第七知识块--立体几何初步-(4)

第四节直线、平面平行的判定及其性质课标要求考情分析1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．2．题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理应用判定定理时，要注意“内”“外"“平行”三个条件必须都具备,缺一不可．知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1。

平面与平面平行还有如下判定：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．2．平面与平面平行还有如下性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面．（×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α。

（×）（3）若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a 的直线有无数条．（×)(4）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行．(×）（5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．小题热身（1）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交（2）下列命题中正确的是（D)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α(3)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4)如图，在正方体ABCD。

第七节 立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：图3­2­2(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图3­2­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图3­2­3111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图3­2­9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图3­2­9二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3­2­15【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3­2­24(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。

立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

《立体几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征.2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图.3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式.5.理解平面的基本性质及确定平面的条件.6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质.7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质.【知识络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C【解析】该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=⨯⨯=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=,所以体积为57π.【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_____.【答案】92【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为(25)42282+⨯=,侧面积为(4255)464+++⨯=,故表面积为92. 例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.正视图【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V 长方体-V 正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG ∥BC′，即可证明BC′∥面EFG ． 【解析】 （1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ， 所以BC '∥面EFG ．【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视． 类型二：几何体的表面积和体积例3．（2015年 安徽高考）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A．1 B．2 C．1+ D．（俯视图）（正视图）（侧视图）AC DE FGA 'B 'C 'D '【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图为1121121sin602BCDABDABC ACDSSS S=======△△△△则°∴四面体的表面积222BCD ABD ABC CDAS S S S S=+++=+=+△△△△，故选B．举一反三：【变式1】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10,10,10,S S S S ====后右左底因此该几何体表面积30S =+,故选B.例4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A ．2a π B ．273a π C ．2113a π D ．25a π 【答案】 B【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，易知23r ==，所以球的半径R 满足：2222173212R a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22743S R a ππ==球． 【总结升华】 这是一个球内接三棱柱，球心是三棱柱两底中心连线的中点，这是本题的关键之处． 举一反三：【变式1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3.【答案】6.【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中BD cm,BD cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯. 类型三：直线、平面的平行与垂直例5.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点. （1）求证：C 1M ⊥平面A 1ABB 1；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；（1）【证明】方法一由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.（2）【证明】由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，∵AC∴A1B⊥平面AMC1，又AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）【证明】方法一由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN//B1M.∴四边形AMB1N是平行四边形.∴AM∥B1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 //AB.∴MB1 //BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.∴BB1 //MN.又由BB1//CC1，知MN//CC1.∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1M//CN.又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式1】在四棱锥P—ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，E为AD的中点．（1）求证：BC⊥PB；（2）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC．【思路点拨】（1）根据线面垂直的条件，只要证明BC⊥平面PDB，即可证明BC⊥PB；（2）假设PD上是否存在点G，根据EG∥平面PBC的性质定理，进行求解即可．【证明】（1）如图连结BD，∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，∵AB=AD=PD=1，CD=2，∠ADC=90°，∴∠BAD=90°，∴BD=又AB∥DC，∴BC=BC2+BD2=CD2，即BD⊥BC，∴BC⊥平面PDB，∴BC⊥PB．（2）PD上存在点G，使得EG∥平面PBC．过点E作EF∥BC交DC于F，再过点F作FG∥PC交PD于G，连结EG，易得14DG PD=．例6．如图所示，在五棱锥P-ABCDE，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积．【解析】(1)证明：因为∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，所以在△ABC中，由余弦定理得：AC 2＝22424cos 458+-⨯=°，解得AC =AB 2+AC 2＝8+8＝16＝BC 2，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ．又PA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ．又AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAC ．又因为CDC 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC ． (2)由(1)知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PCD ．又AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离等于点B 到平面PCD 的距离．过点B 作BO ⊥平面PCD 于点O ，连接PO ，则∠BPO 为所求角，且AH ＝BO ，又容易求得AH ＝2，所以sin ∠BPO ＝12，即∠BPO ＝30°，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30°． (3)由(1)知CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ．又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形．又容易求得DE ，所以四边形ACDE 的面积为132⨯=，所以四棱锥P -AC -DE 的体积为133⨯=【总结升华】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们的空间想象能力． 举一反三：【变式1】（2016 天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2，DE =3，BC =EF =1，AE =BAD =60°，G 为BC 的中点．（1）求证：FG ∥平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．【证明】（1）BD 的中点为O ，连接OE ，OG ，在△BCD 中， ∵G 是BC 的中点， ∴OG ∥DC ，且112OG DC ==， 又∵EF ∥AB ，AB ∥DC ， ∴EF ∥OG ，且EF =OG ， 即四边形OGEF 是平行四边形， ∴FG ∥OE ，∵FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，∴FG ∥平面BED ；（2）证明：在△ABD 中，AD =1，AB =2，∠BAD =60°，由余弦定理可得BD =，仅而∠ADB =90°， 即BD ⊥AD ，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD =AD ， ∴BD ⊥平面AED ， ∵BD ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面AED ． （3）∵EF ∥AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH ⊥DE 于点H ，连接BH ， 又平面BED ∩平面AED =ED ， 由（2）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为∠ABH ，在△ADE ，AD =1，DE =3，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，∴sin 3ADE ∠=，∴3AH AD =⋅，在Rt △AHB 中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 【总结升华】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力．类型四：折叠问题例7．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -C -D ．求证：平面ABC ⊥平面BCD ．证明：如下图，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图形．PP∵ 平面ABC ⊥平面ACD ，交线为AC ，又AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°(在图(1)中)， ∴ ∠ACD ＝90°，CD ⊥AC ．∴ C D A B C C D B C D⊥⎫⇒⎬⎭平面平面Þ平面ABC ⊥平面BCD ．举一反三：【变式1】如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .图1 图2【解析】证明：（Ⅰ）取1A E 中点M ，连结,QM MF ．在△1A BE 中，,Q M 分别为11,A B A E 的中点，所以QM ∥BE ，且12QM BE =．因为12CF CP FA PB ==，所以PF ∥BE ,且12PF BE =， 所以QM ∥PF ，且QM PF =． 所以四边形PQMF 为平行四边形．所以PQ ∥FM ． 又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ，所以PQ ∥平面1A EF ．（Ⅱ） 取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. 所以在图2中有1A E EF ⊥. 因为平面1A EF ⊥平面EFB ，平面1A EF平面EFB EF =，所以1A E ⊥平面BEF . 又EP ⊂平面BEF ，所以1A E ⊥EP .。

立体几何初步知识点：正方体的对称性
介绍
在立体几何中，对称性是一个重要的概念。

对称性可以帮助我们理解几何形状的特征和性质。

本文将重点介绍正方体的对称性。

正方体的定义
正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是相等的正方形。

正方体具有如下特点：
- 所有的面都与其他面成直角。

- 所有的边长相等。

对称轴
正方体有多个对称轴，对称轴可以帮助我们发现正方体的对称性。

以下是正方体的对称轴特点：
- 正方体有三个相互垂直的轴，它们分别通过正方体的对角线的中点。

- 沿着这三条轴的旋转可以使正方体保持不变。

对称面
除了对称轴外，正方体还有一些对称面。

对称面将正方体分成不同的区域，这些区域具有相同的形状和大小。

以下是正方体的对称面特点：
- 正方体有三个对面的对称平面，它们分别通过正方体的一个对角线。

- 每个对称平面将正方体分成两个完全相等的部分。

对称性的应用
正方体的对称性使得它在几何建模和计算中具有广泛的应用，例如：
- 对称性可以用于计算正方体的表面积和体积。

- 对称性可以帮助我们理解正方体的旋转和翻转性质。

- 对称性可以用于设计和构建正方体模型。

结论
正方体的对称性是立体几何中重要的概念。

了解和应用正方体的对称性有助于我们深入理解它的特征和性质，并能够灵活运用于实际问题中。

以上是对正方体对称性的初步知识点介绍，希望能为您提供帮助。

第四节直线、平面垂直的判定及其性质【知识点15】直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线和平面垂直的判定定理典型例题：【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．【反思】(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．【变式1】(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)【变式2】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β【变式3】下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个例2(线面垂直的判定)如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【反思】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.求证：AC⊥B1D；【变式2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.知识点【能力提升思考】已知∠BAC在平面α内，P∠α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.【变式1】如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.【反思】(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.【知识点16】直线与平面所成的角典例讲解：【例1】（直线与平面所成的角）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．【反思】求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．【变式1】如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．【变式2】如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2，求OA与平面α所成的角的大小．【思考1】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60° C．45° D．30°【变式1】如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【例4】（综合应用）如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.【方法小结】1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).【知识点17】距离问题典型例题：【例1】如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为∠O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC∠平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．【变式1】已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____【例2】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：PA BCD E（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.【变式1】如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =，1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EA C 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.【例题3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.ABCD EA 1B 1C 1D 1（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.【反思】 求直线到平面距离的方法总结：（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.【变式1】在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．【思考】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.求异面直线1CC 和AB 的距离；ABCD A 1B 1C 1D 1ACBA 1B 1C 1C1A1B1CA BD【感悟】求两条异面直线距离的方法总结：（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．【知识点18】二面角的概念【例1】（概念的理解）有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②【例2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【反思】(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB.【变式1】如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．【变式2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D.3【思考1】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1CC 和AB 的距离；（2）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.C1A1B1CA BD【变式1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？【方法小结】1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．【知识点19】平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β【例1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【例2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在【变式2】α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_____．【例2】（证明面面垂直）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .【延申变式1】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，试证明：平面PCD ⊥平面P AD .【延申变式2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .【反思】证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式1】 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .【变式2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.【思考3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.【方法小结】平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．【能力提升】垂直问题难点突破专题【例1】（空间位置关系相关定理）如图，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD=2BC,AB⊥BC，点E为PD中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）求证：CE//平面PAB．【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ， AB =BC =2,∠ACB =30°AA 1=3, 11,BC A C E ⊥为AC 的中点.求证： 1A C ⊥平面1C EB ；求二面角1A AB C --的余弦值.【例2】（数量关系）如图，三棱锥P ABC -中,PB ⊥底面ABC ,2PB BC ==,1AC =，AB = E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；【变式2】已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形， EF CE ⊥，且AC =， 1AE EC ==， 2BC EF =， //AD EF . （1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；【例3】在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，13,2,AC AB BC CC ===.（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.【变式3】．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ；（2）若AB=BC ， 1AC ，求证：AC 1⊥A 1B ．【例4】(几何图形的特征)．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB.(1)证明：AC⊥BE；(2)求三棱锥A−GFC的体积.-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，【变式4】已知四棱锥P ABCD=∠=，E为AB的中点.AD DAB2,60（1）证明：平面PAB⊥平面PED；（2）若PD=，求E到平面PBC的距离.-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面【例5】（存在性问题）. 如图，四棱锥P ABCDABCD，PA=AD=1，AB=√3，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动.（1）当点F为DC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⊥.（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF AE。