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出结论，是学习数学应重视的能力，应多进行对比、
分析，从整体到局部多角度进行观察.观察的结果要准 确、完整、深刻. 返回目录
3.求数列的通项公式是本学案的重点，主要掌握两 种求法：
（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键
是善于观察.
（2）数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式
an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.
{
观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别 由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照
22 + 1 12 + 1 这样的规律第1，2两项可改写为 ，, 2× 2 + 1 2 +1
所以an=（-1）n+1
n2 + 1 . 2n + 1
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9 99 999 9999 (5)将数列各项改写为 , , , , ,…,分 3 3 3 3 母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…, 1 所以an= (10n-1). 3
2
又显然an＜0,∴an+1＞an, 故数列{an}是递增数列. 返回目录
1.用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式,体
现了由特殊到一般的思维方法,需要我们有一定的数学
观察能力和分析能力,并熟知一些常见的数列的通项公 式,如:数列{n2},{2n},{(-1)n},{2n},{2n-1}. 2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、 图形、文字所表示的数学问题，要有目的的观察并得
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【评析】 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式, 要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等办 法，转化成一些常见数列的通项公式来求. （2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由 不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验， 对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整.
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考点二 公式法求通项公式 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通 项公式. （1）Sn=2n2-3n；（2）Sn=3n-2；（3）Sn=3an-2.
【分析】由公式 an= 项公式.
{
S1
n=1
直接求通
Sn-Sn-1
n≥2
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【解析】 (1)a1=S1=-1,当n≥2时,
当n＜9时,an+1-an＞0,即an+1＞an;当n=9时,an+1-an=0,
即an+1=an;当n＞9时,an+1-an=0,即an+1＜an.
故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12＞…,
所以数列中有最大项为第9,10项.
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【评析】因an是n的函数，难点在于an是一个一次
，
，…；
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(1) 注意前四项中有两项的分子均为4，不妨把分
子都统一为4，即： ， ， ， ，….因而有 5 8 11 14 4 an= . 3n + 2
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显， 再把各项同乘以2再除以2，即
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 ,…,因而有a = n(n + 1) . n , , , , 2 2 2 2 2 2
an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5.
由于a1也适合此等式,因此an=4n-5(n∈N*).
(2)a1=S1=1,当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2· n-1. 3 ∴an=
{
1 2· n-1 3
（n=1）， （n≥2）.
【分析】先观察各项的特点，然后归纳出其通项公 式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系. 【解析】（1）各项减去1后为正偶数， 所以an=2n+1.
（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列 2n - 1 21，22，23，24,…,所以an= . n 2 （3）奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子
函数（n+1）与一个指数函数( 10 )n的积,不好确定其增 11 减性,故从比较an+1与an的大小入手.
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＊对应演练＊
已知an=n-
1 + n ² ,判断数列{an}的单调性.
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利用作商比较相邻两项的大小.
n + 1 - 1 + (n + 1) 2 a n +1 ∵ = an n - 1 + n2
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(3)∵an=Sn-Sn-1=（3an-2）-（3an-1-2）， ∴an= 3 an-1（n≥2）.
2
又a1=S1=3a1-2，∴a1=1. ∴{an}是以1为首项， 3 为公比的等比数列. 2 3 3 n-1 n-1=( ∴an=1· 2 ) ( ) . 2
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【评析】数列的通项an与前n项和Sn的关系是
{
2n(n - 1)
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考点三 数列的单调性
10 n 已知数列{an}的通项an=（n+1）( ) （n∈N*）,试 11
问数列{an}中是否存在最大项？若存在，求出最大项， 若不存在，请说明理由.
【分析】通过作差来比较an+1与an的大小关系.
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10 n+1 10 n 【解析】an+1-an=（n+2）( ) -（n+1）( ) 11 11 10 n 9 - n =( ) · . 11 11
an=
{
S1（n=1）
此公式经常使用，应引起足够的重 Sn-Sn-1（n≥2）,
视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却 是高度统一.当n≥2时求出an也适合n=1时的情形， 可直 接写成an=Sn-Sn-1，否则分段表示.
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＊对应演练＊
已知数列{ an }的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 1 （n≥2）,a1= 2 ,求an.
an+1 = an.递增数列与递减数列通称为 单调数列 . 无界数列
按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，可分为
有界数列 和
5.已知Sn，则an=
若an最大，则
{
{
. ，（n=1）
S1
Sn-Sn-1，（n≥2）. 数列{an}中， 若an最小，则
an≥an-1, an≥an+1.
{
an≤an-1, an≤an+1. 返回目录
学案1
数列
1.按照 一定次序排列着的一列数 叫做数列.数列中 的 每一个数 叫做这个数列的项；在函数意义下，数 列是定义域为 N* 或它的子集 的函数，f（n）是当
自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f （1），f（2），…，f（n）,….通常用an代替f（n）， 故数列的一般形式为：a1，a2,a3,…,an,…,简记为{an},其 中an是数列的第 n 项. 返回目录
式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.数列常用的 表示法有 解析法 :(通项公式或递推公 式)、 图象法 列表法 . 返回目录 、
4.数列按项数来分,分为有穷数列、无穷数列；按项的 增减规律分为 递增数列 、 递减数列 、摆动数列 和 常数列 .
递增数列an+1 ＞ an;递减数列an+1 ＜ an;常数列 ⇔ ⇔ ⇔
[n + 1 =
=
1 + (n + 1) 2 (n + 1) - 1 + (n + 1) 2 (n + 1 + n 2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
][
(n - 1 + n 2 )(n + 1 + n 2 ) n + 1 + 1 + (n + 1) 2
(n + 1 + n 2 ) <1
[
]
]
(n + 1) + 1 + (n + 1)
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∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 1 1 1 即 =2,∴数列{ } 是公差为2的等差数列. S n S n-1 Sn 1 又S1=a1=12,∴ =2, S1 1 1 ∴ =2+(n-1)· 2=2n，∴Sn= . Sn 2n ∴当n≥2时，an=-2SnSn-1 1 1 1 =-2· · =， 2n(n - 1) 2n 2(n - 1) 1 （n=1） 2 ∴an= 1 （n≥2）.
4
4
4
4
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(3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分 子后三项绝对值递增，且比分母小3.又注意到第三项为
2n - 3 负，而第一项的分子也可以写成-(-1),∴an=(-1)n . 2n
(4)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，
7 得9,99,999,….∴an= （10n-1）. 9
（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有 目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟 知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）建立合 理的联想、转换而使问题得到解决.
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＊对应演练＊
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1） ， ， ， ，…； 4 1 4 2 5 2 11 （2）1，3，6，10，15，…； 7 （3） ， ，1 1 5 13 （4）7，77，777，…. 2 4 8 16
考点一 由数列前几项求数列通项公式 写出下面各数列的一个通项公式： （1）3，5，7，9，…； 1 3 7 15 31 （2） 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , …； 3 1 3 1 3 （3）-1， ,- , ,- , , ,…; 2 3 4 5 5 （4） 2 ,-1, 10 ,- 17 , 26 , 37 ，…； 3 7 9 11 13 （5）3，33，333，3 333，…. 返回目录
