7.3--7.4与三角形有关的边与角冲刺单元-3.doc

期末冲刺讲义（一）一、全等三角形补充【知识链接】与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

证明方法：利用平行线性质由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角结合内角和可知：三角形的外角最少两个钝角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等7、A+B=C，或者A-B=C等相似形式，均可推出三角形为直角△8、A+B<C，或者A-B>C等相似形式，均可推出三角形为钝角△9、A+B>C等形式，可以说明C为锐角，但不能因为C为锐角，推出三角形为锐角△！三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）*1808、多边形的外角和：360度注：有些题，利用外角和，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线n*（n-3）/2四、镶嵌一种正多边形镶嵌，则此360除以正多边形的内角为整数两种正多边形镶嵌，若第一个正多边形内角为X，第二个正多边形内角为Y，则Xm+Yn=360有正整数解2A解此方程的时候，左右两边应该先约分，再用列举法去验证方程是否有正整数解 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳：（1）(2)__________D ∠= ___________D ∠=（3）___________D ∠=练习：如图，在ABC 中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交，1BC A ∠与1CD A ∠的平分线教育2A 。

11.1 三角形有关的线段：1.三角形的定义及表示方法：由不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形有3个顶点，3个角，三条线段。

三个角对应3个边。

三角形的符号，记为“⊿”。

3.三角形的分类：（1）按角分类；（2）按边分类:（1）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 （2）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形三角形等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.三角形三条重要的线段：高，中线，角平分线，都是线段。

高：三角形的高2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩锐角三角形：三角形内（交点在内部）直角三角形：两个直角边，三角形内有一条（交点是直角顶点）钝角三角形：个锐角所对的边上的高在三角形外， 钝角所对的边上的高在三角形内部（交点在外部）中线：交点在三角形内部，一条中线将三角形分成面积相等的2部分，三条中线的 交点，又叫重心。

角平分线：交点在三角形的内部。

5.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，若将多边形转化为三角形，四边形至少需要订1根木条，五边形需要订2根，六边形需要订3根，、、、、n 边形需要（n —3）（n 为正整数）6.三角形的内角和等于180°。

证明方法：做平行线，裁剪3个角，拼成一个平角。

7.补充讲解外角专题训练一：数三角形的个数：DCBEADECBACDBADE CGFBA训练（1）训练（2）专第2题专第3题专题二：三角形的分类：1.三角形按边分类可分为三角形和三角形，其中等腰三角形又可以分为三角形和三角形；三角形按角分类可分为三角形和三角形，其中斜三角形又可分为三角形和三角形。

2.如图所示，（1）图中共有个三角形，它们是；（2）以AD为边的三角形有；（3）∠C分别为⊿AEC,⊿ADC,⊿ABC中，，边的对角。

（4）∠AED是、的内角。

（5）⊿AED的三条边是，，，三个内角是，，。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°， 故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6； 故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】 如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥， 面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16， 故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误． 故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（ ）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=， 故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ， 故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ， 故④不正确； 故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】 分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=． 在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或53． 故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于 ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝ 而90ABC ∠︒＝ ， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ． 故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019） 【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和【与三角形有关的角练习（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016春?故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c ﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠ B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°．即∠FCD =16°．【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠D AE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. （2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D?两点，?使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．?你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

初三数学复习教案（三角形边角关系）一、知识梳理1、三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：2．三角形的边与边之间的关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边；3．三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余. 4．适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么∆DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.（2）基本图形二，如图10，如果BD是∠ABC的角平分线，M是AB上一点，MN⊥BD，且与BP,BC 相交于P,N.那么BM=BN，即∆BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形. 当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12. 二、例题分析例1、已知：等腰三角形的周长是24cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)已知其中一边长为6cm，求其他两边长.例2. 已知∆ABC中，AB=AC，D是BA的延长线上的一点，E是AC上的一点，AD=AE，DE的延长线交BC于F，如图，求证：DF⊥BC例3. 已知，如图，AD是∆ABC的角平分线，BF⊥AD交AD的延长线于F，E是BC的中点，求证：EF=(AB-AC )例4. 已知：∆ABC中，D是AB边上任意一点，连结CD，求证：AB+AC>DB+DC例⒌已知：∆ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，EF⊥AD于G，交AB于E，AC于F，交BC的延长线于M，求证：∠M=(∠ACB -∠B).三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形图11图9A BCDEF 例 6 用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．例7．如图，已知∠A=15°，∠ABC=90°，∠ACB= ∠DCE ，∠ADC=∠EDF ，∠CED=∠FEG ，求∠F 的大小．例8 已知：∆ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，过D 作BC 的平行线交AB,AC 于E ，F 求证：EF=BE+CF三、同步练习：⒈ 一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，则这个三角形是______三角形. ⒉ 一个等腰三角形的两边长分别是3 cm 和6 cm ，则它的周长是_____cm. ⒊ 在∆ABC 中，∠A =30︒，∠B =2∠C ，则∠C =______度，∠B =______度.4． 如果一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，那么顶角的度数是_____度.5．有两块同样大小且含角60°的三角板，把它们相等的边拼在一起（两块三角板不重叠），可以拼出 个四边形。

第七章《三角形》知识归纳及配套练习题与三角形有关的线段 (1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎪⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角 (3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(4)三角形三边间的关系.①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,, ②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,, (5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形 的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.本章知识结构图例1:已知BD,CE 是ABC ∆的高，直线BD,CE 相交，所成的角中有一个角为50°， 则等于BAC ∠分析:本题中由于没有图形, ABC ∆的形状不确定,应分两种情况:①ABC ∆是锐角三角形 ②ABC ∆是钝角三角形 解:50或130(过程略)例2:如图,已知ABC ∆中,ACB ABC ∠∠和的角平分线BD,CE 相交于点O,且60=∠A ，求BOC ∠的度数例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x 和4,周长为c,求x 和c 的取值范围.解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边x 的范围应满足: 410410+<<-x 即6<x <14.2420,41010641010610≤<++≤<++∴≤<∴c c c x 即的范围满足周长是最长边与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°。

专题01 三角形中三边关系、高线、中线、角平分线压轴题十三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一三角形的稳定性】 (1)【考点二三角形的分类】 (3)【考点三构成三角形的条件】 (5)【考点四确定第三边的取值范围】 (6)【考点五三角形内角和定理的证明】 (8)【考点六与平行线有关的三角形内角和问题】 (11)【考点七与角平分线有关的三角形内角和问题】 (13)【考点八画三角形的高】 (15)【考点九与三角形的高有关的计算问题】 (17)【考点十根据三角形中线求长度】 (19)【考点十一根据三角形的中线求面积】 (21)【考点十二三角形角平分线的定义】 (24)【考点十三利用网格求三角形面积】 (26)【过关检测】 (29)【典型例题】【考点一三角形的稳定性】例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．三角形的内角和为180°D．垂线段最短【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的稳定性解答即可．、、选项中都没有三角形，【详解】解：选项B中摇椅的支架上有三角形，其余A C D由三角形的稳定性可知，选项B利用三角形的稳定性，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【详解】解：钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性【点睛】此题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【考点二三角形的分类】例题：（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）下列分类正确的是（）A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类即可求解．【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形故选：D．【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A ．甲、乙两种分法均正确B ．甲、乙两种分法均错误C ．甲的分法错误，乙的分法正确D ．甲的分法正确，乙的分法错误【答案】D 【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：故选：D ．【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段AC 为公共边的三角形是___________．（3）线段CD 所在的三角形是_______，BD 边所对的角是________．【答案】 6 ABD △，ACD V ，ADE V ABC V ，ACD V ，ACE △ ACD V BADÐ【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；（2）观察图形可找到以线段AC 为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段CD 所在的三角形以及BD 边所对的角；【详解】（1）由图可知，图中三角形有ABC V 、ADB V 、AEB △、ACD V 、ACE △、ADE V ，\图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有ABD △，ACD V ，ADE V ；故答案为：6，ABD △，ACD V ，ADE V ；（2）由图可知，以线段AC 为公共边的三角形是ABC V ，ACD V ，ACE △；故答案为：ABC V ，ACD V ，ACE △；（3）由图可知，线段CD 所在的三角形是ACD V ，BD 边所对的角是BAD Ð；故答案为：ACD V ，BAD Ð．【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．【考点三 构成三角形的条件】例题：（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）A ．2cm ，4cm ，7cmB ．3cm ，6cm ，9cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．4cm ，4cm ，9cm【答案】C【分析】根据三角形三边关系求解．【详解】由三角形三边关系：A . 2cm ，4cm ，7cm ，247+<，不能组成，本选项不合题意，B . 3cm ，6cm ，9cm ，369+=，不能组成，本选项不合题意，C . 3cm ，4cm ，5cm ，345+>，可以组成，本选项符合题意，D . 4cm ，4cm ，9cm ，449+<，不能组成，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查三角形三边关系定理，熟悉相关定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东揭阳·七年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．4，6，10B．2，5，8C．3，4，5D．5，7，13【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断即可．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得+=，不能组成三角形；A中，4610+<，不能组成三角形；B中，258C中，3475+=>，能够组成三角形；D中，571213+=<，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）下列三条线段中，不能组成三角形的是（）A．3、4、5B．3、4、7C．7、8、13D．8、9、16【答案】B【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边进行分析即可．+>，能构成三角形，故此选项不符合题意；【详解】解：A．345+=，不能构成三角形，故此选项符合题意；B．347+>，能构成三角形，故此选项不符合题意；C．7813+>，能构成三角形，故此选项不符合题意．D．8916故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．【考点四确定第三边的取值范围】例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【答案】7或9或11【分析】设第三边为a ，根据三角形的三边关系可得：9494a -<<+，然后再根据第三边是偶数，确定a 的值即可．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系可得：9494a -<<+．即：513a <<，∵周长是偶数，∴第三边的长为奇数，即：7a =或9a =或11a =．∴第三边长为7或9或11．故答案为：7或9或11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】【考点五三角形内角和定理的证明】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨论，以下四个学生的作法V的内角和为180°的是（）中，不能证明ABC∥B．延长BC到点D，过点C作A．过点A作AD BCCE AB∥C ． 过点A 作AD BC ^于点D D ．过BC 上一点D 作DE AC ∥，DF ABP 【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：A 、由AD BC ∥，则CAD C Ð=Ð，180BAD B Ð+Ð=°．由180DAC BAC B Ð+Ð+Ð=°，得180BAC C B Ð+Ð+Ð=°，故符合题意．B 、由CE AB ∥，则A ACE Ð=Ð，B DCE Ð=Ð．由180ACE ECD ACB Ð+Ð+Ð=°，得180A B ACB Ð+Ð+Ð=°，故符合题意．C 、由AD BC ^于D ，则90ADC ADB Ð=Ð=°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．D 、由DE AC ∥，得FDE BED Ð=Ð，A BED Ð=Ð，则FDE A Ð=Ð．由DF AB P ，得FDC B Ð=Ð，C BDE Ð=Ð，由180BDE EDF FDC Ð+Ð+Ð=°，得180C A B Ð+Ð+Ð=°，故符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）A ．延长BC 至D 过C 作CE AB ∥B ．过A 作DE BC ∥C ．过D 作DE BC ∥D ．过P 作FG AB ∥，DE BC ∥，HI ACP【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（ ）定理：三角形的内角和为180°．已知：ABC V ．求证：180A B ACB Ð+Ð+Ð=°．证明：延长BC 到点D ，过点C 作@CE ∥，A \Ð=◎（两直线平行，内错角相等），B Ð=___▲______（_____※______）．180ACB ACE ECD Ð+Ð+Ð=°Q （平角定义），【考点六 与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，过点C 作EF AB ∥．若55ECA Ð=°，则B Ð的度数为（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可求得出A Ð的度数，然后在ABC V 中利用三角形内角和定理即可求出B Ð的度数．【详解】解：∵EF AB ∥，55ECA Ð=°，∴55A ECA Ð=Ð=°，∵在ABC V 中，55A Ð=°，90ACB Ð=°，∴180180559035B A ACB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是180°是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知60E Ð=°，45C Ð=°，EF BC ∥，则BND Ð为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．105°【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出30F Ð=°，45B Ð=°，由平行线的性质得出30FDB F ÐÐ==°，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD 的度数．【详解】解：∵60E Ð=°，90FDE Ð=°，∴30F Ð=°，同理可得：45B Ð=°，∵EF BC ∥，∴30FDB F ÐÐ==°，∴180BND B FDB Ð=°-Ð-Ð1804530105=°-°-°=°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，DEF V 的顶点D ，E 在ABC V 的边BC 上，EF AC ∥，DF AB P ，若55A Ð=°，则F Ð的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得B FDE Ð=Ð，C FED ÐÐ=，再根据三角形内角和定理得A F Ð=Ð，即可得到答案．【详解】解：∵,EF AC DF AB ∥∥，∴B FDE Ð=Ð，C FED ÐÐ=，∵180A B C Ð=°-Ð-Ð，180F FDE FED Ð=°-Ð-Ð，∴A F Ð=Ð，∵55A Ð=°，∴55F Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．【考点七 与角平分线有关的三角形内角和问题】【答案】110°/110度【分析】由三角形的内角和定理可求得70CBD BCD Ð+Ð=°，从而可求【详解】40A Ð=°Q ，180ABC ACB \Ð+Ð=°-()180110D CBD BCD \Ð=°-Ð+Ð=°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在ABC V 中，AN 是BAC Ð的平分线，=60B а，80ANC Ð=°．求C Ð的度数．【答案】80°【分析】根据三角形内角和为180°，分别列出ACN △和ABC V 的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．【详解】ANC B BAN Ð=Ð+ÐQ ，=60B а，80ANC Ð=°．806020BAN ANC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，AN Q 是BAC Ð角平分线，222040BAC BAN \Ð=Ð=´°=°，在ABC V 中，180180604080C B BAC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，BD 是ABC Ð的角平分线，作DE BC ∥交AB 于点E ，50C Ð=°，100Ð=°BDC ，求BED Ð的度数．【答案】120°【分析】利用三角形内角和求出CBD Ð，根据角平分线的定义得到ABD Ð，根据平行线的性质求出BDE Ð，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵50C Ð=°，100Ð=°BDC ，30CBD \Ð=°，BD Q 平分ABC Ð，30ABD CBD \Ð=Ð=°，又DE BC Q ∥，CBD BDE \Ð=Ð，30BDE ABD \Ð=Ð=°，180120BED ABD BDE \Ð=°-Ð-Ð=°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点八 画三角形的高】例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．【详解】解：ABC V 中AC 边上的高即为过点B 作AC 的垂线段，该垂线段即为AC 边上的高，四个选项中只有选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段BD 是ABC V 的高的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A ．线段BD 是BDA △的高，选项不符合题意；B ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；C ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；D ．线段BD 是ABC V 的高，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，AD BC ^，EC BC ^，CF AB ^，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（ ）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB V 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB V 中，FC 是BE 边上的高【答案】B 【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A 、ABD △中，AD 是BD 边上的高，故此选项正确，不符合题意；B 、ABD △中，EC 不是BD 边上的高，故此选项错误，符合题意；C 、CEB V 中，EC 是BC 边上的高故此选项正确，不符合题意；D 、CEB V 中，FC 是BE 边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．【考点九与三角形的高有关的计算问题】A．3【答案】D【分析】根据面积相等即可求出点【详解】解：∵在直角三角形【变式训练】【答案】154 AD=．【分析】根据三角形的面积公式即可求得．(1)求ABC V 的面积；(2)求AC 的长；(3)ABD △和ACD V 的面积有何关系？【答案】(1)30【考点十 根据三角形中线求长度】例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，AD 是ABC V 的中线，8AB =，6AC =．若ACD V 的周长为16，则ABD △周长为__________．【答案】18【分析】根据三角形的中线的概念得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：AD Q 是ABC V 的中线，BD CD \=，ACD QV 的周长为16，16AC CD AD \++=，6AC =Q ，10CD AD BD AD \+=+=，8AB =Q ，18AB BD AD \++=．故答案为：18．【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABC V 的周长为18，8BC =，AD 是边BC 上的中线，ABD △的周长比ACD V 的周长大2，则AC 的长为______．【答案】4V的周长为18，【分析】依据ABCV的周长为18【详解】解：∵ABC(1)当AE为边BC上的中线时，若Ð的角平分线时，若(2)当AE为BAC【答案】(1)4(2)15°【考点十一根据三角形的中线求面积】A．4B．5【答案】B【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明【详解】解：如图所示，连接F Q 为CE 中点，1S S 2BFC BEC \=V V .同理可得，1S S 2CDE ADC =V V 1S S S S 2CDE BDE BCE \+==V V V 【变式训练】1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC V 的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）（1）AOE COE S S =V V ；（2）AOB EODC S S =V 四边形；（3）2BOC COE S S =V V ；（4）4ABC BOC S S =V V ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】如图，首先证明AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ）；进而证明2AOB COB S S m ==V V ，2AOC BOC S S m ==V V ，得到2AOC BOC S S m ==V V ，进而得到l m =，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题【详解】解：∵AD BE 、是ABC V 的中线，∴AE CE BD CD ==，；∴AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ），ABE CBE S S =V V ，∴2AOB COB S S m ==V V ；同理可证：2AOC BOC S S m ==V V ，即22l m =，l m =；∴选项（1）、（2）、（3）均成立，选项（4）不成立，故选：C ．【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC V 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC V 的面积是________2cm ．【答案】8【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点F 是CE 的中点，AEF △的面积为22cm ，∴224cm ACE AEF S S ==△△．∵点E 是BD 的中点，∴ADE ABE S S =V V ，CDE CBE S S =△△．∴24cm ACE ADE CDE ABE CBE S S S S S =+=+=△△△△△．∴28cm ABC ADE CDE ABE CBE S S S S S =+++=△△△△△，故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．【考点十二 三角形角平分线的定义】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，AB CD ∥，CE 平分ACD Ð，若120A Ð=°，则AEC Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A 【分析】根据AB CD ∥，120A Ð=°，可得60ACD Ð=°，再由角平分线的定义可得30ECD Ð=°，再利用平行线的性质可得AEC ECD Ð=Ð，即可得到结果．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，120A Ð=°，∴18012060ACD Ð=°-°=°，∵CE 平分ACD Ð，∴30ECD Ð=°，∴==30AEC ECD Ðа，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，CE 是ABC V 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知【答案】32°【分析】根据平行线的性质得到1322BCE ACB ==°∠∠即可得到答案．【答案】见解析【分析】由BE 平分∠论．【详解】证明：∵BE 平分∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴BC //DE ．【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．【考点十三 利用网格求三角形面积】 【答案】3.5【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可．【详解】解：如图，ABC DBC DEFB S S S =-V V 正方形113313122=´-´´-´´9 1.513=---3.5=．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79´的网格，每一小格均为正方形，已知ABC V ．(1)画出ABCV中BC边上的中线AD；(2)画出ABCV中AB边上的高CE．(3)直接写出ABCV的面积为_________【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)6．（2）如图，CE即为所求；（3）14362ABCS=´´=△；故答案为：6．(1)画出ABCV中边BC上的高(2)画出ABCV中边AB上的中线(3)直接写出ACE△的面积为______（2）如图，线段CE即为所求；（3）12442ACES=´´= V．故答案为：4．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3，4，5B．8，7，15C．3，4，8D．5，5，11【答案】A【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3475+=>，能组成三角形；B、8715+=，不能组成三角形；+=<，不能组成三角形；C、3478+=<，不能组成三角形．D、551011故选：A．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A 、B 、D 都是利用了三角形的稳定性.故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，解题的关键是分析能否在同一平面内组成三角形．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图所示，ABC V 中AB 边上的高是（ ）A ．BDB ．AEC ．BED ．CF【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可．【详解】解：由图可得， ∵CF AB ^，∴ABC V 中AB 边上的高是CF ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．4．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在三角形ABC 中，CD 为ACB Ð的平分线，115ABC Ð=°，25A Ð=°，则BCD Ð的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】求出ACB Ð的度数，再根据角平分线定义求解即可．【详解】解：在三角形ABC 中，115ABC Ð=°，25A Ð=°，则18040ACB A ABC =°--=°∠∠∠，∵CD 为ACB Ð的平分线，A ．4B ．5【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得S S =，利用等量代换逐步推出二、填空题6．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm 和9cm ，则第三条边长x 的范围是______．【答案】513x <<【分析】根据三角形三边的关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，即可求得范围．【详解】解：由三角形三边关系得：9494x -<<+，即513x <<；故答案为：513x <<．【点睛】本题考查了构成三角形的三边应满足的条件，理解此条件是关键．7．（2023春·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图是螳螂的示意图，已知AB DE ∥，120ABC Ð=°，72CDE Ð=°，则BCD Ð的度数为___________．【答案】12°/12度【分析】延长ED 交BC 于D ，交AC 于点F ，根据平行线的性质得120CGF ABC Ð=Ð=°，利用邻补角的定义求出108CDG Ð=°，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：延长ED 交BC 于D ，交AC 于点F ，∵120AB DE ABC Ð=°∥，，∴120CGF ABC Ð=Ð=°，∵72CDE Ð=°，∴180********,CDG CDE Ð=°-Ð=°-°=°又,CGF GCD CDG Ð=Ð+Ð∴12010812,GCD CGF CDG Ð=Ð-Ð=°-°=°∴12BCD Ð=°．故答案为：12°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．8．（2023秋·七年级单元测试）如图，点D 是ABC V 的边BC 上任意一点，点E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且ABC V 的面积为60，则BEF △的面积=_______．【答案】15【分析】根据三角形的中线平分面积，得到12BEF BCE S S =V V ，即可求出BEF △的面积．【详解】解：Q 点E 是线段AD 的中点，【答案】 EC /CE AE /EA 【分析】根据三角形高的定义进行求解即可．【详解】解：∵AB CE ^，∴AB 是ACE △的CE 上的高；∵20DAC Ð=°，∴180C DAC ADC Ð=°-Ð-Ð=∵30B Ð=°，∴18080BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°∵20DAC Ð=°，∴ACE DAC ADC Ð=Ð+Ð∵30B Ð=°，三、解答题(1)画出AC边上的中线BD；(2)画出AB边上的高线CE；Ð的平分线AF．(3)画出BAC【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点和三角形中线的定义画图即可；（2）根据网格的特点和三角形高的定义画图即可；（3）根据角平分线的作法作图即可．【详解】（1）解：如图，线段BD即为所求；（2）解：如图，线段CE即为所求；（3）解：如图，射线AF即为所求．【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，三角形中线的定义，三角形高的定义，熟练掌握相关知识点画图(1)若90BAC Ð=°，8AB =，AC =(2)若40B Ð=°，20CAE Ð=°，AD 【答案】(1)245(2)15°∴DAE Ð的度数为15°．【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（2023春·安徽合肥·七年级统考阶段练习）如图，AB DC ∥，55B Ð=°，240Ð=°，385Ð=°(1)求∠D 的度数；(2)求1Ð的度数；(3)能否得到DA CB ∥，请说明理由．【答案】(1)55°(2)85°(3)能，理由见解析【分析】（1）D Ð在ADC △中，另两个角度数已知，就可用三角形内角和定理求解．（2）B Ð，2Ð已知，利用两直线平行同旁内角互补求解．（3）等量代换后，再利用内错角相等，两直线平行判定．【详解】（1）解：23180D Ð+Ð+Ð=°Q ，18023D \Ð=°-Ð-Ð1804085=°-°-°55=°；（2）AB DC Q ∥，21180B \Ð+Ð+Ð=°；11802B \Ð=°-Ð-Ð1805540=°-°-°85=°；（3）能．385Ð=°Q ，185Ð=°，(1)AC =___________AE （填数字）(2)求ABC S V 及BC 的长；(3)若13AB =，求BCE V 和【答案】(1)2(2)84ABC S =V ，14BC =。

三角形的边与角学习目标：1、三角形的概念、分类及其重要线段。

2、三角形的性质（1）三角形的三边关系。

(2)三角形的内角和定理及其推论。

3、全等三角形的概念、判定与性质。

4、熟练灵活应用以上知识点，完全解决相关试题。

重点、考点：角平分线、中线、高、三角形的三边关系、三角形的内角、三角形的外角、全等三角形的应用一、三角形的概念、分类及其重要线段3、三角形的高、中线、角平分线、中位线（1）△的高、中线、角平分线几何符号语言表示 （a ）∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（b ）∵AE 是△ABC 的边BC 上的中线，∴BE = EC 2，△ABE 的面积 = △AEC 的面积（c ）∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2 =21∠ （d ）△的高、△的中线、△的角平分线都是（选填‘线段、射线和直线’）（e ）交点情况：a.三条高所在的直线交于一点：△是锐角三角形时交点位于△的内部；△是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点； △是钝角三角形时，交点位于三角形的外部。

b.△的三条中线交于一点，交点位于△的内部。

（三角形的中线都把三角形分成面积相等的两个三角形。

） c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的内部。

B CAD C练习：1、图中共有（ ）个三角形。

A ：5B ：6C ：7D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

A ：三角形的角平分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都不对 6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。

A ：∠A+∠B=∠C B ：∠A=∠B=12∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠B=90 7、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。

三角形的三边关系第1题. （2005 内江课改）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同形状的三角形的个数是Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案：Ｃ第2题. （2005 芜湖课改）已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为．答案：17第3题. （2005陕西大纲）用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个．．三角形，能摆成不同的三角形的个数为．答案：2第4题. （2005 江西淮安大纲）如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B第5题. (2006河北非课改)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．答案：9第6题. (2006佛山非课改)一个三角形的两边分别为5cm，11cm，那么第三边的长度在以下选项中只能是（）Ａ．3cm Ｂ．4cm Ｃ．5cm Ｄ．7cm答案：Ｄ第7题. (2006广州课改)已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10答案：C第8题. (2006湛江非课改)在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的是（）Ａ．7cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．10cm答案：Ａ第9题. （2006海南非课改）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）Ａ．1cm，1cm，3cmＢ．2cm，3cm，5cmＣ．3cm，4cm，9cmＤ．5cm，6cm，8cm答案：Ｄ△的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有第10题. （2006梧桐非课改）ABC第11题. （2006湘潭课改）已知三角形的两边的长分别为2cm 和7cm ，第三边的长为cm c ，则c 的取值范围是（ ）Ａ．27c <<Ｂ．79c << Ｃ．57c << Ｄ．59c << 答案：Ｄ第12题. （2006南宁课改）下列每组数分别表示三根小木棒的长度（单位：cm ），将它们首尾相接后能摆成三角形的是（） Ａ．1，2，3Ｂ．5，7，12 Ｃ．6，6，13 Ｄ．6，8，10答案：Ｄ第13题. （2007广东河池非课改，3分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A ． 9B ． 12C ． 9或12D ． 5答案：B第14题. （2007贵州贵阳课改，3分）在ABC △中，若8AB =，6BC =，则第三边AC 的长度m 的取值范围是 ．答案：214m <<第15题. （2007陕西非课改，3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，5cmB ．3cm ，3cm ，6cmC ．5cm ，8cm ，2cmD ．4cm ，5cm ，6cm 答案：D第16题. （2007广东深圳课改，3分）已知三角形的三边长分别是3，8，x ；若x 的值为偶数，则x 的值有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：D第17题. （2007湖南株洲课改，3分）现有2cm ，4cm ，5cm ，8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B第18题. （2007山西太原课改，2分）用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒摆成一个三角形（允许连接，但不允许折断），在所有摆成的三角形中，面积最大的三角形的面积为 2cm ．答案：第19题. (2007浙江湖州,3分)甲地离学校4km ，乙地离学校1km ，记甲乙两地之间的距离为km d ，则d 的取值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．3或5 Ｄ．35d ≤≤答案：D第20题. （2007湖南衡阳课改，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）Ａ．224，， Ｂ．225，， Ｃ．236，， Ｄ．245，，答案：D三角形的有关概念与三角形的稳定性第1题. （2005 泉州课改）下面命题错误．．的是（ ） Ａ．等腰梯形的两底平行且相等 Ｂ．等腰梯形的两条对角线相等Ｃ．等腰梯形在同一底上的两个角相等 Ｄ．等腰梯形是轴对称图形答案：Ａ第2题. （2005 桂林课改）下列命题中，真命题是（ ）Ａ．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形Ｂ．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形Ｃ．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形Ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案：Ｄ第3题. （2005 长沙课改）请在图中作出△ABC 的角平分线BD （要求保留作图痕迹）．答案：略第4题. （2005 山西课改）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是Ａ．三角形的稳定性 Ｂ．两点之间线段最短Ｃ．两点确定一条直线 Ｄ．垂线段最短答案：A第5题. （2005烟台大纲）已知四个命题：(1)如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；(2)一个数的倒数等于它本身，则这个数是１；(3)一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；(4)如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有 ( )Ａ．１个 Ｂ．２个Ｃ．３个 Ｄ．４个答案：B第6题. （2005四川广元大纲）下列四个命题中真命题是 ( )Ａ．菱形的对角线互相垂直平分 Ｂ．梯形的对角线互相垂直Ｃ．矩形的对角线平分对角 Ｄ．平行四边形的对角线相等答案：A第7题. （2005 天津大纲）下列命题中的真命题是 （ ） Ａ．关于中心对称的两个图形全等Ｂ．全等的两个图形是中心对称图形Ｃ．中心对称图形都是轴对称图形A第8题. （2005 包头大纲）已知下列命题①半圆是弧②若22am bm >，则a b > ③若22x y =，则x y =④垂直于弦的直径平分这条弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个答案：Ａ第9题. （2005 乌鲁木齐大纲）在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形．这种做法根据（ ）Ａ．两点之间线段最短 Ｂ．两点确定一条直线Ｃ．三角形的稳定性 Ｄ．矩形的四个角都是直角答案：Ｃ第10题. （2005 常德大纲）某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：(1)罪犯不在A ，B ，C 三人之外；(2)C 作案时总得有A 作从犯；(3)B 不会开车．在此案中能肯定的作案对象是（ ）A ．嫌疑犯AB ．嫌疑犯BC ．嫌疑犯CD ．嫌疑犯A 和C答案：Ａ第11题. （2005 湖北黄石大纲）下列四个命题(1)对角线互相垂直的平行四边形是正方形； (2)对角线相等的梯形是等腰梯形；(3)过弦中点的直线必经过圆心；(4)圆的切线垂直于经过切点的半径.其中正确的命题是( )A ．(1)，(2)B ．(2)，(3)C ．(2)，(4) D.(1)，(4)答案：C第12题. （2005 青海）下列四个命题中是真命题的有（ ）（1）同位角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）三个内角相等的三角形是等边三角形Ａ．4个 Ｂ．3个 Ｃ．2个 Ｄ．1个答案：Ｃ第13题. （2005 湖北十堰大纲）下列命题中，不正确的命题是（）Ａ．两个三角形的两角对应相等，则这两个三角形相似；Ｂ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；Ｃ．两个三角形的两边对应成比例，则这两个三角形相似；Ｄ．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似答案：Ｃ第14题. （2005 江苏淮安课改）下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等．其中逆命题为真命题的有：（请填上所有符合题意的序号）．答案：②与③第15题.（2005 西安）下列命题中为假．命题的是（）A．等腰三角形的两腰相等B．等腰三角形的两底角相等C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．等腰三角形是中心对称图形答案：D第16题. (2005 哈尔滨)下列命题中，正确的是（）Ａ．任何数的平方都是正数Ｂ．相等的角是对顶角Ｃ．内错角相等Ｄ．直角都相等答案：Ｄ第17题. （2006湖南永州课改）工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的性．答案：稳定第18题. （2006绍兴课改）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．4对Ｄ．6对答案：ＢAB DCE第19题. 如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC △的三个顶点在格点上，则ABC △中AB 边上的高为 ．⎛ ⎝⎭第20题. (2007山东青岛课改,10分)提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD边上任意一点，PBC △与ABC △和DBC △的面 积之间有什么关系？ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当12AP AD =时（如图②）： 12AP AD ABP =，△和ABD △的高相等， 12ABP ABD S S ∴=△△． 12PD AD AP AD CDP =-=，△和CDA △的高相等， 12CDP CDA S S ∴=△△． PBC ABP CDP ABCD S S S S ∴=--△△△四边形112211()()2211.22ABD CDA ABCD DBC ABC ABCD ABCD ABCD DBC ABC S S S S S S S S S S =--=----=+△△四边形△△四边形四边形四边形△△ （2）当13AP AD =时，探求PBC S △与ABC S △和DBC S △之间的关系，写出求解过程； 解：（3）当16AP AD =时，PBC S △与ABC S △和DBC S △之间的关系式为： ； A B C A P DB C 图② A P D B C 图①（4）一般地，当1AP AD n =（n 表示正整数）时，探求PBC S △与ABC S △和DBC S △之间的关系，写出求解过程； 解：问题解决：当01m m AP AD n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤时，PBC S △与ABC S △和DBC S △之间的关系式为： ． 答案：解：（2）13AP AD =∵，ABP △和ABD △的高相等， 13ABP ABD S S =△△∴． 又23PD AD AP AD =-=∵，CDP △和CDA △的高相等， 23CDP CDA S S =△△∴． PBC ABP CDP ABCD S S S S =--△△△四边形∴1233ABD CDA ABCD S S S =--△△四边形 12()()33DBC ABC ABCD ABCD ABCD S S S S S =----△△四边形四边形四边形 1233DBC ABC S S =+△△． 1233PBC DBC ABC S S S =+△△△∴． （3）1566PBC DBC ABC S S S =+△△△； （4）11PBC DBC ABC n S S S n n-=+△△△； 1AP AD n=∵，ABP △和ABD △的高相等， 1ABP ABD S S n=△△∴． 又1n PD AD AP AD n-=-=∵，CDP △和CDA △的高相等， 1CDP CDA n S S n-=△△∴． PBC ABP CDP ABCD S S S S =--△△△四边形∴11ABD CDA ABCD n S S S n n-=--△△四边形 11n - A P D B C11DBC ABC n S S n n-=+△△ 11PBC DBC ABC n S S S n n-=+△△△∴． 问题解决：PBC DBC ABC m n m S S S n n -=+△△△．。

专题11.5与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；特别指出：三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60°【知识点二】直角三角形的性质与判定；性质：直角三角形的两锐角互余；判定：有两个内角互余的三角形是直角三角形；直角三角形的表示：直角三角形可以用符号Rt ∆表示，如直角三角形ABC 可以表示为Rt ∆ABC.【知识点三】三角形的外角1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；2、三角形内角和定理的推论（三角形外角性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的外角和为等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形内角和定理的证明【例1】（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．（1）如图①，在三角形ABC 中，直线DE 经过点A ，DE BC ∥，试推理说明180B C BAC ∠+∠+∠=︒；（2）如图②，在三角形ABC 中，点D 在BC 边上，过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，作DF AC ∥交AC 于点F ，试推理说明180B C A ∠+∠+∠=︒；（3）如图③，在三角形ABC 中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明180B C A ∠+∠+∠=︒．【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．过C 作EF ∥ABB ．延长AC 到F ，过C 作CE AB∥C ．作CD AB ⊥于点DD ．过AB 上一点D 作DE BC ∥，DF AC∥【变式2】如果三角形的三个内角分别是x °，y °，y °，那么x ，y 满足的关系式是．【题型2】利用三角形内角和求角度【例2】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O ，P ，Q 分别在AB AC BC ，，上，OQ 与BP 交于M 点，连接OP ，已知180OMB BPC ∠+∠=︒，C POQ ∠=∠．（1）求证：OP BC ∥；（2）若PO 是APB ∠的平分线，2BPC C ∠=∠，请判断BP 与OQ 的位置关系，并说明理由．【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在ABC 中，::5:3:28BAC ABC ACB ∠∠∠=，现将ABC 分别沿边BC AC 、翻折180︒得到BCD ACE △、△，则BCE ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．85︒D ．95︒【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，CD ，CE 分别是ABC 的高和角平分线，30A ∠=︒，62B ∠=︒，则DCE ∠的度数为︒．【题型3】利用三角形外角性质求角度【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC 中，123∠=∠=∠（1）证明：BAC DEF ∠=∠；（2）70BAC ∠=︒，50DFE ∠=︒，求ABC ∠的度数．【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中130,,60ABD CD EF E ∠=︒∠=︒∥，则BDC ∠=（）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，CE 平分ACB ∠交BD 于点E ，若56ABC ∠=︒，44A ∠=︒，则DEC ∠的度数为︒．【题型4】利用直角三角形性质与判定求角度【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AB 边上一点，CE 交AD 于点M ，且DCM MAE ∠∠=．求证：AEM △是直角三角形．【变式1】（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线MN 先后经平面镜,AC BC 反射后，反射光线PQ 与MN 平行，根据光的反射原理，12∠=∠，34∠∠=，当135∠=︒时，4∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．70︒【变式2】如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，直线DE 与AC ，BC 分别交于D ，E 两点．若∠DEC ＝∠A ，则△EDC 是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F 在AC 上，其中90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，90EFD ∠=︒，45DEF ∠=︒，//AB DE ，则AFD ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片ABC 中，,20AB AC B =∠=︒，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B '处，当B D BC '⊥时，BAD ∠的度数为．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·山西晋中·期末）综合与实践将两个完全相同的直角三角板（30AOB OCD ∠=∠=︒），按图1的方式放置，使边OA 和边OD 与直线MN 重合，AOB ∠和COD ∠的顶点O 重合．（1）如图1，BOC ∠=度；（2）如图2，若OE 平分BON ∠，求COE ∠的度数；（3）如图3所示，把三角板AOB 和COD 绕点O 同时以相同的速度顺时针旋转，当OE 平分BON ∠时，MOB ∠和COE ∠的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论．【例2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，A ABC CB =∠∠，BD 、CD 、AD 分别平分ABC 的内角ABC ∠、外角ACF ∠、外角EAC ∠．其中不正确的结论有（）A ．2ACB ADB∠=∠B ．12BDC BAC ∠=∠C ．12CDB ABC ∠=∠D ．1902ADC ABC ∠+∠=︒。