立体几何初步知识点(很详细)

立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。

4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。

5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。

立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。

它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。

接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。

一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。

棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。

直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。

（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。

如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。

（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。

（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。

（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。

（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。

高一立体几何初步知识点总结归纳立体几何是数学中与空间图形有关的一个重要分支学科。

在高中数学课程中，立体几何的学习是初步的，主要包括了一些基本的概念、性质和定理。

下面将对高一立体几何初步知识点进行总结归纳。

一、点、线、面的基本概念1. 点：点是几何图形的最基本单位，没有长度、宽度和厚度。

2. 线：由无数个点按一定顺序排列而成。

直线是无限延伸的，线段是有两个端点的有限线段。

3. 面：由无数个点构成，有长度和宽度，平面是无限延伸的。

二、多面体1. 多面体的定义：多面体是由若干个平面多边形组成的空间图形。

2. 五种特殊的多面体：(1) 正四面体：四个全等的三角形构成的多面体。

(2) 正六面体：六个全等的正方形构成的多面体。

(3) 正八面体：八个全等的正三角形构成的多面体。

(4) 正十二面体：十二个全等的正五边形构成的多面体。

(5) 正二十面体：二十个全等的正三角形构成的多面体。

三、棱、面、顶点1. 棱：多面体相邻面共有的边。

2. 面：多面体的平面部分。

3. 顶点：多面体相邻面的公共端点。

四、正投影与斜视图1. 正投影：将立体图形在平面上的投影。

2. 斜视图：根据正投影可画出的三视图中非正视图。

五、视点的选择1. 直接视点法：视点距离物体较近，视点方向垂直于物体表面。

2. 导向视角法：视点在表面上，视线垂直于表面法线。

六、平行线与平面的位置关系1. 平行线：不相交的线，它们的斜率相等。

2. 平面：由无数个平行线构成。

3. 平面与平行线的位置关系：平行线在平面上，平面外，平面内。

七、平面和立体的交线1. 平面和立体的交线：(1) 点线相交：平面和立体的边或棱相交。

(2) 线线相交：平面和立体的棱相交。

(3) 线面相交：平面和立体的面相交。

八、棱角关系1. 垂直：两条相交线段的交角为90度。

2. 平行：两条线段互不相交且在同一平面内。

九、立体几何中的重要定理1. 重心定理：在三角形中，三条重心连线所交于一点，该点即为三角形的重心。

立体几何知识点总结(全)重合直线：完全重合，有无数个公共点。

三．点与平面的位置关系点与平面的位置关系有以下三种情况：点在平面上；点在平面外；点在平面内。

四．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有以下三种情况：直线与平面相交，相交点为一点；直线在平面内；直线与平面平行，没有交点。

五．平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有以下三种情况：平面相交，相交线为一条直线；平面平行，没有交点；平面重合，完全重合。

1)定义：两个平面相交于一条直线，且这条直线与两个平面的法线垂直，则这两个平面垂直；2)判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。

符号：a,b简记为：线面垂直，则面面垂直.符号：aba b4．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则它们的交线垂直于这两个平面。

符号：a b。

a简记为：面面垂直，则线线垂直.符号：abb定义：当两个平面所成的二面角为直角时，这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

可以简记为：线面面垂直，则面面垂直。

符号表示为l，推论是如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

可以简记为面面垂直，则线面垂直。

证明线线平行的方法包括三角形中位线、平行四边形、线面平行的性质、平行线的传递性和面面平行的性质。

证明线线垂直的方法包括定义中的两条直线所成的角为90°，线面垂直的性质，利用勾股定理证明两相交直线垂直，以及利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直。

立体几何基本知识立体几何是几何学的一个重要分支，研究空间中的图形和形体的性质和关系。

在立体几何中，我们主要关注点、线、面以及它们之间的相互关系。

本文将介绍立体几何的基本知识，包括立体的概念、常见的立体形状以及它们的性质。

一、立体的概念在几何学中，立体是指具有长度、宽度和高度的物体。

立体可以看作是由若干平面围成的封闭空间。

它有三个维度，可以从各个角度进行观察和描述。

与此相对应，平面是指仅有长度和宽度、没有高度的二维几何形状。

二、常见的立体形状1. 三棱柱：三棱柱是由两个平行且相等的底面通过三个矩形侧面连接而成的立体形状。

它有三条棱，两个底面和三个矩形侧面。

三棱柱的特点是底面边的长度和形状相等。

2. 四棱锥：四棱锥是由一个四边形底面和四个三角形侧面连接而成的立体形状。

它有四条棱，一个底面和四个三角形侧面。

四棱锥的特点是底面是一个四边形，而侧面是四个三角形。

3. 球体：球体是由所有距离球心相等的点组成的立体形状。

它没有边和面，只有曲面。

球体的特点是半径相等的所有点到球心的距离相等。

4. 圆柱体：圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和连接它们的侧面组成的立体形状。

它有两个底面和一个侧面，侧面是一个矩形。

圆柱体的特点是两个底面相等且平行。

5. 圆锥体：圆锥体是由一个圆底面和连接它们的侧面组成的立体形状。

它有一个底面和一个侧面，侧面由底面中心到侧面边界上的点组成。

圆锥体的特点是底面是一个圆。

三、立体形状的性质1. 面积：立体形状的面积是指其表面的大小。

不同的立体形状具有不同的计算公式，如三棱柱的表面积为底面积加上三个侧面的面积之和。

2. 体积：立体形状的体积是指其所占的空间大小。

不同的立体形状也有不同的计算公式，如球体的体积为4/3乘以圆周率π乘以半径的立方。

3. 边长、半径和高度：立体形状的边长、半径和高度是描述其大小的重要参数。

这些参数可以帮助我们计算其他性质，如底面积、侧面积和体积。

4. 对称性：一些立体形状具有特定的对称性，如球体和圆柱体都具有旋转对称性。

立体几何的全部知识点立体几何是九年级数学中常见的概念，属于几何学知识，包括三维空间中各种形状和投影，以及它们之间的关系，有助于我们研究物体的结构和代数运算，为物体的准确表达提供帮助。

立体几何的知识点包括：一、定义和符号：（1）体积：体积V是在某一时刻，某一物体的容积所表示的实际大小。

（2）表面积：Surface Area S 是在某一时刻，某一物体的整个表面的面积总和。

（3）立体角：立体角也称为穹顶角，它由三条相交的边组成，表示物体上某一点到其他三面所角度的总和。

（4）体积和表面积的符号分别为V和S。

二、投影：（1）正投影：正投影是指沿着平面对物体进行投影，显示物体的各面的立体效果，物体被投影到平面上，形成新的三维形体。

（2）侧投影：侧投影是把物体投影到平面上，只显示物体上与投影面垂直的一部分，不会显示其上斜角或斜面。

三、变换：（1）平移：平移是把物体移动到新位置，沿着一个给定的方向进行移动。

（2）旋转：旋转是把物体局部或整体移动到新位置，沿着一定角度和指定的锥形旋转。

（1）水平投影：水平投影指通过把物体置于水平平面上来进行投影，表达投影物作为物体的一部分的立体视觉效果。

（3）正交投影：正交投影是将物体的正面以一个给定的垂线作为视轴，把物体投影到一个直角坐标系上，以呈现其真实模样。

(4) 仿射投影：仿射投影是把物体投射到平面上，同时保留物体形状和位置的相对关系，物体经过一个仿射变换，可以在平面上表示一种实体的完整的立体形状。

五、三角形几何：（1）三角形的周长：三角形的周长是指给定三角形的三条边之和。

（3）余弦定理：余弦定理是指在一个三角形中，要么是给定三条边，要么是两条边和夹角之间存在性质，充分表示相应之间关系。

（4）余切定理：余切定理是指在一个三角形中，无论如何，两条边的余切值都是一定的。

（5）三角函数：三角函数是以这三个角的正弦、余弦和正切为变量表示的函数，三角函数可以用来求解复杂的三角形。

学习必备欢迎下载第一章《立体几何初步》单元知识总结知识链接构成几何体的基本元平行投影与中心投空间几何体柱，锥，台，球的结构特征柱，锥，台，球的表面积和体积直观图和三视图的画法平面的基本性质确定平面的条件空间平行直线及其传递点，线，面之空间中的平行关直线与平面平行的判定及性间的位置关质系平面与平面平行的判定及性直线与平面垂直的判定及性空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定及性点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航1.学习方法指导（ 1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台， 当上底面扩展为下底面的全等形时， 就变为一个直棱柱； 当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由 S 正棱台侧1(c c )h 和 V 正棱台h(sss s ) ，就可看出它们的侧面积与体积23公式的联系。

（ 2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个 公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直。

高一立体几何初步知识点归纳总结立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的图形、体积和表面积等属性。

在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，本文将对高一学生需要了解和掌握的立体几何初步知识点进行归纳总结。

一、基本概念1. 点、线、面、体：点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点连接而成，面是由无数个线连接而成，体是由无数个面连接而成。

2. 点的命名：用字母表示点，如A、B、C等。

3. 直线和射线：直线是由无数个点连成的，没有起点和终点；射线有一个起点，另一端是无穷远的一个方向。

4. 直线的交点：当两条直线相交时，它们交叉的点称为交点。

二、图形的分类1. 平面图形：包括点、线、面。

常见的平面图形有三角形、四边形、圆形等。

2. 空间图形：包括点、线、面、体。

常见的空间图形有立方体、长方体、球体等。

三、空间图形的表示方法1. 投影法：将三维图形在二维平面上的投影来表示，包括正投影和斜投影两种方式。

2. 正投影：投影线垂直于二维平面，每条线投影到平面上都是等长的。

3. 斜投影：投影线与二维平面不垂直，不能保持等长。

四、多面体的特征1. 多面体：指三维空间中的一个封闭的表面，包括四面体、六面体等。

2. 顶点、边、面：顶点是多面体的角，边是多面体的边界，面是多面体的侧面。

3. 万能面：多面体中的一个面，它既是一个面的边界，也是另一个面的侧面。

4. 对称面：多面体中的一个面，它在空间中有对称轴。

五、立体图形的计算1. 体积：立体图形所占的空间大小，单位通常为立方厘米或立方米。

不同图形的计算方式不同，如长方体的体积为底面积乘以高度，球体的体积为四分之三乘以半径的立方。

2. 表面积：立体图形的外表面大小，单位通常为平方厘米或平方米。

不同图形的计算方式不同，如长方体的表面积为底面积的两倍加上底面周长乘以高度，球体的表面积为四乘以半径的平方。

六、平行面和相交面1. 平行面：在空间中，两个或多个面的方向相同或互相平行。

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线：两条直线的夹角为90度。

XXX.三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：需要指定一个方向向量，点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一点都在平面上；直线在平面内部：直线与平面没有交点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个交点；直线平行于平面：直线与平面没有交点，且方向向量与平面法向量垂直。

改写后：一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。

其中，正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度；侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度；俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

在三视图中，长对正，高平齐，宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。

二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。

基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy，建立斜坐标系x'O'y'，并画出对应图形。

在直观图中，已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴，长度不变；已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴，长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。

三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R)，其中r表示底面半径，l表示母线长度，R表示上底面半径。

圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3)，其中S为底面积，h为高度。

球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。

四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理，分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直；点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方；直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。

春季高考立体几何局部知识点梳理及历年试题一.线面之间空间关系及证明方法A.线〃线的证明方法1 .将两条直线放到一个平面内（或者转移到同一平面内）利用平行四边形或者三角形的中位线来证明2 .一条直线与一个平面平行,那么过这条直线的任一平面与此平'u\面的交线与该直线平行.（线〃面今线〃线）....... J3 .如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面〃面分线〃线）4 .垂直于同一个平面的两条直线平行。

口B.线J_线的证明方法L异面直线平移到一个平面内证明垂直2.一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内任意直线垂直.（线J_面分线_L线）面）2.如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面（面〃面分线〃面）///D.线_1_面的证明方法1 .一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（线，线今线，2 .两平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（面，面分线，面）E.面〃面的证明方法1 .一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两平面平行（线〃面今面〃面）2 .如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行（线〃线）面〃面）3.垂直于同一条直线的两个平面平行。

4.平行于同一个平面的两个平面平行。

F.面_1_面的证明方法1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线，面）面，面）二.各几何体的体积公式柱体（圆柱，棱柱）V=s-h其中s为底面积，h为高椎体（圆柱，棱柱）V=1s-h其中s为底面积，h为高球体体积外表积S=4irr22021年春考真题23.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，给出以下四个命题：1.AC与BD是相交直线2.AB//DC3.四边形EFGH是平行四边形4.EH〃平面BCD其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.1AC与BD没有相交，是异面直线。

八、立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：⑺在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：⑷一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

立体几何初步知识点㈠间的几何体⒈识和描述棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台多面体：⑴棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是同时与这两个面相邻的平行四边形的多面体棱柱的底面：两个互相平行的面棱柱的侧面：除底面以外的面棱柱的侧棱：相邻两个侧面的公共边棱柱的对角线：既不在同一个底面也不在同一个侧面上的两个顶点的连线棱柱的分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱…….（按照底面的形状）直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱正方体：所有棱长都相等的长方体棱柱的表示：用其两个底面各顶点的字母表示或用其某一条对角线的两个端点的字母表示⑵棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体棱锥的侧面：有公共顶点的三角形面；棱锥的底面：除侧面以外的面棱锥的顶点：各个侧面的公共点；棱锥的侧棱：相邻两个侧面的公共边棱锥的分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥……（按照底面的形状）棱锥的表示：用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示⑶棱台：过棱锥的任一侧棱上不与侧棱端点重合的点，作一个平行于底面的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的部分叫作棱台棱台的底面：截面和原棱锥底面分别叫作棱台的上底面和下底面棱台的侧面：除上底面和下底面以外的面棱台的侧棱：相邻侧面的公共边棱台的对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线棱台的分类：三棱台、四棱台、五棱台……棱台的表示：用上下底面多边形各顶点字母来表示旋转体：⑷圆柱：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体圆柱的轴：旋转轴圆柱的高：在轴上这条边的长度圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于轴的那条边，无论旋转到什么位置，都叫作侧面的母线圆柱的表示：用表示它的轴的字母来表示⑸圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体圆锥的轴：旋转轴圆锥的高：在轴上这条边的长度圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于轴的那条边，无论旋转到什么位置，都叫作侧面的母线圆锥的表示：用表示它的轴的字母来表示⑹圆台：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体圆台的轴：旋转轴圆台的高：在轴上这条边的长度圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于轴的那条边，无论旋转到什么位置，都叫作侧面的母线圆台的表示：用表示它的轴的字母来表示圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形⑺球：以半圆的直径为旋转轴、半圆弧旋转一周形成的曲面围成的几何体球面：球的表面球心：这个半圆圆心球的半径：这个半圆的半径球的性质：球面上所有的点到球心的距离都相等，等于球的半径；用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径⒉立体图形的三视图、直观图，图形的中心投影及平行投影⑴画出三视图或根据三视图说明图形的结构⑵画出直观图（斜二测画法）⑶中心投影：投影中心距投影面有限远时，投射线都经过投影中心的投影法叫作中心投影法，用此法得到的投影叫作中心投影⑷平行投影：所有的投射线都互相平行，或看作投影中心在无限远处，这种投影法叫作平行投影法，用此法得到的投影叫作平行投影⒊ 各类简单几何体的面积和体积公式面积：⑴ 圆柱侧面积rl cl S π2==，其中，r 是圆柱底面半径，c 是底面周长，l 是侧面母线长⑵ 圆锥侧面积rl cl S π==21，其中，r 是圆锥底面半径，c 是底面周长，l 是侧面母线长⑶ 圆台侧面积()()l r r l c c S ''21+=+=π，其中，'r 、r 分别是圆台的上下底面半径，'c、c 分别是圆台的上下底面周长，l 是侧面母线长 ⑷ 球的表面积24r S π=体积：⑸ 拟柱体的体积：()0'461S S S h V ++=，其中，'S 、S 分别是拟柱体的上下底面积，中截面面积为0S ，高为h ，体积为V⑹ 圆柱的体积公式：h r V 2π=⑺ 圆锥的体积公式：h r V 231π= ⑻ 圆台的体积公式：()⎪⎭⎫⎝⎛++=2''231r rr r h V π ⑼ 球的体积公式：334r V π=㈡ 间的直线与平面⒈点、线、面的位置关系⑴平面的表示：小写的希腊字母α、β、γ，…表示；表示平面的平行四边形的字母表示；表示平面的平行四边形的对角顶点的字母表示⑵点、直线、平面的位置关系表示：此处略去⑶直线和平面的确定：公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理2的三条推论①一条直线和直线外一点确定一个平面②两条相交直线确定一个平面③两条平行直线确定一个平面⑷空间的两条直线的位置关系：① 相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公共点；② 平行直线——在同一个平面内，没有公共点；③ 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点⑸直线和平面的位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线和平面相交——有且只有一个公共点；③直线和平面平行——没有公共点公理3 平行于同一条直线的两条直线平行公理4 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线定理1 空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补⒉平行关系⑴直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行⑵直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行⑶平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行⑷平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⒊垂直关系⑴直线与平面垂直①异面直线垂直的定义：设a、b是异面直线，过a上任意一点A作c∥b，如果a⊥c，就称a⊥b②直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面相交，并且垂直于这个平面内所有的直线，就称这条直线与这个平面垂直。

立体几何初步基础知识§1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，棱与棱的公共点叫多面体的顶点，2.由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.探究3：棱柱的结构特征问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism ）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD —A B C D ''''(1)顶棱 A B 'C 'D 'A 'CB6.有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥 .S ABCDE7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.※典型例题例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？简单组合体的结构特征二、新课导学※探索新知探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .圆柱和棱柱统称为柱体.探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试练.如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.A.52255524. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R 3，则高等于__________.课后作业1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒它绕轴旋转0180说法不正确的是___________A.和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm,则球心到截面的距离为多少？。

立体几何初步知识点总结立体几何初步知识点总结立体几何是高中数学中的重要内容，也是许多大学课程的基础。

以下是立体几何初步知识点的总结，希望对初学者有所帮助。

一、立体图形的概念立体图形是指具有三维形态，能够占据一定空间的图形。

常见的立体图形有立方体、正方体、长方体、棱锥、棱台、圆柱体和圆锥体等。

二、立体图形的性质1. 容积：指立体图形占据的空间大小，通常用“立方米”等单位来计算。

2. 表面积：指立体图形表面的大小，通常用“平方米”等单位来计算。

3. 对称性：有些立体图形可以沿着某个平面镜面对称。

例如，正方体可以沿着一条对角线镜面对称，而圆锥体可以沿着底面中心的垂线镜面对称。

三、多面体的计算公式1. 正多面体的公式：对于一个正多面体，如果已知它的棱长为a，那么它的体积公式为V = (1/3)×a^3×n/(tan(π/n))，其中n为多面体的面数。

2. 海龙公式：海龙公式适用于任意形状的多面体，包括不规则多面体。

其公式为V = (1/3)×S×h，其中S为多面体表面积，h为一条从顶点到底面垂线的长度。

四、圆柱体和圆锥体的公式1. 圆柱体的公式：对于一个圆柱体，如果已知它的底面半径为r，高为h，那么它的体积公式为V = πr^2h。

2. 圆锥体的公式：对于一个圆锥体，如果已知它的底面半径为r，高为h，那么它的体积公式为V = (1/3)×πr^2h。

五、解决立体几何问题的步骤1. 确定所求：首先明确自己需要求什么，是体积还是表面积。

2. 确定已知：确定自己已经知道的信息，例如图形的长宽高、面积、体积等等。

3. 选择计算公式：根据所求和已知，选择恰当的计算公式。

4. 进行计算：代入公式，进行计算。

5. 检查答案：计算完成后，要检查答案是否合理，例如是否有负数或过大的数字。

总之，立体几何是高中数学必修课中的重要内容，掌握立体几何的基本知识和计算方法，能够帮助我们解决很多实际问题，更好地理解世界。

立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。

高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)立体几何知识点整理 2. 线面平行：姓名: 方法一：用线线平行实现。

一、直线和平面的三种位置关系：1.线面平行lim lm⊂aI=a}⇒IBa符号表示：2.线面相交方法二：用面面平行实现。

α//βI⊂β⇒Iα符号表示：3.线在面内符号表示：方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量。

⃗⃗且/ɑα.则111α. 3. 面面平行：二. 平行关系：方法一：用线线平行实现。

1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。

lIIaI ⇒lIm方法二：用面面平行实现。

方法三：用线面垂直实现。

1//rm∥m'l. m=β且相交 ⇒α∥βl',m'cα且相交方法二：用线面平行实现。

1/1am//α ⇒α∥β 1. m ⊂β且相交)三.垂直关系：1.线面垂直：若/⊥α,m⊥α,则|∥m.方法四：用向量方法：若向量i 和向量 ⃗共线且1. m 不重合,则|//m 。

方法一：用线线垂直实现。

IA方法二：用面面垂直实现。

2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线重直：方法一：用线面垂直实现。

方法二：三重线定理及其逆定理。

方法三：用向量方法：若向量/和向量⃗的数量积为0,则/⊥m.三.夹角问题。

(一)异面直线所成的角：(1) 范围: (0°,90°](2)求法:方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

转化为向量的夹角(二)线面角(1)定义：直线/ 上任取一点P(交点除外)，作PO⊥α于O,连结AO,则AO为斜线PA 在面α内的射影，∠PAO(图中θ)为直线t与面α所成的角。

(2)范围: [0°.90°]当θ=0°时, 1cα或1//α当θ=90°时, 1⊥α(3)求法:方法一：定义法。

立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。