安徽省亳州市涡阳四中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

A ． π5．已知双曲线 - = 1的离心率为 , 则 m =2016—2017 学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．三个点D ．一个三角形2．直线 x - y - 1 = 0 的倾斜角是6B ．π4C ．π3D ．π23. 若椭圆x 2 y 2+ = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点的距离为 25 16A ． 7B ． 5C ． 3D ． 24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行x 2 y 2 516 m 4A ． 7B ． 6C ． 9D ． 86．已知 A (-2,0) ， B (2,0) ，动点 P ( x , y ) 满足 P A ⋅ PB = x 2，则动点 P 的轨迹为A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A．[-1,1]B．[-11A．82B．162 C．10 D．62主视图左视图44俯视图8．设点M(x,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45，则x的取值范围是0022,]C．[-2,2]D．[-,]2222第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．原点到直线4x+3y-1=0的距离为___________．10．抛物线y2=2x的准线方程是___________．11．已知a=(1,2,3)，b=(-1,3,0)，则a⋅b+b=___________．12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.16．（本题满分13分）已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x-2y-1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线l的方程．1 1C如图，正方体ABCDA BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点．（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值．A1D1B1EC1ABFD18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) ．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程．平面 BCP 所成角的大小为 ？ 若存在，求出如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ ． F 为 P A 中点， PD = 2 ，1AB = AD = CD = 1 ． 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N ．2（Ⅰ）求证： AC // 平面 DEF ；（Ⅱ）求二面角 A - BC - P 的大小；PE（Ⅲ）在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与Nπ6FDCQ 点所在的位置；若不存在，请说明理由．A B20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号答案1D2B3A4D5C6D7B8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.151；10.x=-；11.23+1；212.x-2y-1=0；13.16π；14.22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD.又AD PD=D,所以C D⊥平面PAD.而P A⊂平面P AD,所以CD⊥P A.-------------------------------------6分（Ⅱ）取PC的中点M，连结DM,FM,所以FM∥BC，FM=12 BC，因为GD∥BC，GD=12BC，所以四边形FMDG为平行四边形，所以GF∥DM.又易证BC⊥平面PDC，所以DM⊥BC,又PD=DC,M为PC的中点，所以DM⊥PC.则GF⊥BC且GF⊥PC.又BC⋂PC=C,所以GF⊥平面PCB---------------------------------------------13分（Ⅱ）设 G (1,0,0) 则 FG = (0, -1, -1) ， CB = (2,0,0) ， PC = (0,2, -2) .⎧得 ⎨2 x + y + 2 = 0， 1 1 BF解法二：（Ⅰ）证明：以 D 为原点建立如图空间直角坐标系则 A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)P (0,0,2)F (1,1,1)所以 P A = (2,0, -2) , DC = (0,2,0) .则 P A ⋅ DC = 0 ，所以 P A ⊥ CD . --------------------------6 分⎧⎪ FG ⋅ C B = 0, 又 ⎨⎪⎩ FG ⋅ PC = 0,故 GF ⊥平面 PCB . ------------------------------------------------13 分16.（本题满分 13 分）已知直线 l 经过直线 3x + 4 y - 2 = 0 与直线 2 x + y + 2 = 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x - 2 y - 1 = 0 .（Ⅰ）求交点 P 的坐标；（Ⅱ）求直线 l 的方程.解：（Ⅰ）由 ⎨3x + 4 y - 2 = 0， ⎧ x = -2，⎩ ⎩ y = 2，所以 P ( - 2 ， 2 ).--------------------------------------------------5 分（Ⅱ）因为直线 l 与直线 x - 2 y - 1 = 0 垂直，所以 k = -2 ，l所以直线 l 的方程为 2 x + y + 2 = 0 .---------------------------------------13 分17.（本小题满分 13 分）如图，正方体 ABCD - A BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点.（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系 A-xyz,则 A(0，0，0)，A1 D1B1 C1E1E （1，0， ），2A 1（0，0，1） F （ 1，1，0）2ACD.-------------------------------------13 分 5 ,可得 tan α =1AE =(1，0， ),2A1zD11A F =( ，1，-1) 1 2AE ⋅ A F =01B1EC1所以 AE ⊥ A F1所 以 AE 与 A 1F 所 成 角 为 90 °BACFDy-------------------------------------6 分x（Ⅱ）解法 1：∵ ABCD - A BC D 是正方体，1 1 1 1∴BB 1⊥平面 ABCD∴∠EAB 就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB 1 中点，1 在直角三角形 EBA 中，tan ∠EAB = 2解法 2：设 AE 与平面 ABCD 所成角为 α平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1)则sin α =cos< AE , n >= AE ⋅ nAE ⨯ n = 112∴ AE 与平面 ABCD 所成角的正切等于 1 2. ----------------------------------13 分18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) .（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线 l 的斜率 k = 3 - 1 = 1，4 - 2所以，直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 .--------------------6 分（Ⅱ）因为圆 C 的圆心在直线 l 上，可设圆心坐标为 (a , a - 1) ，因为圆 C 与 y 轴相切于 (0,3) 点，所以圆心在直线 y = 3 上.所以 a = 4 .所以圆心坐标为 (4,3) ，半径为 4.所以，圆 C 的方程为 ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 16 .---------------------------13 分AB = AD = CD = 1. 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N .⎩ z = 2⎪ ⎧ ⎩ ⎩19.（本小题满分 14 分）如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ . F 为 P A 中点， PD = 2 ，12(I) 求证： AC // 平面 DEF ； PE(II) 求二面角 A - BC - P 的大小；N(III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与F平面 BCP 所成角的大小为 π 6？ 若存在，求 Q 点DC所在的位置；若不存在，请说明理由.AB解：(Ⅰ)连接 FN , 在 ∆PAC 中， F , N 分别为 P A , PC 中点，所以 FN / / AC ,因为 FN ⊂ 平面DEF , AC ⊄ 平面DEF ,所以 AC / / 平面 D EF ----------------------------------5 分(Ⅱ)如图以 D 为原点，分别以 DA , DC , DP 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 D - xyz .zPENFxACD yB则 P (0,0, 2), B (1,1,0), C (0,2,0), 所以 PB = (1,1, - 2), BC = (-1,1,0).⎧m ⋅ PB = ( x , y , z ) ⋅(1,1,- 2) = 0 设平面 PBC 的法向量为 m = ( x , y , z ), 则 ⎨⎪⎩m ⋅ BC = ( x , y , z ) ⋅ (-1,1,0) = 0⎧⎪ x + y - 2 z = 0 ⎪ x = x即 ⎨, 解得 ⎨ , ⎪- x + y = 0 ⎪ z = 2 x⎧ x = 1⎪令 x = 1 ，得 ⎨ y = 1 , 所以 m = (1,1, 2).⎪因为平 面ABC 的法向量 n = (0,0,1),n ⋅ m 2所以 cos n , m = = ，n ⋅ m2由图可知二面角 A - BC - P 为锐二面角，,因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 ，所以 e = c ．所以椭圆 C 的离心率为 ． -----------------------------------5 分k 2 + 1 = 1 ，即 k 2 + 1 = m 2 ．⎧ 3k 2 + 1 3k 2 + 1所以二面角 A - BC - P 的大小为 π.4-----------------------------10 分(Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件，且 Q 点与 E 点重合.1 2由 F ( ,0, ), E (0,2, 2). 设 FQ = λ F E (0 ≤ λ ≤ 1) ，2 21 - λ 2(1 + λ) 整理得 Q ( ,2 λ, ) ， BQ = (-2 21 + λ 2(1 + λ),2 λ - 1, ), 2 2π6π BQ ⋅ m | 5λ - 1| 1所以 sin =| cos BQ , m |=| |== ， 6 BQ ⋅ m 2 19λ 2 - 10λ + 7 2则 λ 2 = 1,由0 ≤ λ ≤ 1知 λ = 1 ，即 Q 点与 E 点重合. -------------------14 分20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知 a 2 = 4 ， b 2 =4 8，所以 c 2 = a 2 - b 2 = ． 3 36 6= a 3 3（Ⅱ）若切线 l 的斜率不存在，则 l : x = ±1．在x 2 3 y 2+ = 1 中令 x = 1 得 y = ±1 ． 4 4不妨设 A (1,1), B (1, -1) ，则 OA ⋅ O B = 1 -1 = 0 ．所以 O A ⊥ OB ．同理，当 l : x = -1时，也有 OA ⊥ OB ．若切线 l 的斜率存在，设 l : y = kx + m ，依题意m由 ⎨ y = kx + m ⎩ x 2 + 3 y 2 = 4，得 (3k 2 + 1)x 2 + 6kmx + 3m 2 - 4 = 0 ．显然 ∆ > 0 ．设 A ( x , y ) ， B ( x , y ) ,则 x + x = - 1 1 2 2 1 2 6km 3m 2 - 4， x x = ．1 2)[( x + x ) - 4 x x ] = 1 + k 1所以 y y = (kx + m )(kx + m ) = k 2 x x + km ( x + x ) + m 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2所以 OA ⋅ O B = x x + y y = (k 2 + 1)x x + km ( x + x ) + m 2 1 21 2 1 2 1 2= (k 2 + 1) 3m 2 - 4 6km - km 3k 2 + 1 3k 2 + 1 + m 2== (k 2 + 1)(3m 2 - 4) - 6k 2m 2 + (3k 2 + 1)m 2 3k 2 + 14m 2 - 4k 2 - 4 3k 2 + 14(k 2 + 1) - 4k 2 - 4 = = 0 ． 3k 2 + 1所以 OA ⊥ OB ．综上所述，总有 O A ⊥ OB 成立． ----------------------------------------------10 分（Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 ∆OAB 的高，当 l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 AB = 2 ．则 S∆OAB = 1 .当 l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB = (1+ k 2 2 2 ⋅ ( 1 2 1 2 6km 3m 2 - 4 )2 - 4 ⋅ 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 = ⋅ 9k 2m 2 - (3m 2 - 4)(3k 2 + 1) 3k 2 + 12 1 + k 2 2 1 + k 2 = ⋅ 12k 2 - 3m 2 + 4 = ⋅ 12k 2 - 3(k 2 + 1) + 4 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 =⋅ 9k 2 + 1 ．3k 2 + 1 所以 AB 2 = 4(1+ k 2 )(9k 2 + 1) 4(9k 4 + 10k 2 + 1) 4k 2 = = 4(1+ ) (3k 2 + 1)2 9k 4 + 6k 2 + 1 9k 4 + 6k 2 + 1= 4 + 16 ⋅ k 2 16 4 16 3 = 4 + ≤ 4 + = （ 当 且 仅当 k = ± 9k 4 + 6k 2 + 1 3 3 3 9k 2 + + 6 k 2时，等号成立）．所以AB≤43∆OAB max=.综上所述，当且仅当k=±3时，∆OAB面积的最大值为．-------------------14分23．此时,(S)332333。

2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）椭圆的焦距为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知2018是等差数列5，8，11，14，17，…的第n项，则n＝（）A．669B．670C．671D．6723．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．4B．3C．0D．25．（5分）在△ABC中，已知，则C＝（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°6．（5分）“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝（）A．8B．±8C．D．8．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a（c2+1）＞b|c|D．ac2＞bc29．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）10．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为（）A．5B．6C．D．11．（5分）设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣12．（5分）已知数列{a n}满足递推关系，（其中λ为正常数，n∈N*）且a1+a7＝1，a2+a6＝0．若等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，则正整数n的所有可能取值之和为（）A．3B．4C．6D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“∃x＞0，”的否定为．14．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量用，，，可表示为．15．（5分）若等比数列{a n}的前n项和恒成立，则该数列的公比q的取值范围是．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若直线x＝﹣a上存在点P，使得∠OPF＝30°，其中O为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：（1），，；（2）（+）与（+）所成角的余弦值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，记数列{a2n+1}的前n项和为S n．（1）求S n；（2）设数列的前n项和为T n，若a2，a5，a m成等比数列，求T m．19．（12分）已知命题恒成立；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且2a cos B＝2c﹣b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．21．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D是侧棱CC1的中点．（1）证明：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）若平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小为，求四棱锥B1﹣AA1C1D的体积．22．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，C的坐标分别为，三个内角A，B，C满足．（1）若顶点B的轨迹为W，求曲线W的方程；（2）若点P为曲线W上的一点，过点P作曲线W的切线交圆O：x2+y2＝4于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：椭圆，可得a＝2，b＝，所以c＝，椭圆的焦距为：2c＝2．故选：B．2．【解答】解：由等差数列5，8，11，14，17，…，可得此数列首项为5，公差为3．∴a n＝5+3（n﹣1）＝3n+2．令3n+2＝2018，解得n＝672．故选：D．3．【解答】解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．4．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝0，y＝2，解得A（0，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝0+2×2＝4．即目标函数z＝x+2y的最大值为4．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∴C＝60°或C＝120°，故选：C．6．【解答】解：∵可得≥0，可得x＞1或x≤﹣2；∵“（x+2）（x﹣1）≥0”可得x≥1或x≤﹣2，∴“”⇒“（x+2）（x﹣1）≥0”∴“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：根据题意，抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝y，其焦点在x轴上，且准线方程为y＝﹣，若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则有|﹣|＝2，解可得m＝±，故选：D．8．【解答】解：令a＝，b＝，可验证A错误；令a＝16，b＝4，可验证B错误；令c＝0，可验证D错误；事实上，c2+1≥2|c|≥|c|（两个等号不同时成立）故选：C．9．【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则＝（x﹣1，﹣2，z+1），＝（4，4，8）；又与共线，∴＝λ；即，解得x＝﹣1，z＝﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．10．【解答】解：设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH＝p，由于点F是AC的中点，|AF|＝4，∴AM＝4＝2p，∴p＝2，设BF＝BN＝x，则，即，解得x＝∴，故选：C．11．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2＝6故可设．θ⊊R．则：a+b＝，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选：C．12．【解答】解：∵，∴当n≤5，时，a n+1﹣a n＝λ，即数列{a n}的前6项构成等差数列，且公差为λ，当n≥6时，，即数列{a n}从第项起构成等比数列，且公比为2λ，∵a2+a6＝0，∴a4＝0，则a1＝﹣3λ，a6＝2λ，∵a1+a7＝1，∴﹣3λ+2λ•2λ＝1，即4λ2﹣3λ﹣1＝0．解得λ＝1或．∵λ＞0，∴λ＝1．∴数列{a n}为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，…∵（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）＝﹣3﹣2﹣1，∴当n＝1时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，∵（﹣1）×0×1＝﹣1+0+1，∴当n＝3时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，当n≠1且n≠3时，等式不成立，∴正整数n的所有可能取值之和为4．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，14．【解答】解：∵平行四边形A1B1C1D1中，对角线A1C1、B1D1相交于点M，∴向量＝＝（﹣），∵平行四边形AA1B1B中，＝；平行四边形AA1D1D中，＝，∴＝（﹣），又∵＝，∴＝＝+（﹣）＝﹣++．故答案为：﹣++15．【解答】解：根据题意，对于等比数列{a n}，其公比为q，若等比数列{a n}的前n项和恒成立，当n＝1时，a1＝S1＞0，分2种情况讨论：（1）若q＝1，则S n＝na1，只要a1＞0，S n＞0就一定成立，符合题意，（2）若q≠1，则S n＝，若S n＞0，必有＞0，又有2种情况：①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q＝﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．16．【解答】解：设△OPF的外接圆的半径r，由|OF|＝c，正弦定理可得，2r＝＝2c，即有r＝c，且圆心m在x＝上，P在圆上，所以原题等价于直线x＝﹣a与圆M存在公共点，即有≤c﹣a，由离心率公式可得e≥2．则双曲线的离心率的最小值为2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，故＝（3，﹣2，2）（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝18．【解答】解：（1）∵在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，∴（a1+2×2）+（a1+3×2）＝12，解得a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．∵数列{a2n﹣1}的前n项和为S n，a2n﹣1＝2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，∴{a2n﹣1}是1为首项，4为公差的等差数列，∴S n＝＝2n2﹣n．（2）∵a2，a5，a m成等比数列，∴a2a m＝a52，∴3（2m﹣1）＝92，解得m＝14．∴＝＝（﹣），∴T m＝T14＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．19．【解答】解：（1）＝（x﹣1）++2，∵x＞1，∴（x﹣1）++2≥2+2＝4，当且仅当x＝2时取得等号，故命题p为真命题时，m≤4．（2）若命题q为真命题，则（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，因为命题p或q为真命题，则p，q至少有一个真命题，p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．当命题p为真命题，命题q为假命题时，，则m≤﹣2，或2≤m≤4；当命题p为假命题，命题q为真命题时，，舍去．综上，m≤﹣2，或2≤m≤4．20．【解答】解：（1）∵2a cos B＝2c﹣b，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝2sin C﹣sin B，可得：2sin A cos B＝2sin A cos B+2sin B cos A ﹣sin B，∴2sin B cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴．（2）∵，由正弦定理可得：a＝2R sin A＝，又∵a2＝3＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥bc，可得：bc≤3，∴S＝bc sin A≤×3＝，即该三角形面积的最大值为．21．【解答】证明：（1）如图①，取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF，由题意知EF BB 1，又CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴△ABC为正三角形，∴CF⊥AB．∵CF⊂平面ABC，CF⊥BB1，而AB∩BB1＝B，∴CF⊥平面ABB1A1．又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．而DE⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．解：（2）（方法一）以B为原点，建立如图①所示的空间直角坐标系，设AA1＝h，则A（），D（0，2，），B1（0，0，h），则＝（﹣，h），＝（﹣）．设＝（1，y，z）为平面AB1D的一个法向量．由，得＝（1，），平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），|cos＜＞|＝＝＝cos＝，解得h＝2．∴四棱锥B1﹣AA1C1D的体积V＝×＝＝．（方法二）如图②，延长B1D与BC交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为CC1的中点，∴D也是B1M的中点，又∵E是AB1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ABB1A1．∴∠B1AB为平面AB1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴∠B1AB＝，∴AA1＝BB1＝AB＝2．四棱锥B1﹣AA1C1D的体积＝＝＝．22．【解答】解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由，得2b＝（a+c）．∵b＝2，∴a+c＝4，即|BC|+|BA|＝4．由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为1，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）．∴B点的轨迹方程为（y≠0）；（2）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，则d＝，∴|MN|＝2，∴＝＝＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝，∴S△MCO+S△NAO＝＝＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝．而m2＝4k2+1，，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，∴＝，当且仅当|m|＝，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．。

安徽省亳州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数1()()2x xf x e e-=-，则f（x）的图象（）A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．关于直线y=x对称3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣πB．24﹣C．24﹣D．24﹣4．已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A．﹣1或3 B．﹣1或3 C．1或3 D．1或﹣35．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知变量x，y满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为（）A．B．1 C．D．27．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=28．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A．1 B．2 C．D．9．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．9010．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为1，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF 与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（4，4）C．（4，±4）D．（2，±2）12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0 则命题￢p是．14．函数y=（tanx﹣1）cos2x的最大值是．15．已知△ABC中AC=4，AB=2若G为△ABC的重心，则= ．16．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β．可由上述条件可推出的结论有（请将你认为正确的结论的序号都填上）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．18．（12分）已知函数，f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n）（n∈N*）（I）求证数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）记S n=a1a2+a2a3+..a n a n+1，求S n．19．（12分）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．20．（12分）如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值．21．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，点M（﹣，0），求证：•为定值．22．（12分）已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}，其中k为正常数（1）设u=x1x2，求u的取值范围（2）求证：当k≥1时，不等式（﹣x1）（﹣x2）≤（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立（3）求使不等式（﹣x1）（﹣x2）≥（）2对任意（x1，x2）∈D恒成立的k的范围．安徽省亳州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1--5: BACDC 6--10: ACBCD 11--12：DB 二.填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.2,10x R x x ∀∈+-≥ 14. 2 －1215. 4 16.②④ 三.解答题（本大题共6小题,共70分） 17.（1）sin cos b A B=，由正弦定理得sin sin cos B A A B =------- ------2分即得tan B =，3B π∴=.-------------------------------------------------- -----5分（2）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，--------------------------------- -----7分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，---------------- ----9分解得a =2c a ∴==分 18.解：（1）由已知得131n n n a a a +=+即1113n na a +-= -----------------------------------2分 ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差3的等差数列. ------------------------------------- ----3分所以113(1)32n n n a =+-=-，即132n a n =- *()n N ∈-------------------------------5分 (2) ∵11111()(32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+-----------------------------------7分12231n n n S a a a a a a +=⋅+⋅++⋅=1111447(32)(31)n n +++⨯⨯-⨯+--------------9分=11111111(1)()()(1)3447323133131nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦---------------12分19． 解：（1）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(),x y 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)16种结果----------------2分记A ={甲的成绩比乙高}则A 包含(9,6),(9,7),(9,8),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)有7种结果 ---------------------4分∴()716P A =--------------------------------------------------------------------6分 (2) 甲的成绩平均数1569107.54x +++==乙的成绩平均数267897.54x +++==甲的成绩方差222221(57.5)(67.5)(97.5)(107.5) 4.254S -+-+-+-== 乙的成绩方差222222(67.5)(77.5)(87.5)(97.5) 1.254S -+-+-+-==---------------10分 ∵12x x =，21S >22S ∴选派乙运动员参加决赛比较合适-----------------------------12分20. 解：依题意可知， 1AA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，方法1：空间向量法，如图建立空间直角坐标系o xyz -，因为1AB AC AA ==＝4，则1(0,0,0),(4,0,0)(0,4,2),(2,2,0),(4,0,4)A B E O B ------------------------------------2分 （1）1(224)(222)BO EO =--=--，，，，，，(2,2,0)AO =--------------3分 1(2)22(2)(4)(2)0BO EO =-+-+--=×××，∴1B O EO ⊥，∴1B O EO ⊥ 1(2)222(4)00BO AO =-++-=×××， ∴1B O AO ⊥，∴1B O AO ⊥--------------5分 ∵AOEO O =，,AO EO ⊂平面AEO ∴ 1B O ⊥平面AEO --------------------------6分 （2）由（1）知，平面AEO 的法向量为1(224)B O =--，，--------------------------------7分 设平面 B 1AE 的法向量为10()0n AE n x y z nB A ⎧=⎪=⎨=⎪⎩·，，，∴·， 即⎩⎨⎧=+=+002z x z y令x ＝2，则21(212)z y z =-==-，，∴，，----------------------10分∴111cos 6||||9n B O n B On B O <>===·，·×∴二面角B 1—AE —F 的余弦值为6分方法2：几何法（1）∵AB AC =，O 为BC 中点∴BC ⊥AO----------------------------------------------------------------1分 又∵B 1B ⊥平面ABC ∴AO B B ⊥1 ∵B BC B B =⋂1 ∴11BCC B AO 平面⊥∴B 1O ⊥AO --------------------------------------------------------------3分 又∵AB ＝AC=14AA =，则36,12,2421221===E B EO O B ∴22211B O EO B E +=∴B 1O ⊥EO-------------------------------------------------------------5分 ∵O AO EO =⋂∴1B O ⊥平面AEO ------------------------------------------------------6分 （2）过O 做OM ⊥AE 于点M ，连接B 1M ， -----------------------------------------7分 由（1）知B 1O ⊥平面AEO ∴AE O B ⊥1 ∵O O B OM =⋂1 ∴OM B AE 1平面⊥ ∴AE ⊥B 1M∴∠B 1MO 为二面角B 1—AE —O 的平面角，------------------------------------------------9分 由（1）知11BCC B AO 平面⊥ ∴EO ⊥AO在Rt △AEO 中，OE AO AE OM ⋅=⋅ ∴3052=OM ， 在Rt △B 1OM 中，∠B 1OM ＝90°621=O B ,5512524241=+=M B ∴66cos 11==∠M B OM MO B∴二面角B 1—AE —O 的余弦值为6分21.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+，c a = --------------------2分1223b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += -----------------------4分 （2）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= -----------------6分 设 ()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系得2122631k x x k +=-+ ， 21223531k x x k -=+-------7分 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++---------------------8分 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++ -------10分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++4222316549319k k k k ---=+++49=--------12分 22.（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122kx x ==时等号成立， 故u 的取值范围为2(0,]4k ．--------------------------------------------2分（2） 变形，得121212121221111()()x x x x x x x x x x x x --=+-- 222212121212121211122x x k k x x x x u x x x x x x u+--=+-=-+=-+. --------------------------------4分由204k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴由定义法可得21()2k f u u u -=-+在2(0,]4k 上是增函数-------------------6分 所以121211()()x x x x --=212k u u --+22222214222()4424k k k kk k k -≤-+=-+=-．即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-成立． -----------7分 （3）222112211⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 24412212212121+----+=k k x x x x x x x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=24411221212221x x x x x x k k x x ()21221212212212444x x x x x x k x x k x x k -----= k x x =+21因为,()2212124x x x x k -=-所以()()()21221221122212221142211x x x x x x xx k x x k k x x x x -----=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-所以()()212221222144--4x x k k x x k x x -=------------------------------10分 要使不等式222112211⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 恒成立，只需满足04--42212≥k x x k 恒成立 即22214-4k k x x ≤恒成立,由（1）知40221k x x ≤<所以2224-44kk k ≤，即0161624≤-+k k ,解得2520-≤<k ----------12分。

亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测理科数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213．0x ∀>1x >- 14．c b a ++-2121 15．()()1,00,-+∞ 16．217.解：（1）因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2,y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2,－4,－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)． ……5分（2）由（1）得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219. ……10分 18.解：（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-， ∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n n S n n +-==-. ……6分 （2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =， 即23(21)9m -=，∴14m =∵11111()(21)(21)22121n n na S n n n n +==--+-+， ∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. ……12分19.解：（1）()()2211112111x x x x x x -+==-++---，∵(1,)x ∈+∞，∴()11241x x -++≥-，故命题p 为真命题时，4m ≤． ……5分（2）若命题q 为真命题，则(2)(2)0m m -+<，所以22m -<<， ……7分 因为命题""p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个真命题，""p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题. ……9分当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，422m m m ≤⎧⎨≤-≥⎩或，则2m ≤-，或24m ≤≤；当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，422m m >⎧⎨-<<⎩， 舍去．综上，2m ≤-，或24m ≤≤. ……12分20. 解：（1） 2cos 22sin cos 2sin sin 212sin cos sin ,cos 420.63a B c bA B C BB A B A A A ππ=-∴=-∴=∴=<<∴=分分又分（2）3sin 2==A R a ， ……8分 又bc bc c b A bc c b a ≥-+=-+=22222cos 2，"",3==≤∴取当且仅当c b bc ， ……10分43343sin 21≤==∴bc A bc S ，即4ABC ∆面积的最大值为……12分 21.解：（1）如图①，取1AB 的中点E ，AB 的中点F ，连接,,DE EF CF ，易知//1EF BB = 又//112CD BB =，∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//DE CF . 又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，∴ABC ∆为正三角形，∴CF AB ⊥.∵CF ⊂平面ABC ，1CF BB ⊥,而1AB BB B ⋂=，∴CF ⊥平面11ABB A .又//DE CF ，∴DE ⊥平面11ABB A .而DE ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11ABB A .……6分（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设1AA h =，则()()13,1,0,0,2,,0,0,2h A D B h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()13,1,,3,1,2h AB h AD ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 设()1,,n y z =为平面1AB D 的一个法向量.由130,302n AB y hz hz n AD y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩得3,343,3y z h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3431,,33n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =， 24323cos ,cos 42116133m n h m n m n hπ⋅====⋅++ 所以221634161332h h +=， 即216124162h h =⇒=+.所以()11111111312233332B AACD AA C D V S -=⨯=⨯+⨯⨯=. ……12分 （方法二）如图②，延长1B D 与BC 交于点M ,连接AM .∵11//B C BC ,D 为1CC 的中点，∴D 也是1B M 的中点,又∵E 是1AB 的中点,∴//AM DE .∵DE ⊥平面11ABB A ,∴AM ⊥平面11ABB A .∴1B AB ∠为平面1AB D 与平面ABC 所成二面角的平面角.所以14B AB π∠=,∴112AA BB AB ===.∵作B 1M A 1C 1与A 1C 1交于点M ，∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1∴B 1M AA 1C 1 D ，∴B 1M 是高，所以……12分22.解：（1）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===.∵2sin 3(sin sin )B A C =+，∴23()b a c =+. ∵23b = ∴4a c += 即||||4BC BA +=.由椭圆定义知，B 点轨迹是以C ，A 为焦点，长半轴长为2，半焦距为3，短半轴长为1，中心在原点(0,0)的椭圆（除去左、右顶点）.。

2022-2021学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）其次次质检数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A． a n=2n﹣1 B．C． D．2．命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．任意x∈R，x2+2x+2≤0 B．不存在x∈R，x2+2x+2＞0C．存在x∈R，x2+2x+2≤0 D．存在x∈R，x2+2x+2＞03．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A． a3＞b3 B．＜ C． a2＞b2 D． 0＜b﹣a＜14．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A． 80 B． 40 C． 20 D． 105．已知实数x，y 满足，则2x﹣y的最大值为（）A． B． 0 C．﹣1 D．6．下列结论中正确的是（）A．命题p是真命题时，命题“P且q”定是真命题B．命题“P且q”是真命题时，命题P肯定是真命题C．命题“P且q”是假命题时，命题P肯定是假命题D．命题P是假命题时，命题“P且q”不肯定是假命题7．下列函数中，最小值为4的函数是（）A． B．C． y=e x+4e﹣x D． y=log3x+log x818．设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．9．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB 的值为（）A． B． C． D．10．将形如M=m n（m、n∈N*）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M 的m项分划”．例如，将4表示成4=22=1+3，称作“对4的2项分划”，将27表示成27=33=7+9+11，称作“对27的3项分划”．那么对256的16项分划中，最大的数是（）（）A． 19 B． 21 C． 31 D． 39二.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A= ．12．若1、a、b、c 、9成等比数列，则b= ．13．设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a 4+a9= ．14．若m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是．15．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出全部正确命题的序号）．①cosC＜1﹣cosB；②△ABC的面积为S△ABC=••tanA；③若acosA=ccosC，则△ABC肯定为等腰三角形；④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1；⑤若A=，a=，则b的最大值为2．三.解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．设命题p：≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“q⇒p”为真命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．19．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．20．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值为﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=（）f（n），求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若5f（a n）是b n与a n的等差中项，试问数列{b n}中第几项的值最小？求出这个最小值．2022-2021学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）其次次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A． a n=2n﹣1 B．C． D．考点：数列的概念及简洁表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把数列{a n}中1，﹣3，5，﹣7，9，…符号与通项的确定值分别考虑，再利用等差数列的通项公式即可得出．．解答：解：由数列{a n}中 1，﹣3，5，﹣7，9，…可以看出：符号正负相间，通项的确定值为1，3，5，7，9…为等差数列{b n}，其通项公式b n=2n﹣1．∴数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1（2n﹣1）．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2．命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．任意x∈R，x2+2x+2≤0 B．不存在x∈R，x2+2x+2＞0C．存在x∈R，x2+2x+2≤0 D．存在x∈R，x2+2x+2＞0考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是：存在x∈R，x2+2x+2≤0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本学问的考查．3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A． a3＞b3 B．＜ C． a2＞b2 D． 0＜b﹣a＜1考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．解答：解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b﹣a＜1．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．4．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A． 80 B． 40 C． 20 D． 10考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由于S n表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．解答：解：由题意可得：a5=S5﹣S4，由于S n=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选C．点评：解决此类问题的关键是把握S n表示的意义是数列前n项的和，并且加以正确的计算．5．已知实数x，y 满足，则2x﹣y的最大值为（）A． B． 0 C．﹣1 D．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先依据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过y轴的截距最小，即z最大值，从而求解．解答：解：先依据约束条件画出可行域，目标函数z=2x﹣y，z在点A （，）处取得最大值，可得z max=2×﹣=，故最大值为，故选A．点评：本题主要考查了简洁的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．下列结论中正确的是（）A．命题p是真命题时，命题“P且q”定是真命题B．命题“P且q”是真命题时，命题P肯定是真命题C．命题“P且q”是假命题时，命题P肯定是假命题D．命题P是假命题时，命题“P且q”不肯定是假命题考点：复合命题的真假．专题：综合题．分析：据题意，由P，q同真时，“P且q”是真命题，命题“p且q”是假命题我们可以命题p与命题q中至少存在一个假命题，由此对四个答案逐一进行分析即可得到答案．解答：解：对于A，P，q同真时，“P且q”是真命题，故A错；对于B，明显成立；对于C，命题“P且q”是假命题时，命题q可以是假命题，故C错；P，q同真时，“P且q”是真命题，故D错．故选B．点评：复合命题的真假推断，娴熟把握真值表是关键．7．下列函数中，最小值为4的函数是（）A． B．C． y=e x+4e﹣x D． y=log3x+log x81考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得=4，留意检验不等式使用的前提条件．解答：解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．点评：本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要留意条件：“一正、二定、三相等”．8．设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．9．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB 的值为（）A． B． C． D．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a ，可得，利用cosB=，可得结论．解答：解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得b2=ac，∵c=2a ，∴，∴cosB===．故选B．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的性质，考查同学的计算力量，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．10．将形如M=m n（m、n∈N*）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M 的m项分划”．例如，将4表示成4=22=1+3，称作“对4的2项分划”，将27表示成27=33=7+9+11，称作“对27的3项分划”．那么对256的16项分划中，最大的数是（）（）A． 19 B． 21 C． 31 D． 39考点：进行简洁的合情推理．专题：推理和证明．分析：首先结合对256的16项分划，可以设第一项为x，然后，求其和为256，得到首项的值为1，从而得到最大项．解答：解：依据“对M的m项分划”的概念，得对256的16项分划为：256=x+（x+2）+（x+4）+…+（x+30），解得 x=1，所以，最大项为31．故选：C．点评：本题重点考查了数列的求和、合情推理等学问，属于中档题．二.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A= 30°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由a ，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a=，b=2，B=45°，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，则A=30°．故答案为：30°点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握正弦定理是解本题的关键．12．若1、a、b、c、9成等比数列，则b= 3 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的定义和性质可得b＞0，且ac=b2=1×9=9，即可求出的值．解答：解：若1、a、b、c、9成等比数列，则b＞0，且ac=b2=1×9=9，∴b=3．故答案为：3．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，推断b＞0，且ac=b2=1×9=9是解题的关键．13．设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9= 24 ．考点：等差数列的性质．分析：先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．解答：解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24点评：本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．14．若m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是1＜m＜3 ．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：设最大边m+2对的钝角为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入表示出cosα，依据cosα小于0求出m的范围，再依据三边关系求出m范围，综上，即可得到满足题意m的范围．解答：解：∵m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，且最大边m+2对的钝角为α，∴由余弦定理得：cosα==＜0，解得：0＜m＜3，∵m+m+1＞m+2，∴m＞1，则实数m的范围是1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3点评：此题考查了余弦定理，以及三角形的三边关系，娴熟把握余弦定理是解本题的关键．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是④⑤（写出全部正确命题的序号）．①cosC＜1﹣cosB；②△ABC的面积为S△ABC=••tanA；③若acosA=ccosC，则△ABC肯定为等腰三角形；④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1；⑤若A=，a=，则b的最大值为2．考点：命题的真假推断与应用．专题：解三角形．分析：①利用正弦定理与两角和的正弦可得sin（B+C）=sinA＜sinA，可推断①；②当A=时，tanA无意义可推断②；③利用正弦定理与二倍角的正弦可推断③；④若A为钝角，利用三角恒等变换可得﹣1＜sinA+cosA＜1，可推断④；⑤利用正弦定理可得b=≤==2，可推断⑤．解答：解：对于①，在△ABC 中，∵cosC＜1﹣cosB，∴bcosC+ccosB＜a，由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB＜sinA，即sin（B+C）=sinA＜sinA，故①错误；对于②，当A=时，tanA无意义，故②错误；对于③，若acosA=ccosC，则sin2A=sin2C，所以A=C或A+C=，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故③错误；对于④，若A为钝角，则A+∈（，），∴sin（A+）∈（﹣，），∴sin（A+）∈（﹣1，1），即（sinA+cosA）∈（﹣1，1），∴△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1，④正确；对于⑤，若A=，a=，则由=得：b=≤==2，即b的最大值为2，故⑤正确．故答案为：④⑤．点评：本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查两角和的正弦与正弦函数的单调性质的综合应用，考查转化思想，是易错题．三.解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）依据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）依据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，依据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）依据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，肯定要娴熟把握公式．17．设命题p ：≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“q⇒p”为真命题，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：先求出关于p，q的不等式，结合“q⇒p”为真命题，从而得到a的范围．解答：解：由≤1，得x＜﹣1或x≥2，∴p：x＜﹣1或x≥2，由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1，因此q：a≤x≤a+1，∵q⇒p．∴{x|a≤x≤a+1}⊆{x|x＜﹣1或x≥2}，∴a+1＜1或a≥2，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S△ABC =4=×2c ×，∴c=5，∴b==．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．19．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再依据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，依据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后依据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n 项和为﹣．点评：此题考查同学机敏运用等比数列的通项公式化简求值，把握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．20．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）依据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，依据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d ，由已知条件可得，解得：，故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以S n =，综上，数列{}的前n项和S n =．点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x ）的最小值为﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=（）f（n），求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若5f（a n）是b n与a n的等差中项，试问数列{b n}中第几项的值最小？求出这个最小值．考点：函数解析式的求解及常用方法；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x ）的最小值为﹣结合二次函数的性质，我们构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函数f（x）的解析式；（2）由已知中T n=（）f（n），依据a n =，我们可以求出n≥2时，数列的通项公式，推断a1=T1=1是否符合所求的通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）依据等差中项的定义，及5f（a n）是b n与a n的等差中项，我们易推断数列{b n}的单调性，进而求出数列{b n}的最小值，及对应的项数．解答：解：（1）由题知：，解得，故f（x）=x2﹣x．…（4分）（2）T n=a1•a2•…•a n =，T n﹣1=a1•a2•…•a n﹣1=（n≥2）∴a n ==（n≥2），又a1=T1=1满足上式．所以a n =．…（9分）（验证a11分）（3）若5f（a n）是b n与a的等差中项，则2×5f（a n）=b n+a n，从而=b n+a n，b n=5a n2﹣6a n =．由于a n =是n的减函数，所以当a n ≥，即n≤3时，b n随n的增大而减小，此时最小值为b3；当a n ＜，即n≥4时，b n随n的增大而增大，此时最小值为b4．又|a3﹣|＜|a4﹣|，所以b3＜b4，即数列{b n}中b3最小，且b3=﹣．…（16分）点评：本题考查的学问点是函数解析式的求解及常用方法，数列的函数特性，等比数列的通项公式，其中娴熟把握数列问题的处理方法，如a n =，等差中项，是解答本题的关键．。

2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

一、选择题1．(0分)[ID：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x=，则输出的y值为（）A．3B．52C．12D．34-2．(0分)[ID：13307]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A．1180sin,242S nn=⨯⨯B．1180sin,182S nn=⨯⨯C ．01360sin ,542S n n =⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯ 3．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆy x a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ）A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元4．(0分)[ID ：13284]下列赋值语句正确的是( )A ．s ＝a ＋1B ．a ＋1＝sC ．s －1＝aD ．s －a ＝15．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A ．261B ．425C ．179D ．5446．(0分)[ID ：13276]在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ）A ．23B ．34C ．25D ．137．(0分)[ID ：13274]执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？8．(0分)[ID ：13258]执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <9．(0分)[ID ：13253]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．(0分)[ID ：13251]设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．(0分)[ID ：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )A ．−0.9B ．0.9C ．3.4D ．4.312．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．813．(0分)[ID ：13237]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球 14．(0分)[ID ：13234]执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次15．(0分)[ID ：13230]有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．72二、填空题⨯⨯的长方16．(0分)[ID：13421]如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．17．(0分)[ID：13412]执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．18．(0分)[ID：13387]下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是____________.19．(0分)[ID：13369]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________20．(0分)[ID：13364]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．21．(0分)[ID：13360]执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________.22．(0分)[ID：13359]某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．23．(0分)[ID：13351]将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.24．(0分)[ID ：13343]使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a =49.4a =，59.4a =，69.3a =79.3a =，89.7a =，99.2a =109.5a =，119.3a =，129.6a =25．(0分)[ID ：13339]父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．三、解答题26．(0分)[ID ：13522]在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？27．(0分)[ID ：13482]高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有5名同学，活动结束后，对所有参加活动的同学进行测评，其中A ，B 两个小组所得分数如下表：A 组86 77 80 94 88 B 组 91 83 ？ 75 93其中B 组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高出1分.（1）若从B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；（2）从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求||8m n -≤的概率.28．(0分)[ID ：13481]某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,...,90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数.29．(0分)[ID ：13480]甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.30．(0分)[ID ：13444]设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.（1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．C4．A5．B6．C7．C8．C9．C10．B11．B12．C13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】先求出最近路线的所有走法共有种再求出不连续向上攀登的次数然后可得概率【详解】最近的行走路线就是不走回头路不重复所以共有种向上攀登共需要3步向右向前共需要4步因为不连续向上攀登所以向17．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|18．1【解析】【分析】因为题目中要去掉一个最高分所以对进行分类讨论然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若去掉一个最高分和一个最低分86分后平均分为不符合题意故最高分为94分去掉一个最高分94分去掉一19．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为420．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考21．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：3722．151020【解析】试题分析：抽取比例为45900=120∴300×120=15200×120=10400×120=2 0抽取人数依次为151020考点：分层抽样23．65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为24．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据25．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横三、解答题26．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=， 不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形， 每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯， 当6n =时， 2.6S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据循环结构的条件，依次运算求解，即得解. 【详解】起始值：5,1,0x y n ===，满足1105<⨯，故：5,0,2x y n ===； 满足0105<⨯，故：7,4,4x y n ===； 满足4107<⨯，故：11,36,6x y n ===； 满足361011<⨯，故：17,144,8x y n ===； 满足1441017<⨯，故：25,400,10x y n ===； 此时：4001025>⨯，满足输出条件：输出425x y += 故选：B 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．7．C解析：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．C解析：C 【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B11．B解析：B 【解析】 【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。