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高等数学极限与连续性知识点梳理在高等数学的学习中，极限与连续性是极为重要的概念，它们是后续学习微积分等知识的基础。
下面我们来对这部分知识点进行详细的梳理。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
通俗地说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的一个确定的数。
比如，考虑函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，分母趋近于 0 ，直接代入会导致无意义。
但通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，就可以发现当$x$趋近于 1 时，函数值趋近于 2 ，这就是极限的一个简单例子。
极限的定义有多种形式，常见的有$＼lim_{x ＼to a} f(x) ＝ L$，表示当$x$无限接近$a$时，＄f(x)＄的极限为$L$。
二、极限的计算方法1、代入法对于一些简单的函数，直接将趋近的值代入函数中计算极限。
但要注意分母不能为 0 。
2、化简法通过代数运算、约分、有理化等方法将函数化简，然后再求极限。
3、重要极限（1）＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$利用这两个重要极限，可以通过变形和代换来计算很多复杂的极限问题。
4、洛必达法则当遇到$＼frac{0}｛0}＄或$＼frac{＼infty}｛＼infty}＄型的极限时，可以使用洛必达法则，即对分子分母分别求导，然后再求极限。
三、极限的性质1、唯一性如果函数存在极限，那么这个极限是唯一的。
2、局部有界性如果函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数是有界的。
3、局部保号性如果函数在某个点的极限大于 0 （或小于 0 ），那么在这个点的某个邻域内，函数值大于 0 （或小于 0 ）。
四、函数的连续性函数在某一点连续，意味着当自变量在该点的变化很小时，函数值的变化也很小。
具体来说，函数$f(x)＄在点$x_0$处连续，需要满足三个条件：1、函数$f(x)＄在点$x_0$处有定义；2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在；3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在其定义域内的每一点都连续，就称该函数为连续函数。
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中，函数极限与连续性是一道难题，许多学生常常感到头疼。
然而，只要掌握正确的解题方法和技巧，这类题目不再是难题。
本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法，帮助学生们更好地应对这一考点。
一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。
在解决函数极限难题时，一般可以采取以下步骤：1. 确定x趋于的值：首先，需要明确x的变化趋势，是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。
根据情况，选择使用不同的极限判断方法。
2. 分解式并化简：对于复杂的函数，可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目，找到解题的突破口。
将函数拆解成更简单的形式，有助于快速求解。
3. 利用常用极限公式：高考中涉及到的函数极限问题中，有许多常用的极限公式可以利用。
例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。
当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时，可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式，进一步求解。
5. 利用夹逼定理：夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。
当某一函数趋于极限时，可以找到两个已知函数，一个极限值较小，一个极限值较大，通过这两个函数夹逼待求函数，从而确定其极限。
二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点，解决函数连续性难题可以采取以下方法：1. 确定函数的定义域：首先，需要明确函数的定义域，即x的取值范围。
根据定义域的特点，确定函数在该范围内是否连续。
2. 利用函数连续性的性质：函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。
例如，有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。
3. 分段讨论函数的连续性：对于分段函数，可以将函数分为不同的区间，并分别讨论每个区间上的连续性。
通过分段讨论，可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。
4. 利用介值定理和零点定理：介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。
第94课时：第十二章 极限——函数的极限与连续性 课题：函数的极限与连续性
教学目标：1.使学生掌握当0x x →时函数的极限；
2.了解：0lim ()x x f x A →=的充分必要条件是00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-
→→==掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：掌握当0x x →时函数的极限。
运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用。
对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程：
一．函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，C C x x =→0lim ；00
lim x x x x =→
)(→B x g o
x x
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o x x x x →→= n x x n x x x f x f o
o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1．求下列函数在X ＝0处的极限
（1）121lim 22
0---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）22,0()0,01,0x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩
例2 求)3(lim 2
2x x x +→
例3 求1
12lim 231++-→x x x x
例4 求4
16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.
例5 求1
33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2
x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k
x x ∈==∞→∞→
例6 求1
342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例5一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3
x ，就可以运用法则
计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 21
-→x x ； （2）)132(lim 22
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4
+-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y 五 小结
1.函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
2．有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
3．函数的运算法则成立的前提条件是函数Λ)(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
4．两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
5．在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x （4）)14
13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x x x x x x -++→ （7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x （10）x m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x
x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x （13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）323
23526lim x x x x x x x ----∞→。
