陕西省2021届高三教学质量检测试题(一)(理科数学)

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2021届高三数学下学期质量检测试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1.已知集合A={x|x 2-21x>0}，B={x|x>31}，则A ∩B= （ ） A.(31，21) B.(21，+∞) C.(-∞，-31) D.(31，+∞) 2.已知复数z 1=2+i ，z 2=-i ，则||||21z z = （ ） A.52 B.2 C.5 D.53.已知向量)2,3(),1(-==→→b m a ，，且→→→⊥+b b a )(，则m= （ ） A.-8 B.-6 C.6 D.84.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km5. 数据 7，8，6，8，6，5，8，10，7，4中的众数，中位数分别是 （ ） A.8,7 B.7,8 C.6,8 D.8,66. 已知a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ac<bc ；②a c<b c；③log a (a-c)>log a (b-c).其中所有正确结论的序号是 （ ）A.①B.①②C.②③D.①②③7. 设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( )A.βαβα⊥⊥,//,b aB.βαβα//,,⊥⊥b aC.βαβα//,,⊥⊂b aD.βαβα⊥⊂,//,b a8.一动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，过点(0，1)且与定直线l 相切，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1169.函数f(x)=2sin x-sin 2x 在[0,2π]的零点个数为 ( )A.2B.3C.4D.510.已知tana=3，则cos （2α+π2）= ( ) A ．–35 B ．45 C ．–35 D ．-4511.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233 B ． 2C ． 3D ．212.函数f x （）=1,01,0x x ≥⎧⎨-<⎩，则不等式()()x x 2f x 25++⋅+≤的解集是( )A ．（3]2∞-，B ．[32]2，C ．（2)∞--，D ．（)∞∞-+，二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有 种．(用数字作答)14. 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是 . 15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC+csinB ＝4asinBsinC ，bc=338，则△ABC 的面积为 ．B D 116.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V+F-E=2．已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，该凸多面体的面数为30，则该多面体顶点数和棱数分别是 ， .三、解答题：共70分.(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分。

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{0，1，2}（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）命题“∀x∈R，x3+sin x≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x3+sin x≥0B．∀x∈R，x3+sin x＜0C．∃x∈R，x3+sin x＜0D．∃x∈R，x3+sin x≤03．（5分）已知，则tan2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年7．（5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝1，P是DC的中点，则＝（）A．B．C．3D．98．（5分）将函数的图像向右平移个单位长度（）A．B．C．D．9．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立（）A．0B．1C．D．10．（5分）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（）A．B．C．8D．﹣811．（5分）已知2a+a＝log2b+b＝log3c+c，则下列关系不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＜b＝c D．c＜b＜a12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（﹣3）＝0．当x＞0时（x）+2f（x）＞0（x）为f（x）的导函数（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x，则f'（﹣π）＝．14．（5分）若非零向量，满足||＝3|+2|，则与夹角的余弦值为．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）（x）的图像关于y轴对称，且f（﹣5），则f（2021）＝．16．（5分）某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米（AB）1.5米，乙的身高（CD），则旗杆的高EF为米．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．18．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2a cos A ＝c cos B+b cos C．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面积S＝，求b+c的值．19．（12分）我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元（52≤x ≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：销售价格（元/每袋）575655545352日均销售量（袋）697275788184（Ⅰ）求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；（Ⅱ）求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；（Ⅲ）当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）求函数F（x）＝f（x+1）﹣x的单调区间；（Ⅱ）若函数存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于222．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{0，1，2}（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A＝{x∈Z|x2＜4}＝{﹣3，0，1}，6，2}，∴A∩B＝{﹣1，8，1}∩{0，8，1}．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，x3+sin x≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x3+sin x≥0B．∀x∈R，x3+sin x＜0C．∃x∈R，x3+sin x＜0D．∃x∈R，x3+sin x≤0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x3+sin x＜0，故选：C．3．（5分）已知，则tan2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴tan6α＝＝＝＝﹣．故选：A．4．（5分）若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为函数y＝x3为增函数，∴由a＞b，可以推出a3＞b3，由a3＞b3，可以推出a＞b，故“a5＞b3”是“a＞b”的充要条件．故选：C．5．（5分）函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝＝﹣f（x），则[﹣，]上，其图象关于原点对称，又由在区间（0，）上，7x＞0，2﹣x＞6，则f（x）＞0；故选：C．6．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年【解答】解：设2018年全年投入研发资金为130，2018年后n年投入的研发资金为a n，则数列{a n}是以130×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，∴a n＝130×（8.12）n，令130×（1.12）n＞200，得n＞，即当n≥7时．所以2022年会超过200万元．故选：C．7．（5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝1，P是DC的中点，则＝（）A．B．C．3D．9【解答】解：因为＝，＝＝﹣，所以||＝||＝|，故选：C．8．（5分）将函数的图像向右平移个单位长度（）A．B．C．D．【解答】解：函数的图像向右平移，所得函数图像的解析式为y＝3sin[7（x﹣）+），令5x﹣＝kπ（k∈Z）+，k∈Z．令k＝0，则x＝，即平移后的图像中与y轴最近的对称中心的坐标是（，5），故选：A．9．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立（）A．0B．1C．D．【解答】解：∵函数，若对于任意的实数x，，∴f（）是函数的最小值+＝2kπ+π，即ω＝3k+，则令k＝0，可得ω的最小值为，故选：D．10．（5分）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（）A．B．C．8D．﹣8【解答】解：将π＝4sin52°代入中，得＝＝＝＝＝﹣，故选：B．11．（5分）已知2a+a＝log2b+b＝log3c+c，则下列关系不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＜b＝c D．c＜b＜a【解答】解：由题意设2a+a＝log2b+b＝log4c+c＝k，则2a+a＝k，log2b+b＝k，log2c+c＝k，则2a＝﹣a+k，log2b＝﹣b+k，log4c＝﹣c+k，分别画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log2x和y＝﹣x+k的图像，如图示：k＜1时，a＜c＜b，k＝1时，a＜b＝c，k＞4时，a＜b＜c，故c＜b＜a不可能，故选：D．12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（﹣3）＝0．当x＞0时（x）+2f（x）＞0（x）为f（x）的导函数（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【解答】解：令g（x）＝x2f（x），∵当x＞0时，xf'（x）+8f（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＝7xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]＞2，∴g（x）＝x2f（x）在（0，+∞）上单调递增又f（x）为定义在R上的奇函数，y＝x5为定义在R上的偶函数，∴g（x）＝x2f（x）为R上的奇函数；②由f（﹣3）＝f（3）＝3，知g（﹣3）＝g（3）＝0由①②③，得f（x）＞7成立的x的取值范围是（﹣3，+∞），故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x，则f'（﹣π）＝π．【解答】解：由f（x）＝x sin x+cos x，得f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，∴f'（﹣π）＝﹣πcos（﹣π）＝﹣πcosπ＝﹣π×（﹣1）＝π．故答案为：π．14．（5分）若非零向量，满足||＝3|+2|，则与夹角的余弦值为﹣．【解答】解：由题意可得＝9＝+8，化简可得4，∴||•||•|，＞，∴cos＜，＝﹣，故答案为：﹣．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）（x）的图像关于y轴对称，且f（﹣5），则f（2021）＝2．【解答】解：因为函数f（x）的图像关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，由f（x+4）＝﹣f（x），可得f（x+8）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为8，则f（2021）＝f（5+252×8）＝f（5）＝f（﹣5）＝2．故答案为：3．16．（5分）某校开展数学活动，甲、乙两同学合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，如图，乙站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知甲、乙两同学相距（BD）6米（AB）1.5米，乙的身高（CD），则旗杆的高EF为10.3米．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点A作AM⊥EF于M，过点N作CN⊥EF于N，∴MN＝0.25m，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，设AM＝ME＝xm，则CN＝（x+6）m，EN＝（x﹣6.25）m，∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝＝＝，解得x≈8.7，则EF＝EM+MF≈8.8+2.5＝10.3m，故答案为：10.4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由cos2x＝cos2x−sin2x，sin2x＝2sin x cos x得：，所以f（x）的最小正周期为π．（2）由（1）知，令，解得．所以f（x）的单调递减区间为[]（k∈Z）．18．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2a cos A＝c cos B+b cos C．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面积S＝，求b+c的值．【解答】解：（1）因为2a cos A＝c cos B+b cos C，由正弦定理得，所以2sin A cos A＝sin（B+C）＝sin A，由于sin A≠5，即，则A＝；（2）因为S△ABC＝bc sin A＝＝．则bc＝4，由余弦定理知：a7＝b2+c2﹣3bc cos Aa2＝（b+c）2﹣6bc（1+cos A）所以，所以．19．（12分）我国作为世界上主要的产茶国，在全球茶叶生产、消费和出口中都占据重要地位．某茶叶销售商通过上一年销售统计发现，某种品牌的茶叶每袋进价为40元（52≤x ≤57，x∈N）与日均销售量之间的函数关系如表：销售价格（元/每袋）575655545352日均销售量（袋）697275788184（Ⅰ）求平均每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；（Ⅱ）求平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/袋）之间的函数解析式；（Ⅲ）当每袋茶叶的售价为多少元时，该茶叶销售商每天可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（I）由表可知，每箱销售价格每提高1元，∴y＝69﹣3（x﹣57），即y＝﹣7x+240（52≤x≤57．（II）∵某种品牌的茶叶每袋进价为40元，∴w＝（x﹣4）（﹣3x+240）＝﹣6x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）．（III）∵w＝﹣3x4+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200（52≤x≤57，x∈N）．∴当52≤w≤57，x∈N时，∴当x＝57时，w取得最大值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）求函数F（x）＝f（x+1）﹣x的单调区间；（Ⅱ）若函数存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx，∴F（x）＝f（x+1）﹣x＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣6），∴F′（x）＝﹣7＝，当x∈（﹣1，2）时，F（x）在（﹣1；当x∈（0，+∞）时，F（x）在（7；∴函数F（x）的单调递增区间为（﹣1，0），+∞）；（Ⅱ）∵＝lnx﹣mx+，∴g′（x）＝﹣m﹣＝，令h（x）＝mx5﹣x+m，要使g（x）存在两个极值点x1，x2，则方程mx6﹣x+m＝0有两个不相等的正数根x1，x6，故只需满足，解得0＜m＜，）．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0．……………………（2分）又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．所以a＝7为所求．………………………………（4分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．即恒成立．……………………………………（6分）故只要a≥0即可&nbsp;&nbsp;&nbsp;………………………………………………………………（2分）（Ⅲ）由已知函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[02（5+a），最小值是．…………………………………（8分）由题设………（11分）故&nbsp;为所求22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+3）e x﹣2x的导数为f′（x）＝（x3+4x2）e x﹣2，可得曲线y＝f（x）在点（2，f（0））处的切线斜率为k＝﹣2，﹣2），则曲线y＝f（x）在点（8，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x﹣2；（2）证明：要证f（x）＞﹣x8﹣4，即证（x﹣1）（x5+2）e x＞2x﹣x2﹣4，设g（x）＝（x﹣1）（x6+2）e x，g′（x）＝x2（x+4）e x，当x＞﹣2时，g′（x）＞0；当x＜﹣5时，g（x）递减，可得g（x）在x＝﹣2处取得极小值，且为最小值﹣18e﹣2；设h（x）＝8x﹣x2﹣4，可得h（1）为最大值﹣5．由﹣18e﹣2＞﹣3，可得（x﹣4）（x2+2）e x＞2x﹣x2﹣4恒成立，则f（x）＞﹣x6﹣4．。

2021-2022学年陕西省渭南市韩城市西庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣14．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．14．函数y＝的定义域是．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．解：由M中y＝x2﹣1≥﹣1，得到M＝[﹣1，+∞），由N中y＝，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即N＝[﹣2，2]，则M∩N＝[﹣1，2]，故选：A．2．已知a，b∈R，那么是3a＜3b成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用集合间的关系，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．解：由于知a，b∈R，当，整理得0＜a＜b；故3a＜3b，当3a＜3b时，整理得：a＜b，故那么是3a＜3b成立的充分不必要条件，故选：C．3．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣1【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．解：∵＝（﹣）＝（﹣）f′（x0）＝1，∴f′（x0）＝﹣，故选：A．4．函数f（x）＝x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】对f（x）进行求导，得到其单调性，再利用零点定理进行判断；解：函数f（x）＝x+lnx﹣3，（x＞0）∴f′（x）＝1+，可得f′（x）＞0，f（x）为增函数，f（1）＝1+0﹣3＝﹣2＜0，f（2）＝2+ln2﹣3＝ln2﹣1＜0，f（3）＝3+ln3﹣3＝ln3＞0，∵f（2）f（3）＜0，所以f（x）的零点所在区间为（2，3），故选：C．5．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），f（﹣x）＝（﹣x+）（﹣sin x）＝（x﹣）sin x＝f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．当x＝时，f（）＝（）×＜0，排除A，故选：B．6．已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．（0，3]D．（0，）【分析】根据已知条件及减函数的定义知f（x）在R上是减函数，所以y＝a x在（﹣∞，0）上是减函数，y＝（a﹣3）x+4a在[0，+∞）上是减函数，所以a x＞1，（a﹣3）x+4a≤4a≤1，这样即可得到，解该不等式组即得a的取值范围．解：由已知条件知f（x）在R上是减函数；∴；∴解得0＜a；∴a的取值范围为（0，]．故选：B．7．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，设t＝x2﹣2x﹣8，则当x＞4时，g（x）为增函数，此时y＝lnt为增函数，则f（x）为增函数，即f（x）的单调递增区间为（4，+∞），故选：D．8．已知，则tanα＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式和同角的三角函数关系求出sinα、cosα的值，即可求得tanα．解：因为cos（α+）＝﹣sinα＝，所以sinα＝﹣；又因为﹣＜α＜0，所以cosα＝＝，所以tanα＝＝﹣．故选：D．9．sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．解：sin20°sin10°﹣cos10°sin70°＝cos70°•sin10°﹣cos10°sin70°＝sin（10°﹣70°）＝﹣sin60°＝﹣．故选：B．10．设，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，log32＜b＝ln2＜lne＝1，c＝＞50＝1，∴a，b，c的大小为c＞b＞a．故选：C．11．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．12．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意构造函数g（x）＝，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0求出g（﹣1）＝0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．解：由题意设g（x）＝，则g′（x）＝∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知P（﹣1，3）为角α终边上的一点，则＝．【分析】由题意利用任意角的三角函数定义可求sinα，cosα的值，代入所求即可计算得解．解：P（﹣1，3）为α角终边上一点，可得sinα＝＝，cosα＝﹣，所以＝＝．故答案为：．14．函数y＝的定义域是{x|}．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．解：由2sin x+1≥0，得sin x．∴，k∈Z．∴函数y＝的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．15．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于﹣2．【分析】利用奇函数的定义以及已知的恒等式，求出函数的周期，然后利用周期转化f （2019）即可．解：因为f（x）在R上是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2×1＝﹣2．故答案为：﹣2．16．有下列说法：①α＝﹣5是第一象限角；②函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是（0，1）；③若α为第三象限角，则终边在二四象限；④终边在y轴上的角的集合是．其中，正确的说法是①③．【分析】利用任意角的概念和性质、指数型函数过定点的性质，逐项判断即可．解：对于①，α＝﹣5≈﹣286.5°∈（﹣360°，﹣270°），是第一象限角，①正确；对于②，令x﹣1＝0，得y＝3，故函数y＝a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点（1，3），②错误；对于③，α为第三象限角，则，k∈Z，所以，当k为偶数时，终边落在第二象限，k为奇数时，终边落在第四象限，故③正确；对于④，当k为偶数时，（k∈Z）终边落在x轴上，故④错误．故答案为：①③．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．计算下列各值①；②；③sin cos+sin cos．【分析】根据题意，直接计算可得答案．解：①原式＝+×＝25+4＝29；②原式＝dx+xdx＝×π+＝+；③原式＝﹣sin cos+（﹣sin）（﹣cos）＝（﹣×）+×＝0．18．设f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【分析】（1）由f（1）＝2，求出a的值，由对数的真数大于0，求得x的取值范围，即得定义域；（2）化简f（x），考查f（x）在区间[0，]上的单调性，求出最大值．解：（1）∵f（x）＝log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），∴f（1）＝log a2+log a2＝2log a2＝2，∴a＝2；∴f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x），∴，解得﹣1＜x＜3；∴f（x）的定义域是（﹣1，3）．（2）∵f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x）＝log2（1+x）（3﹣x）＝log2[﹣（x﹣1）2+4]，且x∈（﹣1，3）；∴当x＝1时，f（x）在区间[0，]上取得最大值，是log24＝2．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x+﹣38）﹣3＝35﹣（x+），∴L（x）＝．（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣（x﹣6）2+9，此时，当x＝6时，L（x）取得最大值9；当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+）≤35﹣2＝15，此时，当x＝即x＝10时，L（x）取得最大值15；∵9＜15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．20．已知函数f（x）＝f'（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx在[1，2]上单调递增，求m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，取x＝0求得f（0），进一步求得f′（0），则函数解析式可求；（2）把问题转化为g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，分离参数m，再求出函数y＝e x+2x在[1，2]上的最小值，则答案可求．解：（1）∵f（x）＝f′（0）e x+x2﹣（f（0）﹣1）x，∴f′（x）＝f′（0）e x+2x﹣f（0）+1，令x＝0，解得f（0）＝1，则f（x）＝f′（0）e x+x2，令x＝0，得f′（0）＝f（0）＝1，∴f（x）＝e x+x2．（2）∵g（x）＝f（x）﹣mx＝e x+x2﹣mx在[1，2]上单调递增，∴g'（x）＝e x+2x﹣m≥0在[1，2]上恒成立，∴m≤e x+2x在[1，2]上恒成立．又∵函数y＝e x+2x在[1，2]上单调递增，∴y min＝e+2，∴m≤e+2，故m的取值范围为（﹣∞，e+2]．21．已知函数f（x）＝x4﹣x3﹣x2+cx+1有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）利用极值点的定义，将问题转化为f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，构造函数g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，利用导数研究其性质，列出不等式，求解即可；（2）当c＝27时，利用导数求出函数f（x）的单调递减区间，结合题意，列出关于a的不等关系，求解即可．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x＝1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k＝0，0＜k＜1，k＝1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．解：（I）当k＝2时，由于所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3＝0（II）f'（x）＝﹣1+kx（x＞﹣1）当k＝0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k＝1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．。

陕西省2021年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一上·上海期中) 已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2016高一下·钦州期末) 如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）A . 8+πB . 8+4πC . 16+πD . 16+4π3. （2分）命题“∃x∈R，x3>0”的否定是（）A . ∃x∈R，x3≤0B . ∀x∈R，x3≤0C . ∃x∈R，x3<0D . ∀x∈R，x3>04. （2分）(2019·浙江模拟) 已知M=tan -sina+cosa，N=tan （tan +2)，则M和N的关系是（）A . M＞NB . M<NC . M=ND . M和N无关5. （2分） (2016高二上·济南期中) 若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A . （1，9）B . （﹣∞，1]∪（9，+∞）C . [1，9）D . （﹣∞，1）∪（9，+∞）6. （2分） (2017高二上·长春期中) 设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知平面向量，且满足。

若，则（）A . z有最大值-2B . z有最小值-2C . z有最大值-3D . z有最小值-38. （2分） (2016高二下·韶关期末) 设集合M={﹣1，1}，N={x|x（x﹣）＞0}，则下列结论正确的是（）A . N⊆MB . N∩M=∅C . M⊆ND . M∪N=R二、填空题： (共7题；共7分)9. （1分）函数f（x）=sin（2x﹣），x∈[0，π]的递增区间是________．10. （1分） (2016高一上·杭州期中) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是________．11. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=________.12. （1分） (2016高二上·长沙开学考) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于________．13. （1分） (2019高二下·上海期末) 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是________．14. （1分） (2016高二下·阳高开学考) 已知P（x，y）是抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=2x﹣y的最大值为________．15. （1分）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD，其中正确结论的序号为________．（把正确结论的序号都填上）三、解答题： (共5题；共55分)16. （10分） (2019高一下·宁江期末) 如图，在四边形中，，， .（1）若，求的面积；（2）若，，求的长.17. （10分）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：（1）求二面角D′－AB－D的大小；（2）若M是C′D′的中点，求二面角M－AB－D的大小．18. （15分） (2017高一上·西城期中) 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指标．该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（且）．若上课后第分钟时的注意力指标为，回答下列问题：（1）求的值．（2）上课后第分钟和下课前分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？19. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PA⊥PF．（1）求直线AP的方程；（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．20. （10分） (2019高二上·贺州期末) 设数列的前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．参考答案一、选择题: (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共5题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。

渭南市2021年高三教学质量检测（Ⅰ）数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部范围．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{4,2,1,0,1,2,4}A =---，{}2|20B x x x =--，则A B ⋂=（ ） A ．{4,2,4}-- B ．{4,2,1,2,4}--- C ．{4,2,4}- D ．{4,2,1,2,4}-- 2．已知复数532z i i=++，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知223n S n n =+，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2B ．4C ．1D ．124．已知函数()33x x f x a -=+⋅是奇函数，则(2)f =（ ）A ．829 B ．829- C ．809 D ．809-5．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B ．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C ．2018年上半年的票房收入增速最大D ．2020年上半年的票房收入增速最小6．已知点(,)A m n 在椭圆22142x y +=上，则22m n +的最大值是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．27．已知421(1)x ax x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项系数为4，则a=（ ）A ．4-B ．1C ．12D ．1- 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，13AA AB =，E 为1CC 的中点，点F 在棱1DD 上，且12D F DF =，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是（ ）A．34-B．34 C．17 D．349．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为4π，外部大正方形的外接圆半径为2，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan2α=（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．1210．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若233334,3257m m m S a m S a m +-==+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 11．已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x >⎧=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞12．设2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，直线:20l x y c -+=（其中c 为双曲线C 的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若()220MN F M F N ⋅+=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．53B ．43C 3D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量,a b 满足||2||4a b ==，且43a b ⋅=-，则向量,a b 的夹角是_______．14．函数3()ln 1f x x x x x =--+的图象在1x =处的切线方程是______．15．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排,,,,,A B C D E F 六名工作人员到四个不同的区市县开展工作．每个地方至少需安排一名工作人员，其中A ，B 安排到同一区市县工作，D ，E 不能安排在同一区市县工作，则不同的分配方法总数为_______种．16．在三棱锥S ABC -中，90SBA SCA ︒∠=∠=，底面ABC 是等边三角形，三棱锥S ABC -，则三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC ，ABC ，sin cos sin cos cos b A C c A B A +=．（1）求a 和角A ； （2）求ABC 的周长． 18．（12分）第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日—29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打兵乓球人次，整理数据如下表（单位：天）：（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．（12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，226AD BC AB ===，//AD BC ，AB BC ⊥．（1）证明：PC CD ⊥．（2）若PC AD =，点E 在线段CD 上，且2CE ED =，求二面角A PE C --的余弦值． 20．（12分）已知动点M 到点(3,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小2． （1）求动点M 的轨迹E 的方程．（2）过点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l '与轨迹E 交于点A ，B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，证明：||||AB FN 为定值．21．（12分）已知函数121()(1)(0)2x f x x a e x ax x -=---+>． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设(1,2)P ，求11||||PM PN +的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|23||1|f x x x =+--． （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 的最小值是m ，且232||a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．渭南市2021年高三教学质量检测（Ⅰ）数学参考答案（理科）1．B 由题意可得{}2|20{1B x x x x x =--=-|或2}x ，则{4,2,1,2,4}A B ⋂=---．2．A 因为5323222z i i i i i=+=-+=++，所以复数z 在复平面内对应的点为(2,2)Z ，位于第一象限． 3．B 设d 为数列{}n a 的公差，因为211(1)222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以22d =，则4d =． 4．D 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()3333x x x x a a --+⋅=-+⋅，解得1a =-，则2280(2)339f -=-=-． 5．D 由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A ，B 错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C 错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D 正确．6．B 由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为2n ，所以202n ，所以2244n -，即2224m n +．7．D 由题意得展开式中常数项通式为3324144C x ax a x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．8．B 如图，在棱1DD 上取一点G ，连接,AG GE ，使得116D D D G =．由题意易得四边形CEGF 为平行四边形，则//EG CF ，故AEG ∠是异面直线AE 与CF 所成的角．设2AB =，则16AA =，从而AE EG AG ===AEG ，由余弦定理可得222cos2AE EG AG AEG AE EG +-∠===⋅，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是34．9．D 由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为x ，则长的直角边为1x +．由勾股定理得22(1)25xx ++=，解得3x =，所以43sin ,cos 55αα==，则sin sin 12tan2cos 12cos2ααααα===+．10．C 当数列{}n a 的公比1q =时，22m m S S =，与23332m m S S =矛盾，故1q =不符合题意．当1q ≠时，()()2122111331113211m m m m m m m a q S q q q S q a q q---===+=---，所以132m q =．因为33415732m m a m q a m +-===+，所以5m =，即5132q =，则12q =． 11．A 函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点．画出()f x 的大致图象，如图所示．由图可知(4,8)m ∈．不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且12344,1x x x x +=-=．因为124x x +=-，所以214x x =--，则()12114(0,4)x x x x =--∈，故1234(0,4)x x x x ∈．12．C 设双曲线C 的左焦点为1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接2HF ，则2222F M F N F H +=．因为()220MN F M F N ⋅+=，所以20MN F H⋅=，即2MN F H ⊥，则22MF NF =∣∣．设22MF NF m ==．因为21122MF MF NF NF a -=-=，所以122111||4NF NF MF MF NF MF MN a -+-=-==，则||||2MH NH a ==，从而1HF m =，故=22222m a c =+．因为直线l 的斜率为12，所以21211tan 2HF HF F HF ∠===，整理得222214c a a c -=+，即2235c a =，则2253c a =，故e ==13．56π由题意可得43cos ,||||a b a b a b ⋅-〈〉===，则向量,a b 的夹角是百56π． 14．320x y +-=（或32y x =-+） 由题意可得2()ln 3f x x x '=-，则(1)3,(1)1f f '=-=-，故所求切线方程为13(1)y x +=--，即320x y +-=．15．216 第一步，将6名工作人员分成4组，要求A ，B 同一组，D ，E 不在同一组． 若分为3，1，1，1的四组，A ，B 必须在3人组，有144C =种分组方法，若分为2，2，1，1的四组，A ，B 必须在2人组，有2415C -=种分组方法，则一共有549+=种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有4424A =种．故总的分配方法有924216⨯=种．16．12π 设三棱锥外接球的球心为O ，三棱锥底面边长和高分别为a ，h ．设球心到底面ABC 的距离为2h d =．底面ABC 的外接圆半径为r ，则3r =．由题意可知SA 是三棱锥S ABC -的外接球的一条直径，则2134S ABC V h -=⨯=，即212a h =．设三棱锥S ABC -的外接球半径为R ，则22222221142233444h h R r da h h h h =+=+=+=++≥，故三棱锥S ABC -的外接球表面积为2412R ππ．17．解：（1）题意可得2122a ⨯=2a =． 2分因为sin cos sin cos cos b A C c A B A +=，所以sin sin cos sin sin cos cos B A C C A B A A +=． 3分因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B A +=，所以sin A A =， 4分所以tan A =，则3A π=． 6分（2）由余弦定理可得222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=．① 7分因为ABC 的面积为，所以1sin 24bc A bc ==4bc =．② 9分 联立①②，解得2b c ==． 11分故ABC 的周长为6a b c ++=． 12分18．解：（1）由题意可知随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4． 2分设一天为阴天的概率为P ，则46101804P ++==，故1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 4分则X 的分布列为6分 故1414EX =⨯=． 7分 （2）9分则2280(2553020)8.3355254535K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 11分 因为8.335 6.635>，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关． 12分19．（1）证明：由题意易知AC == 1分作CH AD ⊥，垂足为H ，则3CH DH ==，故CD == 2分因为222AD AC CD =+，所以AC CD ⊥． 3分因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以AP CD ⊥． 4分因为AC ⊂平面,APC AP ⊂平面APC ，且AC AP A ⋂=，所以CD ⊥平面APC ． 5分 因为PC ⊂平面APC ，所以CD PC ⊥． 6分（2）解：因为6,32PCAD AC ===PA AC ⊥，所以AP ==以A 为原点，分别以,,ABAD AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 则(0,0,0),(1,5,0),(3,3,0),A E C P ，从而(1,5,0),(0,0,32),(2,2,0),(3,AEAP CE CP ===-=--． 8分设平面APE 的法向量为()111,,n x y z =． 9分则111320,50,n AP n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令15x =，得(5,1,0)n =-． 9分 设平面PCE 的法向量为()222,,m x y z =，则22222330,220,m CP x y m CE x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21x =，得m =． 10分 设二面角A PE C --为θ，由图可知θ为锐角， 则||cos ||||26n m n m θ⋅===． 12分20．（1）解：由题意知，动点M 到点(3,0)F 的距离与到直线1:30l x +=距离相等， 1分 由抛物线的定义知，轨迹E 是以(3,0)F 为焦点，以直线1:30l x +=为准线的抛物线． 3分 所以点M 的轨迹E 的方程为212yx =． 5分 （2）证明（方法一）：设直线:3(0)l x ty t '=+≠，联立23,12,x ty y x =+⎧⎨=⎩得212360y ty --=． 6分 设()()1122,,,Ax y B x y ，G 为线段AB 的中点，则()212121212,6126y y t x x t y y t +=+=++=+，所以()263,6G t t +， 7分所以线段AB 的垂直平分线的方程为()2663y t t x t -=---，则()269,0N t +． 8分 从而22||69366FNt t =+-=+， 10分212||61212AB x x t =++=+，所以||2||AB FN =为定值． 12分 （方法二）设直线l '的方程为()()11223,,,,y kx k Ax y B x y =-，G 为线段AB 的中点．联立23,12,y kx k y x =-⎧⎨=⎩整理得()222261290k x k x k -++=， ()22222612491441440k k k k ∆=+-⨯=+>．则212122612,9k x x x x k ++==，从而()1212126y y k x x k k+=+-=． 7分 因为G 为线段AB 的中点，所以22366,k G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 8分 则线段AB 的垂直平分线的方程为226136k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭．令0y =，得2296k x k +=，则2296,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 9分 从而22229666||3k k NF k k ++=-=，21221212||6k AB x x k+=++=， 11分故22221212||266||k AB k k FN k +==+． 12分 21．解：（1）因为121()(1)(0)2x f x x a e x ax x -=---+>，所以()1()()1(0)x f x x a e x '-=-->． 令()0f x '=，得x a =或1x =． 1分当0a 时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >；由()0f x '<，得1a x <<．则()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增． 当1a =时，()0f x '恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >；由()0f x '<，得1x a <<．则()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增． 3分综上，当0a 时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增． 4分（2）当0a 时，由（1）可知()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()f x 有最小值1(1)2f =-，故0a 不符合题意； 5分当01a <<时，由（1）可知()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增， 因为()f x 无最小值，所以(0)(1)f f <，即112a e +-<-，解得112ea -<<； 6分 当1a =时，由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意； 7分当12a <时，由（1）可知()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增．因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <，即21112a a a e e -+-<-，即121102a a e a e-+--<． 设1211()(12)2x x g x e x x e -+=--<，则11()(12)x g x e x x e'-=--<． 8分设11()()(12)x h x g x e x x e'-==--<，则1()10x h x e '-=->在(1,2]上恒成立．故()h x 在(1,2]上单调递增，即()g x '在(1,2]上单调递增． 9分因为11(1)0,(2)20g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的0(1,2]x ∈，使得()00g x '=． 故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增． 10分因为1243(1)0,(2)2022e g g e e e e -=-=<=--<，所以()0g x <在(1,2]上恒成立， 即121102a a e a e-+--<在(1,2]恒成立，即12a <符合题意． 11分综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦． 12分 22．解：（1）由题意可得直线l 的普通方程为30x y +-=． 2分 曲线C 的直角坐标方程为222680xy x y +--+=，即22(1)(3)2x y -+-=． 4分（2）直线l的参数方程可化为122,x y ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数）． 5分 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得210t ''-=， 7分则12121t t t t ''''+=-， 8分故121211||||t t PM PN t t ''''-+===． 10分23．解：（1）当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 1分 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<； 2分当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ． 3分综上，不等式()0f x >的解集为{4x x <-|或2}3x >-． 4分 （2）由（1）可知当32x =-时，min 5()2f x =-，即52m =-，则235a b c ++=． 6分 因为()()2222222(23)123a b c a b c ++++++， 7分所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++≥（当且仅当123a b c==时等号成立）． 9分25 14．10分故222a b c++的最小值为。