简，再求值：a2−2ab+b2a−b ÷（1b-1a）．其中a=√2-1，b=√2+1．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.计算：（√2019-1）0-（12）-1+|-√3|-2sin60°21.湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：关注程度频数频率A．高度关注m0.4B．一般关注1000.5C．没有关注20n（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为______，m=______，n=______．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22.如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i=1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα=2，tanβ=4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．23.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE=AD•DE．25.如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE=CG，AH=CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：2019的相反数是：-2019．故选：A．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A．（-2）3=-8，故选项A不合题意；B．（a2）3=a6，故选项B符合题意；C．a2•a3=a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．本题主要考查了幂的运算以及合并同类项的法则，熟练掌握幂的运算性质是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理，GH∥AC且GH=AC，∴EF∥GH且EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．4.【答案】C【解析】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：-2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．5.【答案】B【解析】解：7nm用科学记数法表示为7×10-9m．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6.【答案】C【解析】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n-360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质，难度不大．7.【答案】C【解析】解：双曲线y=的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影==2π．故选：C．根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．8.【答案】A【解析】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°，CH⊥AB，∴∠OAH=30°，AH=BH=AB=，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH==tan30°，∴OH=×=1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．9.【答案】C【解析】解：由“左加右减”的原则可知，y=的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=；由“上加下减”的原则可知，函数y=的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y= +1．故选：C．直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A（-2，0），点B（3，0），∴解集为-2＜x＜3，故选：D．根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．11.【答案】A【解析】解：由函数图象可知a＜0，对称轴-1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x 轴有两个不同的交点，∴b-2a＞0，b＜0；△=b2-4ac＞0；abc＞0；当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．由函数图象可知a＜0，对称轴-1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b-2a＞0，b＜0；△=b2-4ac＞0；再由图象可知当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：点运动一个用时为÷π=2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=∠ACB=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=AC=×2=1，∴DE=CE-CD=2-1=1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4=504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．故选：B．先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．13.【答案】x≥3【解析】解：根据题意得，x-3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．根据被开方数非负列式求解即可．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14.【答案】23【解析】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P=，故答案为：．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．15.【答案】28°【解析】解：∵AC∥BD，∴∠1=∠A，∵AB∥CD，∴∠2=∠A，∴∠2=∠1=28°，故答案为：28°．由平行线的性质得出∠1=∠A，再由平行线的性质得出∠2=∠A，即可得出结果．本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．16.【答案】1【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴AD=AB=×2=1．故答案为1．利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．17.【答案】√5-√2【解析】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c=3，∴c=-．故答案为：-．设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．18.【答案】2√2【解析】解：当x=0时，y=x=0，即点（0，0）在直线y=x上，因为点（0，0）到直线y=x-4的距离为：d===2，因为直线y=x和y=x-4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可．此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．19.【答案】解：a2−2ab+b2a−b ÷（1b-1a）=(a−b)2a−b ÷a−bab=a−b1⋅ab a−b=ab，当a=√2-1，b=√2+1时，原式=（√2-1）×（√2+1）=1．【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】解：原式=1-2+√3-2×√32=1-2+√3-√3=-1．【解析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】200 80 0.1【解析】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5=200（人），m=200×0.4=80（人），n=1-0.4-0.5=0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5=200（人），m=200×0.4=80（人），n=1-0.4-0.5=0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人）．本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．统计表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE=x米．∵斜坡AB的坡度为i=1：1，∴BE=AE=x米．在Rt△BDC中，∵∠C=90°，CD=96米，∠DBC=∠β，∴BC=CDtanβ=964=24（米），∴EC=EB+BC=（x+24）米，∴AF=EC=（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，∠DAF=∠α，∴DF=AF•tanα=2（x+24）米，∵DF=DC-CF=DC-AE=（96-x）米，∴2（x+24）=96-x，解得x=16．故山顶A的高度AE为16米．【解析】作AF⊥CD于F．设AE=x米．由斜坡AB的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x 米．解Rt△BDC，求得BC==24米，则AF=EC=（x+24）米．解Rt△ADF，得出DF=AF•tanα=2（x+24）米，又DF=DC-CF=DC-AE=（96-x）米，列出方程2（x+24）=96-x ，求出x 即可．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．23.【答案】解：（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：{x +y =50025x +35y =14500， 解得：{x =300y =200． 答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35-25）×300+（48-35）×200=5600（元）． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【解析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．24.【答案】证明：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠BAD ，∵OA =OB ，∴∠BAD =∠ADO ，∴∠CAD =∠ADO ，∴AC ∥OD ，∵CD ⊥AC ，∴CD ⊥OD ，∴直线CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE =∠BDE =90°，∵CD ⊥AC ，∴∠C =∠BDE =90°，∵∠CAD =∠BAE =∠DBE ，∴△ACD ∽△BDE ， ∴CD DE =ADBE ，∴CD •BE =AD •DE ．【解析】（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ．∴在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF （SAS ）；（2）∵由（1）知，△AEH ≌△CGF ，则EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形；（3）四边形EFGH 的周长一半等于矩形ABCD 一条对角线长度．理由如下： 如图，连接AC ，BD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．由（1）知，四边形EFGH 是平行四边形，则EH∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD ．同理，FG =12BD ，EF =HG =12AC ．∴12（EH +HG +GF +EF ）=12（AC +BD ）=AC ．∴四边形EFGH 的周长一半等于矩形ABCD 一条对角线长度．【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF ，同理可得FE=HG ，即可得四边形EFGH 是平行四边形；（3）由相似三角形的对应边成比例得到：四边形EFGH 的周长一半等于矩形ABCD 一条对角线长度．考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．26.【答案】解：（1）函数的表达式为：y =a （x +1）（x -3），将点D 坐标代入上式并解得：a =1，故抛物线的表达式为：y =x 2-2x -3…①；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P （m ，m 2-2m -3），将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y =sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y =mx -3-2m ，则OG =3+2m ，S △POD =12×OG （x D -x P ）=12（3+2m ）（2-m ）=-m 2+12m +3，∵-1＜0，故S △POD 有最大值，当m =14时，其最大值为4916；（3）∵OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，∵∠ABC =∠OBE ，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况：①当∠ACB =∠BOQ 时，AB =4，BC =3√2，AC =√10，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，S △ABC =12×AH ×BC =12AB ×OC ，解得：AH =2√2，则sin ∠ACB =AH AC =2√5，则tan ∠ACB =2，则直线OQ 的表达式为：y =-2x …②，联立①②并解得：x =±√3（舍去负值），故点Q （√3，-2√3）②∠BAC =∠BOQ 时，tan ∠BAC =OC OA =31=3=tan ∠BOQ ，则直线OQ 的表达式为：y =-3x …③，联立①③并解得：x =−1+√132， 故点Q （−1+√132，1−√132）；综上，点Q （√3，-2√3）或（−1+√132，1−√132）．【解析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）S △POD =×OG （x D -x P ）=（3+2m ）（2-m ）=-m 2+m+3，即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前湖南省娄底市2019年初中学业水平考试数 学（本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.2 019的相反数是（ ）A ．2019-B ．2019C ．12019D ．12019- 2.下列计算正确的是（ ）A ．328-=（） B ．236a a =（） C ．236a a a ⋅=D ．2422x x x -= 3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4.一组数据2-、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．2-、0B ．1、0C ．1、1D ．2、15.2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗97 nm 1 nm 10m -=（）手机芯片．7 nm 用科学记数法表示为（ ）A ．8710m -⨯B ．9710m -⨯C ．80.710 m -⨯D ．10 710m -⨯ 6.下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形3n ≥（）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小7.如图（1），O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x=和1y x =-，则阴影部分的面积是（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．π图（1） 图（2）8.如图（2），边长为的等边ABC △的内切圆的半径为（ ）A ．1BC ．2D．9.将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3），则所得图象的解析式为（ ）A ．111y x =++ B ．111y x =-+ C ．111y x =+-D ．111y x =--10.如图（4），直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点()2,0A -，点3,0B （），则20x b kx +⎧⎨+⎩＞0＞解集为（ ）图（3）图（4）图（5）A ．2x -＜B ．3x ＞-----------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）C ．2x -＜或3x ＞D ．23x -＜＜11.二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的是 （ ）①0abc ＜ ②240b ac -＜ ③2a b ＞ ④22a cb +（）＜ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A （A 为坐标原点）出发，以每秒2π3米的速度沿曲线向右运动，则在第2 019秒时点P 的纵坐标为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1二、填空题（本大题6小题，每小题3分，满分18分） 13.函数y 的自变量x 的取值范围是________．14.如图（7），随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡发光的概率是________．图（7）图（8）图（9）15.如图（8），A B C D ∥，AC BD ∥，128∠=︒，则2∠的度数为________．16.如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =________． 17.已知方程230x bx ++=________．18.已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =，例如：点()0,1到直线26y x =+的距离d ==．据此进一步可得两条平行线y x =和4y x =-之间的距离为________．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19.计算：112sin6|02-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭20.先化简，再求值：22211a ab b a b b a ++⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭．其中1a =，1b =． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为________，m =________，n =________．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22.如图，某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为1:1i =．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE （C 、B 、E 在同一水平面上）．数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24.如图，点D 在以AB 为直径的O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ． （1）求证：直线CD 是O 的切线． （2）求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25.如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA （不包括端点）上运动，且满足AE CG =，AH CF =． （1）求证：AEH CGF △≌△；（2）试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，点3,0B （），与y 轴交于点C ，且过点2,3D -（）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当O B E △与ABC △相似时，求点Q 的坐标．湖南省娄底市2019年初中学业水平考试数学答案与解析一、选择题 1．【答案】A【解析】2019的相反数是：2019-．故选：A ． 2．【答案】B【解析】A ．328-=-（），故选项A 不合题意； B ．236a a =（），故选项B 符合题意；C ．235a a a ⋅=，故选项C 不合题意；D ．24x 与x 不是同类项，故不能合并，所以选项D 不合题意．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名______________考生号______________数学试卷第7页（共18页） 数学试卷第8页（共18页）故选：B ． 3．【答案】C 【解析】如图，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF AC ∥且12EF AC =，同理，GH AC ∥且12GH AC =，∴EF GH ∥且EF GH =， ∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又根据三角形的中位线定理，EF AC ∥，FG BD ∥，∴EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形．故选：C ．4．【答案】C【解析】这组数据的众数为1，从小到大排列：2-，0，1，1，1，2，中位数是1， 故选：C ． 5．【答案】B【解析】7 nm 用科学记数法表示为9710m -⨯． 故选：B ．6．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C 、n 边形3n ≥（）的内角和是180360n ︒-︒，正确，是真命题； D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选：B ． 7．【答案】C 【解析】双曲线1y x=和1y x =-的图象关于x 轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180︒，半径为2，所以：2180π22π360S ⨯==阴影．故选：C ． 8．【答案】A【解析】设ABC △的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，ABC △为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，ABC △为等边三角形，∴60CAB ∠=︒，CH AB ⊥， ∴30OAH ∠=︒，12AH BH AB === 在Rt AOH △中，tan tan30OHOAH AH︒∠==，1OH ∴=， 即ABC △内切圆的半径为1．故选：A ．数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）9．【答案】C【解析】由“左加右减”的原则可知，1y x =的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：11y x =-； 由“上加下减”的原则可知，函数1y x 1=-的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：111y x =+-．故选：C ．10．【答案】D【解析】直线y x b =+和2y kx =+与x 轴分别交于点-2,0A （），点()3,0B ， ∴020x b kx +⎧⎨+⎩＞＞解集为23x -＜＜，故选：D ．11．【答案】A【解析】由函数图象可知0a ＜，对称轴10x -＜＜，图象与y 轴的交点0c ＞， 函数与x 轴有两个不同的交点，∴20b a -＞，0b ＜； 240b ac =-＞，0abc ＞；当1x =时，0y ＜，即0a b c ++＜； 当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞；∴()()0a b c a b c ++-+＜，即()22a c b +＜；∴只有④是正确的； 故选：A ．12．【答案】B【解析】点运动一个AB 用时为120π22π21803⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与AB 交于点E ．在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴30CAD ∠=︒，∴112122CD AC ==⨯=，∴211DE CE CD =-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1； …，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，2 01945043÷=⋯，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．二、填空题 13．【答案】3x ≥【解析】根据题意得，30x -≥，解得3x≥．故答案为：3x≥．14．【答案】2 3【解析】用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：4263 P==故答案为：23．15．【答案】28︒【解析】AC BD∥，∴1A∠=∠，AB CD∥，∴2A∠=∠，∴2128∠=∠=︒，故答案为：28︒．16．【答案】1【解析】AB为直径，∴90ADB∠=︒，30B ACD∠=∠=︒，∴112122AD AB==⨯=．故答案为1．17．【解析】设方程的另一个根为c，3c=，∴c=．18．【答案】【解析】当0x=时，0y x==，即点()0,0在直线y x=上，因为点()0,0到直线4y x=-的距离为：d==因为直线y x=和4y x=-平行，所以这两条平行线之间的距离为故答案为三、解答题19．【答案】原式122=-+12=-1=-20．【答案】22211a ab ba b b a-+⎛⎫÷-⎪-⎝⎭2()a b a ba b ab--=÷-1a b aba b-=⋅-ab=，当1a=，1b=时，原式1)1)1=-⨯=．四、解答题21．【答案】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为1000.5200÷=（人），2000.480m=⨯=（人），数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）10.40.50.1n =--=；故答案为200，80，0.1； （2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1 5000.4600⨯=（人）， 答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【答案】如图，作AF CD ⊥于F ；设AE x =米．斜坡AB 的坡度为1:1i =，∴BE AE x ==米．在Rt BDC △中，90C ∠=︒，96CD =米，DBC β∠=∠，∴9624tan 4CD BC β===（米）， ∴24EC EB BC x =+=+（）米， ∴24AF EC x ==+（）米． 在Rt ADF △中，90AFD ∠=︒，DAF α∠=∠，∴224DF AF tan x α=⋅=+（）米，96DF DC CF DC AE x =-=-=-（）米， ∴22496x x +=-（），解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．五、解答题23．【答案】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱， 依题意，得：500253514 500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：300200x y =⎧⎨=⎩．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱． （2）35253004835200 5 600-⨯+-⨯=（）（）（元）． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元． 24．【答案】证明：（1）连接OD ，AD 平分BAC ∠， ∴CAD BAD ∠=∠，OA OB =，∴BAD ADO ∠=∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，CD AC ⊥，∴CD OD⊥，∴直线CD是O的切线；（2）连接BD，BE是O的切线，AB为O的直径，∴90ABE BDE∠=∠=︒，CD AC⊥，∴90C BDE∠=∠=︒，CAD BAE DBE∠=∠=∠，∴ACD BDE△∽△，∴CD ADDE BE=，∴CD BE AD DE⋅=⋅．六、综合题25．【答案】证明：（1）四边形ABCD是矩形，∴A C∠=∠．∴在AEH△与CGF△中，AE CGA CAH CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH CGF SAS△≌△（）；（2）由（1）知，AEH CGF△≌△，则EH GF=，同理证得EBF GDH△≌△，则EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．四边形ABCD是矩形，∴AC BD=．E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是ABD△的中位线，∴12EH BD=．同理，12FG BD=，12EF HG AC==．1122EH HG GF EF AC BD AC∴+++=+=（）（）．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【答案】（1）函数的表达式为：()()13y a x x=+-，将点D坐标代入上式并解得：1a=，故抛物线的表达式为：223y x x=--…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点()2,23P m m m--，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y sx t=+并解得：数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页） 数学试卷第18页（共18页）直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()()()21113223222POD D P S OG x x m m m m =⨯-=+-=-++△，10-＜，故POD S △有最大值，当14m =时，其最大值为4916；（3）3OB OC ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，ABC OBE ∠=∠，故OBE △与ABC △相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =过点A 作AH BC ⊥与点H ，1122ABC S AH BC AB OC =⨯⨯=⨯△，解得：AH =则sin AH ACB AC ∠==，则tan 2ACB ∠=， 则直线OQ 的表达式为：2y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q-②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为：3y x =-…③，联立①③并解得：x =，故点Q ⎝⎭；综上，点-或⎝⎭．。