2020届全国大联考高三第六次联考数学(理)试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（六）一、单选题1．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】B【解析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132B ．2C ．2D ．52【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，则答案可求． 【详解】 由121z i i-=-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，∴复数z 在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2=． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知直角坐标系中点()0,1A ，向量()4,3AB =--，()7,4BC =--，则点C 的坐标为（ ）A ．()11,8B ．()3,2C ．()11,6--D ．()3,0-【答案】C 【解析】【详解】∵向量()4,3AB =--，()7,4BC =--， ∴()117AC AB BC =+=--，，又()0,1A ∴()116OC OA AC =+=--，∴点C 的坐标为()116，-- 故选C4．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，(0)B b ，，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（ ）A ．B ．12C 1D ．12【答案】B【解析】由题意得(),0F c ，FB bk c=-，∵直线FB 与C 的一条渐近线垂直，∴渐近线的斜率为c b ，即2b c b ac a b=⇒=，∴22210c a ac e e -=⇒--=，结合1e >得e =B. 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a ，成等差数列，则4S 的值是 A ．-81 B ．-80C ．-64D ．-63【答案】B【解析】由题意首先确定数列{}n a 为等比数列，然后结合等比数列前n 项和公式可得4S 的值. 【详解】据题意得223n n S a =+ ，当1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，由223n n S a =+可得11223n n S a --=+，两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即()132nn a n a -=≥． 所以数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列， 所以()()4414121380113a q S q---===---，选B ．【点睛】本题主要考查由递推关系确定数列的性质，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()201920182020201921f x xx x =++++，如图的程序框图设计的是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）.A ．n i =B ．2020n i =-C ．1n i =+D ．2021n i =-【答案】B【解析】直接根据程序框图表示的意义得到答案. 【详解】由题意，n 的值为多项式的系数，2020，2019，…，1， 由程序框图可知，M 处应该填入2020n i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 7．设21,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ） A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>【答案】A【解析】根据,,a b c 的正负，计算出()()(),,f a f b f c 的值，由此比较出三者的大小. 【详解】由于0,0,0a b c >><，故()120.5100.71127f a -⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，()0.5log 0.71f b =+0.50.5log 0.35log 0.252=<=，故()()0f a f b >>，而210x --<，故()0f c <，所以()()()f a f b f c >>，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题. 8．某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）. A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】先在生、史、地、政中四选一，然后按照语文、外语排课进行分类讨论，由此求得所有的安排方法总数. 【详解】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=（种）.对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =（种）； 第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =（种），语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=（种），其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=（种）.综上，共有()41922521776⨯+=（种）. 故选：B 【点睛】本小题主要考查生活中排列、组合的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 9．已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与函数()cos(2)()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，则φ为（ ） A ．6πB ．6π-C ．3π D ．3π-【答案】D 【解析】【详解】解：若()f x 与()g x 的对称中心相同，则函数的周期相同即222ππω=，则2ω=， 即()2sin(2)6f x x π=+ 由26x k ππ+=，即212k x ππ=-，即()f x 的对称中心为(212k ππ-，0)即()g x 的对称中心为(212k ππ-，0)， 则()cos(2())cos()cos()021221266k k g k ππππππϕπϕϕ-=⨯-+=-+=±-=， 即62k ππϕπ-=+，则23k πϕπ=+，k Z ∈ 当1k =-，233ππϕπ=-+=-， 故选：D ．10．已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[C ．[D ．[-【答案】B【解析】∵函数22()cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=，∴()cos sin sin()f x a c x b x a x ϕ=-'+=--，其中tan c bϕ=，则()[1,1]f x a a -+'∈，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在12,[1,1]k k a a ∈-+，使121k k =-，由2(1)(1)11a a a -+=-≥-，得0a =，则)a ϕθ++=+=+，其中tan θ=故[a +∈；故选B ．点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型：①化为sin()y A x k ωϕ=++型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变形成sin()y A x k ωϕ=++，再利用三角函数的单调性进行求解；②形如“2sin sin y a x b x c =++”，一般是利用换元思想（令sin t x =），再利用二次函数的性质进行求解.11．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．6332D ．94【答案】D【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.12．已知函数())20202020log 20201xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（ ）.A ．1,2020⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2020,-+∞C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()()21120f x f x +++->，进而求得不等式的解集. 【详解】构造函数()())202012020log 2020xx F x f x x -=-=+-，x >=0x >，所以()F x 的定义域为R .())20202020log 2020x x F x x --=+-20202020log 2020x x xx -⎡⎤=+-20202020log 2020x x -⎡⎤=+- )()20202020log 2020x x x F x -=--=-，所以()F x 为奇函数， ()00F =.当0x >时，)20202020,2020,log xxy y y x -==-=都为增函数，所以当0x >时，()F x 递增， 所以()F x 在R 上为增函数. 由()()21120f x f x +++->得()()211110f x f x +-++->，即()()2110F x F x +++>， 所以2110x x +++>，解得23x >-. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++==-，则使22110nnnS S +取得最大值时n 的值为 _____________ . 【答案】3【解析】试题分析：a 1=1，a n+1=﹣S n S n+1，可得S n+1﹣S n =﹣S n S n+1，1111n nS S +-= ．利用等差数列的通项公式即可得出S n =1n，代入222221111010110n n n nS n n S n n⨯==+++⨯ 利用基本不等式的性质即可得出． 详解：∵a 1=1，a n+1=﹣S n S n+1， ∴S n+1﹣S n =﹣S n S n+1，∴1111n nS S +-=． ∴1nS =1+﹣（n ﹣1）=n ， ∴S n =1n，则使222221111011010110n n n nS n n S n n n n ⨯===≤=+++⨯+等号不成立．经过验证：则使22110nnnS S +取得最大值时n 的值为3．故答案为：3．点睛：本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(理科)(六)第丨卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {xI(x-2)(x +1) <0},5 = {x G ZI-1 <^< 1},则=A. {—1,0}B. {0,1}C. {—1,0,1}D. {—1,2} 2•方程〃 + 6x +13 = 0的一个根是A. —3 + 2i B・ 3 + 2/ C. —2 + 3/ D・ 2 + 3z3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-co,0)上单调递增，若实数"满足/(2M)>/(-V2),实数"的取值范围是A. B.4.如图，设区域Z) = {(^.y)IO<A：<l,O<y<l},向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y = ^与y =X2所围成阴影区域内的概率是A. -B. -C.丄D.-6 3 2 35.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 86,则判断框内的正整数的值为A.7B. 6,7C. 6,7,8D. &95=1*=■0.6.向量讥满足p +片=2辰，且(方―可门=0,则方』的夹角的余弦值为j=r+2*A. 0B. -C. -D.—3 2 2G古束)第II 卷 (非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.10.在体积为*的三棱锥S 一 ABC 中.AB = BC = 2.ZABC = 120 ,SA = SC 9且平面 SAC 丄平面ABC 9若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为2 211.已知点人迅是双曲线C$-计=1(“>0小>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足再鸟= 引13|啓则双曲线C 的离心率的取值范围为A. (1,+co)B.1 — 11 — xL X G (—2 ),则函数 g(X)= f(X)-COS7TX 在区间[0,8] 3/(x-2),xe[2,+oo) 内所有零点的和为 A. 16 B. 30 C. 327. 已知等差数列｛©｝中，S “为其前"项和，若= an 2+4“+a—4(d w R),记数列、孑、n “的前项和为人，则心=&已知aj^c 均为正数，且(d+c)(Z? + c) = 2,则a + 2b+3c 的最小值是A. y/2B. 2>/2C. 4D. 89•某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为 芈则正视图和的值为A” B. 2 亦C. £2D.- 320逅兀A. -----------3B.芈C. 20龙 D&12•已知函数/(兀)=彳D. 40C.D.\+y-2<013.已知满足约束条件x-2y-2<0,若2x+y + A:>0恒成立，则实数斤的取值范2x-y+2>0围为________________ .14.若(1 — 2x) = a()+ ciyX + • • • +(x € R) 9则q + 2d? + …+ 201 厶勺仍= _______ •2 215.已知点A,F分别是椭圆C:-^- + p- = l(«>/7>0)的上顶点和左焦点，若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为________________ .16.若数列｛①｝满足a2一% > a3 -①> 5 -佝> …〉冷+1 -则称数列｛。

2020届全国大联考高三联考数学（理）试题一、单选题 1．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】205110()()133<<=Q ，10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DMr =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 【答案】18【解析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v______.【答案】14425【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260【解析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 16．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为_______.【答案】【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，根据弦长公式，只需||OM 最小，在,APM AQMV V中，根据余弦定理将22||,||AP AQ 表示出来，由AMP AMQ π∠+∠=，得到2222||||2||2||AP AQ AM MQ +=+，结合弦长公式得到22||||16AM OM -=，求出点M 的轨迹方程，即可求解. 【详解】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，① 在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，②,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q①+②得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++， 即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||22OM ==，max ||22PQ =. 故答案为：22.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点M 的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【答案】(1) 12π．(2)． 【解析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得22a sinBb sinA ⋅===()1sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯=⎪⎝⎭Q ，11222ABC S absinC ∴==⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN u u u r，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知3CN =，2MN =，且四边形ABCD为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2N ，()1,0,2F ，所以()0,2,0AB =u u u r，()1,1,2AF =-u u u r ，()0,1,2CN =-u u u r .设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取()2,0,1n =r.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以22sin 333CN n CN nθ⋅===⨯u u u r r u u u r r ， 所以直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎫⎪⎝⎭或135,24⎛-⎝⎭【解析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m=-，则2QF的方程为1x=②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N ny =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P uuu u r 应与2F N u u u u r共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--u u u u r u u u u r所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围； （2）设()()()221ln 1e 11xH x x x x x ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【答案】（1）(]0,2 （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间()0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x x x x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间()0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间()0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -…，即02t <…时，()0F x '…， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<， 则()x θ图象的对称轴12tx =>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2. （2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1xx H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln xx x x x x x--+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <， 所以()()()21e 10eln x xx x x H x x x--+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x-⇔<-+. 令()()e 101xh x x x =--<<，则()e 10xh x '=->，所以()h x 在()0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111xx x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->.令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.因为()()()222e 101x x m x x-'=>+，所以()m x 在()0,1上单调递增，所以()()e122m x m <=<，即()2m x <在()0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。

2019-2020年高三数学第六次联考试卷理考生注意:1.本试卷分数学Ⅰ试题,共160分,考试时间120分钟;数学Ⅱ(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.)1.已知集合A={2,0,1},B={1,0,5},则A∪B=▲.2.设(1-i)z=3-2i(i为虚数单位),则|z|= ▲.3.一个总体A、B两层的个数比为3∶2,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则A层中应抽取▲个.4.执行如图所示的程序框图,若输入的x值为3,则输出的x值为▲.5.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为▲.6.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为▲.7.已知cos(θ+)=,则sin 2θ= ▲.8.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上,且AE=AA1,CF=CC1,点A,C到BD的距离之比为2∶3,则三棱锥E—BCD和F—ABD的体积比= ▲.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(2015)=▲.10.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是▲.11.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)<t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,当a∈[-1,1]时,则t的取值范围是▲.12.已知从圆C:x2+y2+2x-4y+3=0外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取得最小值时点P的坐标为▲.13.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,P是两曲线的公共点,且|PF|=p,则此双曲线的离心率为▲.14.以(0,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m为分母组成分数集合A1,其所有元素和为a1;以(0,m2)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2,其所有元素和为a2;……,依次类推以(0,m n)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m n为分母组成不属于A1,A2,…,A n-1的分数集合A n,其所有元素和为a n,则a1+a2+…+a n= ▲.二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c,cos C=.(1)求sin B的值;(2)若D为AC中点,且△ABD的面积为,求BD的长度.16.(本小题满分14分)如图,已知AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=CE.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:平面BDE⊥平面BCE.17.(本小题满分14分)我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元).(1)求该村的第x天的旅游收入p(x)(单位:千元,1≤x≤30,x∈N*)的函数关系;(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?18.(本小题满分16分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(,),记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x.(1)当x>0时,设g(x)=f(x)-(a+1)x(a∈R).讨论函数g(x)的单调性;(2)证明:当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.20.(本小题满分16分)若数列{a n}满足条件:存在正整数k,使得=对一切n∈N*,n>k都成立,则称数列{a n}为k 级等比数列.(1)若a n=2n sin(ωn+)(ω为常数),且{a n}是3级等比数列,求ω所有可能值的集合;(2)若正项数列{a n}既为2级等比数列,也为3级等比数列,证明:{a n}为等比数列.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小．．．．．．．题作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆M与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10,求.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=,且A=,求直线l1:x-y+1=0在矩阵A对应的变换下得到的直线l2的方程.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.若点A在曲线C'上,点B(3,0),当点A在曲线C'上运动时,求AB中点P的轨迹方程.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=3,求证:++≥3.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在几何体SABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)某公司财务部和行政部需要招人,现有甲、乙、丙、丁四人应聘,其中甲、乙两人各自独立应聘财务部,丙、丁两人各自独立应聘行政部,已知甲、乙两人各自应聘成功的概率均为,丙、丁两人各自应聘成功的概率均为.(1)求财务部应聘成功的人数多于行政部应聘成功的人数的概率;(2)记该公司被应聘成功的总人数为X,求X的分布列和期望.2015届高三第六次联考·数学试卷参考答案1.{2,0,1,5} 根据并集的计算知A∪B={2,0,1,5}.2. 由(1-i)z=3-2i,得z==,所以|z|==.3.12 A层应抽取20×=12个.4.127 若输入的x=3,则x=23-1=7,而7<126,故x=27-1=127,而127≥126,故x=27-1=127,所以输出的x值为127.5.2 画出可行域可知当目标函数过点(1,0)时取得最小值,最小值为z=2×1+0=2.6. 从4个球中随机抽取两个球,共有6种抽法.满足两球编号之和大于5的情况有(2,4),(3,4)共2种取法.所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为=.7. cos[2(θ+)]=2cos2(θ+)-1=2×-1=-,cos[2(θ+)]=cos(2θ+)=-sin 2θ,sin 2θ=.8. 因为点A,C到BD的距离之比为2∶3,所以=,设AA1=a,则三棱锥E—BCD的高为a,三棱锥F—ABD的高为a,故==.9.- 由图可知A=2,T==4(6-4)=8,∴ω=,∴f(x)=2sin(x+φ),又f(6)=-2,即sin(×6+φ)=-1,可得φ=0,∴f(x)=2sinx,∴f(2015)=2sinπ=-2sin=-.10.(-,0) 依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0).11.(-∞,-2)∪(2,+∞)根据题意,f(x)在[-1,1]上是增函数,且最大值为f(1)=-f(-1)=1,若函数f(x)<t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则1<t2-2at+1,即0<t2-2at.当t=0时,不符合题意;当t≠0时,设g(a)=-2at+t2,要使g(a)>0在a∈[-1,1]时恒成立,则有⇒解得t>2或t<-2.12.(-,) 因为|PO|2+r2=|PC|2(c为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).13.3 设双曲线的左焦点为F1,由题可知抛物线的准线方程为x=-,F(,0),F1(-,0),c=.由抛物线的定义知点P到准线的距离为p,所以可得点P的横坐标为p-=,纵坐标为p,即点P的坐标为(,p),∴|PF1|2=(+)2+(p)2=p2,∴|PF1|=p,∴2a=|PF1|-|PF|=p-p=p,即a=p,∴e===3.14. 依题意可得a1=.因为以m2为分母组成属于集合A1的元素为,,…,即,,…,.而这些元素的和为a1,所以a2=-a1,即=a1+a2.同理=a1+a2+a3,…,=a1+a2+a3+…+a n.所以可得a1+a2+…+a n=.15.解:(1)由cos C=,得sin C=,由正弦定理得sin A==,∵a<c,∴A<C,∴A∈(0,),∴cos A=,∴sin B=sin(A+C)=×+×=.7分(2)∵sin B=sin C,∴B=C,∴b=c.由△ABD的面积为,∴·csin A=c2·=,得c=2,BD2=12+22-2×1×2×=,∴BD=.14分16.证明:(1)取BE的中点G,连结GF,GD.因为F是BC的中点,则GF为△BCE的中位线.所以GF∥EC,GF=CE.因为AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,所以GF∥AD.又因为AD=CE,所以GF=AD.所以四边形GFAD为平行四边形.所以AF∥DG.因为DG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.7分(2)因为AB=AC,F为BC的中点,所以AF⊥BC.因为EC⊥平面ABC,所以AF⊥EC,所以AF⊥平面BCE.因为AF∥DG,所以DG⊥平面BCE.又DG⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCE.14分17.解:(1)依据题意,有p(x)=f(x)·g(x)=(8+)·(143-|x-22|)(1≤x≤30,x∈N*)=6分(2)①当1≤x≤22,x∈N*时,p(x)=8x++976≥2+976=1152(当且仅当x=11时,等号成立). 因此,p(x)min=p(11)=1152(千元).②当22<x≤30,x∈N*时,p(x)=-8x++1312.考察函数y=-8x+的图象,可知y=-8x+在(22,30]上单调递减,于是,p(x)min=p(30)=1116(千元).又1152>1116,所以,日最低收入为1116千元,该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万元).因为803.52万元>800万元,所以该村两年内能收回全部投资资金.14分18.解:(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为x2+2y2=1.6分(2)因为A(-1,0),所以直线AD:y=k1(x+1),直线AE:y=k2(x+1).联立,消去y,得(1+2)x2+4x+2-1=0,解得x=-1或x=,故点D(,).同理,E(,).又k1k2=2,故E(,).故直线DE的方程为y-=·(x-),即y-=·(x-),于是y=x+.所以2y-(3x+5)k1+4y=0.则令得直线DE恒过定点(-,0).16分19.解:(1)g(x)=e x-(a+1)x,所以g'(x)=e x-(a+1).当x>0时,e x>1,故有:当a+1≤1,即a≤0时,x∈(0,+∞),g'(x)>0;当a+1>1,即a>0时,e x>1,令g'(x)>0,得x>ln(a+1);令g'(x)<0,得0<x<ln(a+1),综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数;当a>0时,g(x)在(0,ln(a+1))上是减函数,在(ln(a+1),+∞)上是增函数.8分(2)设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=e x-x2-x-1,则h'(x)=e x-2x-1,令m(x)=h'(x)=e x-2x-1,则m'(x)=e x-2,因为x∈[,1],所以当x∈[,ln 2)时,m'(x)<0;m(x)在[,ln 2)上是减函数,当x∈(ln 2,1]时,m'(x)>0,m(x)在(ln 2,1]上是增函数,又m()=-2<0,m(1)=e-3<0,所以当x∈[,1]时,恒有m(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在[,1]上为减函数,所以h(x)≤h()=-<0,即当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.16分20.解:(1){a n}是3级等比数列,=,[2n sin(ωn+)]2=2n-3sin[(ωn+)-3ω]2n+3sin[(ωn+)+3ω],sin2(ωn+)=sin[(ωn+)-3ω]sin[(ωn+)+3ω]=sin2(ωn+)cos23ω-cos2(ωn+)sin23ω=sin2(ωn+)(1-sin23ω)-[1-sin2(ωn+)]sin23ω=sin2(ωn+)-sin23ω,∴sin23ω=0,3ω=kπ(k∈Z),∴ω=(k∈Z),∴ω∈{ω|ω=,k∈Z}.7分(2)若{a n}为2级等比数列,=,则{a2n-1},{a2n}均成等比数列,设等比数列{a2n-1},{a2n}的公比分别为q1,q2(q1q2≠0),{a n}为3级等比数列,=,则{a3n-2}成等比数列,设公比为Q(Q≠0).9分a1,a7既是{a2n-1}中的项,也是{a3n-2}中的项,==Q2,a4,a10既是{a2n}中的项,也是{a3n-2}中的项,==Q2,==Q2,∴q1=q2.12分设q1=q2=q2(q≠0),则Q=q3,所以a2n-1=a1=a1q2n-2(n∈N*),a2n=a2=a2q2n-2(n∈N*),又a4=a1Q=a1q3,a4=a2q2=a2q2,所以a2=a1q,14分a2n=a1q2n-1(n∈N*),所以,a2n-1=a1q2n-2,a2n=a1q2n-1(n∈N*),综合得:a n=a1q n-1(n∈N*),显然{a n}为等比数列.16分21.A.解:根据弦切角定理,知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA,则=,故AB2=BC·BD=50,AB=5.5分根据切割线定理,知CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,两式相除,得=·(*).由△ABC∽△DBA,得===,=,又==,由(*)得=1.10分B.解:因为A=,所以=,可得,所以,A=,==-7-(-6)=-1,所以A-1=.5分设直线l1上任一点P1(x1,y1)在矩阵A对应的变换下得到的直线l2上的对应点P(x,y),由题意可得=,所以,从而有,代入方程x-y+1=0得直线l2的方程4x-y+1=0.10分C.解:将代入,得C'的参数方程为,∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1.5分设P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中点为P,所以有.又点A在曲线C'上,∴代入C'的普通方程+=1得(2x-3)2+(2y)2=1,∴动点P的轨迹方程为(x-)2+y2=.10分D.解:∵+a≥2b,+b≥2c,+c≥2a,∴+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c=3,当且仅当a=b=c=1时取等号.10分22.解:过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,分别以DC,DE,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,则点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为. 则有D(0,0,0),S(-1,,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1).2分(1)设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),∵=(2,0,-1),=(-1,,-2).则有,取x=,得n=(,5,2).又=(3,-,0),设SC与平面SAB所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==, 故SC与平面SAB所成角的正弦值为.6分(2)设平面SAD的法向量为m=(x0,y0,z0),∵=(0,0,-2),=(-1,,-2),则有,取x0=,得m=(,1,0).∴cos<n,m>===,故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是10分23.解:(1)P=××2×+××=.3分(2)X可取0,1,2,3,4,P(X=0)=···=,P(X=1)=····+····=,P(X=2)=···+·····+···=,P(X=3)=····+····=,P(X=4)=···=.∴X的分布列为E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=.10分。