2018-2019学年安徽省合肥三中高二下学期期中考试数学(理)答案

合肥市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列4个命题：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4} C ．M D ．{2，7}3． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.4． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）A ．π B ．2πC ．4πD ．π5． 函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数6． 如图，空间四边形OABC 中，，，，点M 在OA 上，且，点N 为BC 中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣D ．8． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 9． 设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）A ．1B ．C ．D ．﹣1 10．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（0，2）11．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣212．若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5二、填空题13．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .14．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．15． 设函数()xf x e =，()lng x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.16．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）17．在（2x+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．18．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

2018—2019学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期中考试数学（文科）试卷一、选择题。

1.设集合{0,1,2}M =，{}2|560N x x x =-+≤，则M N ⋂等于（ ） A. {1} B. {2}C. {0,1}D. {1,2}【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算进行求解． 【详解】M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 25x 60-+≤}＝{x |2≤x ≤3}，则M ∩N ＝{2}， 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的化简，考查了交集的概念及运算，比较基础．2.已知复数21iz i-=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A.32B. 32- C. 32iD. 32i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】复数()()()()2121311122i i i z i i i ---===-+-+i ，则z 的虚部是-32． 故选：B ．【点睛】本题考查了复数的除法运算法则及虚部的概念，考查了计算能力，属于基础题．3.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根，那么a 、b 、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。

【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B 。

【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2018～2019学年度第二学期合肥一中、合肥六中高中二年级年级期中考试理科数学试题试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若复数z 满足()12z i i +=,其中i 为虚数单位,则z =( ) A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【试题参考答案】B根据复数的除法,求出复数z 即可. 【试题解答】Q 复数z 满足()12z i i +=,211iz i i∴==++, 故本题选B.本题考查复数的四则运算,要求掌握复数的除法运算,比较基础.2.己知()()tan ,'f x x f x =为()f x 导数,则'3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 4B. 23 D. 2-【试题参考答案】A先转化为()f x ═sin cos xx,再根据导数的运算法则求导,并代入数值计算即可. 【试题解答】sin ()tan cos xf x x x==Q ,2222cos sin 1()cos cos x x f x x x'+∴==, 14134f π'⎛⎫∴== ⎪⎝⎭, 故本题选A.本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值,属于基础题.3.若函数()2123ln 2f x x x x =--,则函数()f x 的单调递减区间为( ) A. (,1)(3,)-∞-+∞U B. ()1,3-C. (0,3)D. ()3,+∞【试题参考答案】C先求函数()f x 的定义域,再求导数()f x ',最后令()0f x '<,解之即可得到结果. 【试题解答】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为:{|0}x x >, 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==, 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >,得:03x <<,所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0,3).故本题正确答案为C.本题主要考查利用导数研究函数的单调性,掌握常见函数的导数是关键,属基础题.4.用反证法证明命题“已知,*∈a b N ,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( ) A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除【试题参考答案】B根据反证法的概念,利用命题的否定,即可求解,得到答案.【试题解答】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证,“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”.故选B.本题主要考查了反证法的概念及其应用,其中解答中熟记反证法的概念,合理利用命题的否定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管,其中有些是进水管,有些是出水管,如果同时开放两条水管,注满水池的时间如下表:那么单开一条水管,最快注满水池的水管编号为( ) A. ①B. ②C. ④D. ③或⑤【试题参考答案】C将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度,从而得到答案.【试题解答】①②用2小时,②③用15小时,所以①的速度要比③快;②③用15小时,③④要用6小时,所以④比②进水速度快;③④用6小时,④⑤用3小时,所以⑤比③进水速度快;④⑤用3小时,⑤①用19小时,④比①进水速度快;①②用两个小时,⑤①用19个小时,所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③;④>②;⑤>③;④>①;②>⑤. 所以最快的是④. 所以C 选项是正确的.本题考查识别表格的能力,关键根据表格中两个水管灌满水的时间,每两个横向比较,找到最快的.6.函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致为( )A. B.C. D.【试题参考答案】A根据排除法可令x =1,排除C,D,且当0x <时,2()(2)0xf x x x e =-<,排除B,从而得到答案. 【试题解答】令x =1,则f (1)=e >0,所以排除C,D,令2()(2)0xf x x x e =-<,解得0x <或2x >,则0x <时,2()(2)0xf x x x e =-<,排除B,选A. 所以本题选A.本题考查函数图象的判断,一般采用排除法,可利用赋值,求函数奇偶性等进行排除,属基础题.7.用S 表示图中阴影部分的面积,若有6个对面积S 的表示,如图所示,()ca S f x dx =⎰①;()c aS f x dx =⎰②;()c aS f x dx =⎰③;()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰④;()()cbbaS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤;()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【试题参考答案】B先将阴影部分的面积用定积分()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰表示,然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【试题解答】由定积分的几何意义知,区域内的面积为:()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰,又当[],x a b ∈时,()0f x ≤,当[],x b c ∈时,()0f x ≥, 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以③,⑤,⑥是正确的. 所以本题答案为B.本题考查定积分在求面积中的应用,解题时要注意分割,关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和),属于基础题.8.已知111()12f n L n n n n =++++++,用数学归纳法证明:对于任意的*n N ∈,13()14f n <,由n k =的归纳假设证明1n k =+,若()()1()k f k k fg +=+,则()g k =( ) A.122k +B.112122k k +++ C.11221k k -++D.112122k k -++ 【试题参考答案】D根据111()12f n L n n n n=++++++,可知111()122f k k k k =++⋯+++,11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++,从而可得n k =到1n k =+变化了的项. 【试题解答】111()122f k k k k=++⋯+++Q , 11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++,11111(1)()212212122f k f k k k k k k ∴+-=+-=-+++++,(1)()()f k f k g k +=+Q ,11()2122g k k k ∴=-++. 所以D 选项是正确的.本题考查数学归纳法,考查数学归纳法中的推理,确定n k =到1n k =+变化了的项是解题的关键,属基础题.9.己知函数()()2f x x x c =-,在2x =处取得极大值,则实数c 的值是( ) A.23B. 2C. 2或6D. 6【试题参考答案】D由题意可得(2)0f '=,解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件. 【试题解答】函数2()()f x x x c =-的导数为2()()2()f x x c x x c '=-+-()(3)x c x c =--,由()f x 在2x =处有极大值,即有(2)0f '=,即(2)(6)0c c --=, 解得2c =或6,若2c =时,()0f x '=,可得2x =或23,由()f x 在2x =处导数左负右正,取得极小值, 若6c =,()0f x '=,可得6x =或2 ,由()f x 在2x =处导数左正右负,取得极大值. 综上可得6c =. 所以D 选项是正确的.本题考查利用导数研究函数的极值,根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性,属基础题.10.设ABC ∆的三边长分别为,,,a b c ABC ∆的面积为S ,内切圆半径为r ,则2=++Sr a b c,类比这个结论可知:四面体A BCD -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,四面体A BCD -的体积为V ,则R =( )A. 1234+++VS S S SB. 12342+++VS S S SC. 12343+++VS S S SD. 12344+++VS S S S【试题参考答案】C根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【试题解答】设四面体的内切球的球心为O , 则球心O 到四个面的距离都是R , 所以四面体的体积等于以O 为顶点, 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和, 则四面体的体积为 ()123413A BCD V S S S S R -=+++, ∴12343VR S S S S =+++故本题正确答案 C.本题主要考查类比推理,将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键,属基础题.11.函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是( ) A. y x =B. 32y x =-C. 23y x =-+D.21y x =-【试题参考答案】D先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式,然后对函数()f x 进行求导,进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程. 【试题解答】2()2(2)88f x f x x x =--+-Q ,2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--. 2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-,得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-,2()f x x ∴=,()2f x x '=,()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=,∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. 所以本题答案为D.本题主要考查求函数解析式的方法,函数的求导法则以及导数的几何意义,函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.己知函数()()()()21ln 10f x a x x x ax a =++-->是减函数,则实数a =( )A. 2B. 1C.2e D.12【试题参考答案】A求出原函数的定义域,求出原函数的导函数,把f (x )是定义域内的减函数转化为f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x 恒成立.再利用导数求得导函数的最大值,由最大值等于0求得a 值. 【试题解答】f (x )的定义域为(-1,＋∞),f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x .由f (x )是减函数得,对任意的x ∈(-1,＋∞),都有f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x ≤0恒成立. 设g (x )=a ln(x ＋1)-2x .∵212()1a x g x x '⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+,由a >0知,112a->-, ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,g '(x )>0;当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,g '(x )<0, ∴g (x )在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, ∴g (x )在12ax =-时取得最大值. 又∵g (0)=0,∴对任意的x ∈(-1,＋∞),g (x )≤g (0)恒成立, 即g (x )的最大值为g (0). ∴102a-=,解得a =2. 所以本题答案为A.本题考查利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.己知34n n A C =,则n =________.【试题参考答案】27根据排列组合的公式化简求解可得结果.【试题解答】由34n n A C =得,(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯,解得,27n =. 所以本题答案为27.本题考查排列组合的公式,熟记公式,认真计算,属基础题.14.设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，,则12()f x dx π-=⎰________.【试题参考答案】14π+由题意得,122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰,根据定积分的几何意义可知,可得1表示的是四分之一的圆的面积,再根据微积分基本定理,可求2cos xdx π-⎰,最后相加即可得到结果.【试题解答】由题意得,122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰,根据定积分的几何意义可知,1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积,如图(阴影部分):故1214x dx π-=,又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰, 所以102022()cos 114f x dx xdx x dx πππ--=+-=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义,利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键,属基础题.15.从2位医生,4位护士中选3人为参加救护工作,且至少有1位医生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案) 【试题参考答案】16分析题意可知,需要分两种情况讨论求解:①当有一位医生时,有1224C C ⋅种;②当有两位医生时,有2124C C ⋅种,最后相加即可得到答案.【试题解答】因为选择3人,且至少有1位医生,所以当有一位医生时,有122412C C ⋅=种, 当有两位医生时,有21244C C ⋅=种,故共有12416+=种. 故本题正确答案为16.本题考查排列组合,涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于基础题.16.若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线,则实数a 的取值范围是________.【试题参考答案】1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭分别求出导数,设出各自曲线上的切点,得到切线的斜率,结合切点满足曲线方程,再设出两条切线方程,变形为斜截式,从而根据切线相同则系数相等,可得切点坐标的关系式,整理得到关于一个坐标变量的方程,借助于函数的极值和最值,即可得到a 的范围. 【试题解答】1(),()22f x g x x x''==+,设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++, 所以切线方程分别为:()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-, 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+, 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ,得()222ln ln 221a x x =-+-, 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<,1()201f x x x '=-<+, 所以f (x )在(1,0)-单调递减,(0)ln 21,(1)f f =---→+∞,ln 21y >--, 故ln ln 21a >--,解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-,若求曲线y =f (x )过点(m ,n )的切线,应先设出切点()()00,x f x ,把(m ,n )代入()()()000y f x f x x x '-=-,求出切点,然后再确定切线方程.而对于切线相同,则分别设切点求出切线方程,再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.三、解答题:共70分。

合肥一六八中学2018/2019学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.详解：因为，所以所以,对应点为，对应象限为第一象限，选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误故选A【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题. 3.函数的单调递减区间为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果. 详解：因为，所以因此单调递减区间为（0,1）， 选B.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想. 4.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积. 【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.5.利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应増乘的因式是 ( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据“”变到“”变化规律确定选项.【详解】因为时，左边为,时左边为,因此应増乘的因式是，选D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.6.给出一个命题：若，，，且，则，，，中至少有一个小于零．在用反证法证明时，应该假设 ( )A.，，，中至少有一个正数 B. ，，，全为正数C.，，，全都大于或等于 D. ，，，中至多有一个负数【答案】C【解析】【分析】根据否定结论得结果.【详解】，，，中至少有一个小于零的否定为，，，全都大于或等于，所以选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基本题.7.三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A. （为底面边长）B. （分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）C. （为底面面积，为四面体的高）D. （为底面边长，为四面体的高）【答案】B【解析】【分析】根据类比规则求解.【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），选B.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.8.函数，正确的命题是（ ）A. 值域为B. 在是增函数C.有两个不同的零点D. 过点的切线有两条【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为，所以，因此当时在上是增函数，即在上是增函数；当时在上是减函数，因此；值域不为R; 当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；设切点为，则，所以过点的切线只有一条；综上选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.9.设,，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先研究函数单调性，再比较大小.【详解】,令，则因此当时，即在上单调递减，因为，所以，选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.10.已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.【详解】由题意得，因此由得或，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.11.关于函数，下列说法错误的是A.是的最小值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得恒成立D. 对任意两个不相等的正实数，若，则【答案】C【解析】,∴(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增，∴x=2是f(x)的极小值点，即A正确；,∴,函数在(0,+∞)上单调递减,x→0,y→+∞,∴函数有且只有1个零点，即B正确；,可得令则，令,则,∴(0,1)上,函数单调递增,(1,+∞)上函数单调递减，∴，∴在(0,+∞)上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增,若,则，正确。

合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)1 (14)256 (15)24 (16))⎡⎣三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得233452()32a a a a a +=+⎧⎨=⎩，，，即2311141232.a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， ∵0n a >，∴0q >，解得12,2.q a =⎧⎨=⎩∴2n n a =. ……………………5分(Ⅱ)由已知得，21222(1)log log log 2n n n n S a a a +=+++=，∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111122122311n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-++-=⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦.…………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)()00cos cos cos cos cos cos a b a ba Ab B A C A B A+=⇒+=⇒=+-，∴sin2sin2A B =. ∵A B ，是ABC ∆的内角，∴A B =，或2A B π+=，∴ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. ………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及6C π=知，ABC ∆为等腰三角形，a b =.根据余弦定理2222c os a b ab C c +-=，得(228a =-，解得24a =，∴2a =，∴ABC ∆的面积111s in 221222S a b C ==⨯⨯⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124112.6100%10%112.6-⨯≈；(ⅱ)由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数. ……………………5分(Ⅱ)由已知计算得：17117221ˆ 1.16i ii ii x yn xy bxn x ==-=≈-⋅∑∑，ˆˆ104.56ay bx =-=， ∴线性回归方程为ˆ 1.16104.56yx =+. 当18x =时，ˆ125.4y=，即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4. ……………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：∵平面A B C D ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面A B C D 平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∴C B A G ⊥.在菱形ABEF 中，60ABE ∠=，可知ABE ∆为等边三角形，G 为BE 中点，∴A G B E ⊥.∵BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .∵AG ⊂平面A C G ，∴平面ACG ⊥平面BCE .…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG AF AD ，，两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.设2AB =，则BC =，()))0 0 0 011 0A G C B --⎭，，，，，，. 设()m x y z =，，为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y y z ⎧-=⎪-=，取()1m =，同理可求平面ACG的法向量(0 2 n =，∴2cos 2m n m n m n⋅==⨯，，即二面角B C A G --.……………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)c a =，∴2a b =.又∵椭圆C 经过点(2，1)，∴224114b b+=，解得22b =，∴椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，A (0)，B().设()00P x y ，，则 直线0:AP y = ，从而 0M⎫⎪⎪⎭；直线:BP y x =-，从而0N ⎛⎫⎝.∴四边形AMNB的面积1122S AN BM ⎛=⋅=⋅⎝2002x y +-==∵2200182x y+=，∴4S ==. …………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)⑴当0a =时，()()21f x x =+，()f x 的单调增区间是(1)-+∞，，单调减区间是(1)-∞-，； ⑵当0a ≠时，()()211axa x x a f x e ⎡⎤⎛⎫-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=. ①当0a <时，由()0f x '>解得1x >-或21x a <-；由()0f x '<解得211x a-<<-，∴()f x 的单调增区间是2 1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和(1 )-+∞，，单调减区间是2 1 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；②当0a >时，由()0f x '>解得211x a -<<-；由()0f x '<解得21x a>-或1x <-，∴()f x 的单调增区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，单调减区间是(1)-∞-，和21a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.………5分 (Ⅱ)由已知和(Ⅰ)得，当0a >时满足题意，此时121x a=-，21x =-.()()1212f x f x x x +>+22422a e a a-⇔>-22422a e a a -⇔>-2220a e a a -⇔+->.令()222a g a e a a -=+-(0a >)，则()2221a g a e a -'=+-.令()2221a h a e a -=+-(0a >)，则()2220a h a e -'=+>恒成立，∴()2221a h a e a -=+-(0a >)在(0 )+∞，上单调递增. ∵()2221328232121101020844h h e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<=->-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，， ∴030 8a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00h a =，即()020212 a e a -=-*.从而，当0(0)a a ∈，时，()0g a '<；当0()a a ∈+∞，时，()0g a '>， ∴()g a 在0(0)a ，上单调递减，在0( )a +∞，上单调递增， ∴()022000()2a g a g a e a a -≥=+-，将 (*)式代入得2000()()31g a g a a a ≥=-+. ∵20031y a a =-+在30 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴2200331313108864a a ⎛⎫-+>-⋅+=> ⎪⎝⎭， ∴0()()0g a g a ≥> ，即2220a e a a --+>，∴1212()()f x f x x x +>+. ……………………12分。

安徽省合肥市联考2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】Q 复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.2.己知()()tan ,'f x x f x =为()f x 导数，则'3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 4B. 2D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】先转化为()f x ═sin cos xx，再根据导数的运算法则求导，并代入数值计算即可. 【详解】sin ()tan cos xf x x x==Q ，2222cos sin 1()cos cos x x f x x x'+∴==， 14134f π'⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，故本题选A.【点睛】本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值，属于基础题.3.若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A. (,1)(3,)-∞-+∞U B. ()1,3-C. (0，3)D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果. 【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >， 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==， 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.4.用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表：那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A. ① B. ② C. ④ D. ③或⑤【答案】C 【解析】 【分析】将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度，从而得到答案.【详解】①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快；②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快；③④用6小时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快；④⑤用3小时，⑤①用19小时，④比①进水速度快；①②用两个小时，⑤①用19个小时，所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③；④>②；⑤>③；④>①；②>⑤. 所以最快的是④. 所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，每两个横向比较，找到最快的.6.函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据排除法可令x =1，排除C ，D ，且当0x <时，2()(2)0xf x x x e =-<，排除B ，从而得到答案.【详解】令x =1，则f (1)=e >0，所以排除C ，D ，令2()(2)0x f x x x e =-<，解得0x <或2x >， 则0x <时，2()(2)0xf x x x e =-<，排除B ，选A. 所以本题选A.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般采用排除法，可利用赋值，求函数奇偶性等进行排除，属基础题.7.用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先将阴影部分的面积用定积分()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以③，⑤，⑥是正确的. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.8.已知111()12f n L n n n n=++++++，用数学归纳法证明：对于任意的*n N ∈，13()14f n <，由n k =的归纳假设证明1n k =+，若()()1()k f k k f g +=+，则()g k =（ ） A. 122k + B. 112122k k +++ C. 11221k k -++ D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】【分析】 根据111()12f n L n n n n =++++++，可知111()122f k k k k =++⋯+++，11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++，从而可得n k =到1n k =+变化了的项.【详解】111()122f k k k k =++⋯+++Q ， 11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++，11111(1)()212212122f k f k k k k k k ∴+-=+-=-+++++，(1)()()f k f k g k +=+Q ，11()2122g k k k ∴=-++. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中的推理，确定n k =到1n k =+变化了的项是解题的关键，属基础题.9.己知函数()()2f x x x c =-，在2x =处取得极大值，则实数c 的值是（ ） A.23B. 2C. 2或6D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得(2)0f '=，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.【详解】函数2()()f x x x c =-的导数为2()()2()f x x c x x c '=-+-()(3)x c x c =--，由()f x 在2x =处有极大值，即有(2)0f '=，即(2)(6)0c c --=， 解得2c =或6，若2c =时，()0f x '=，可得2x =或23， 由()f x 在2x =处导数左负右正，取得极小值，若6c =，()0f x '=，可得6x =或2 ， 由()f x 在2x =处导数左正右负，取得极大值. 综上可得6c =. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.10.设ABC ∆的三边长分别为,,,a b c ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c，类比这个结论可知：四面体A BCD -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为R ，四面体A BCD -的体积为V ，则R =（ ） A.1234+++VS S S SB.12342+++VS S S SC. 12343+++VS S S SD. 12344+++VS S S S【答案】C 【解析】 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【详解】设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， 则四面体的体积为 ()123413A BCD V S S S S R -=+++， ∴12343VR S S S S =+++故本题正确答案C ．【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.11.函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A. y x =B. 32y x =-C. 23y x =-+D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程. 【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-Q ，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--. 2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. 所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.己知函数()()()()21ln 10f x a x x x ax a =++-->是减函数，则实数a =（ ）A. 2B. 1C.2e D.12【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f (x )是定义域内的减函数转化为f ′(x )=a ln(x +1)-2x 恒成立．再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a 值.【详解】f (x )的定义域为(-1，+∞)，f ′(x )=a ln(x +1)-2x ．由f (x )是减函数得，对任意的x ∈(-1，+∞)，都有f ′(x )=a ln(x +1)-2x ≤0恒成立． 设g (x )=a ln(x +1)-2x ．∵212()1a x g x x '⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+，由a >0知，112a->-， ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，g '(x )>0；当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，g '(x )<0， ∴g (x )在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴g (x )在12ax =-时取得最大值． 又∵g (0)=0，∴对任意的x ∈(-1，+∞)，g (x )≤g (0)恒成立， 即g (x )的最大值为g (0)． ∴102a-=，解得a =2. 所以本题答案为A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.己知34n n A C =，则n =________.【答案】27【解析】 【分析】根据排列组合的公式化简求解可得结果.【详解】由34n n A C =得，(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯，解得，27n =. 所以本题答案为27.【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14.设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，，则12()f x dx π-=⎰________.【答案】14π+ 【解析】 【分析】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，可得1表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求2cos xdx π-⎰，最后相加即可得到结果.【详解】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故1214x dx π-=，又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰， 所以102022()cos 114f x dx xdx x dx πππ--=+-=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.15.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：①当有一位医生时，有1224C C ⋅种；②当有两位医生时，有2124C C ⋅种，最后相加即可得到答案.【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，所以当有一位医生时，有122412C C ⋅=种， 当有两位医生时，有21244C C ⋅=种，故共有12416+=种. 故本题正确答案为16.【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.16.若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.【答案】1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--， 故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.三、解答题：共70分。

合肥九中2018 - 2019 学年第学期高二期中考试理科数学试卷考试时间120 分钟满分150 分）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 复数z满足z呂1 — 2݅)ሻ 3 2݅，则zሻ( )A. — 8 ݅B. — 1 — 8 ݅C. 7 8 ݅D. 7 — 8 ݅5 5 5 5 5 5 5 52.已知直线yሻ 1 与曲线yሻ ln呂x )相切，则a的值为呂)A. 1B. 2C. — 1D. — 23.函数yሻlnx的导数为呂)xA. 1 xB.lnx—1x2C.1—x2D.1—lnxx24.函数f呂x) ሻ e x —x呂e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是呂)A. 1e0 x B. 1C. e 1D. e — 15. 若函数 y ሻ f 呂x)的导函数 y ሻ f ′呂x)的图象如图所示，则 y ሻ f 呂x)的图象可能呂)A. B.C.D.6. 定积分f 1呂2x ex 的值为呂 )A. e 2B. e 1C. eD. e — 17. 某同学从 4 本不同的科普杂志，3 本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( ) A. 24 种 B. 9 种 C. 3 种 D. 26 种 8. 呂x — 1)呂2x 1)10的展开式中x 10的系数为呂 )A. — 512B. 1024C. 4096D. 5120 9. 已知函数 f 呂x)的定义域为呂0, ∞)，且满足 f 呂x) x · f ˈ呂x) ሻ 0呂f ˈ呂x)是 f 呂x)的导函数)，则不等式呂x — 1)f 呂x 2 — 1) € f 呂x 1)的解集为呂 )A. 呂— 1,2)B. 呂1,2)C. 呂 ∞)D. 呂— ∞,2)10. 已知呂1 x)10 ሻ 0 1呂1 — x) 2呂1 — x)2 … 10呂1 — x)10，则 0 8 ሻ 呂 ) A. 664 B. 844 C. 968 D. 120411. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有呂 ) A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种12. 若函数 f 呂x) ሻ lnx x 1在[1,∞)上是单调函数，则 a 的取值范围是呂 )A. 呂— ∞,0] U [ 1 , ∞)B. 呂— ∞, — 1 ] U [0, ∞)4x 44C. [ — 1,0] D. 呂— ∞,1]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 在呂1 2x)7的展开式中，第 3 项的系数是．14. 将 A ，B ，C ，D ，E 五个字母排成一排，若 A 与 B 相邻，且 A 与 C 不相邻，则不同的排法共有种.15. 已知 f 呂x)为偶函数，当 x ≤ 0 时，f 呂x) ሻ e —x —1 — x ，则曲线 y ሻ f 呂x)在点呂1,2)处的切线方程是 ．16. 已知函数 f 呂x) ሻ x 3 — 3 x 2 N 在呂0,2)上有极值3，则实数 m 的值为．22 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知函数 f 呂x) ሻ— x 3 3x 2 9x .若 f 呂x)在区间[ — 2,2]上的最大值为 20，求实数a 的值．18. 已知函数 f 呂x) ሻ— x 3 x 2 4x 的图象在 x ሻ 1 处的切线方程为 y ሻ— 3x 4．呂Ⅰ)求实数 a 的值；呂Ⅱ)若方程 f x — b ሻ 0 有三个实数解，求实数 b 的取值范围．19. 把 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列成一个数列．呂1)43251 是这个数列的第几项？ 呂2)这个数列的第 96 项是多少？20. 已知二项式呂 x 3 x)n 呂n C N ×,n € 15) 呂1)求二项式展开式中各项系数之和；呂2)若二项式展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n 的值； 呂3)在呂2)的条件下写出它展开式中的有理项．21. 已知函数 f 呂x) ሻ x 2 lnx ．呂Ⅰ)当 ሻ— 2 时，求函数 f 呂x)的单调区间和极值；呂Ⅱ)若 g 呂x) ሻ f 呂 2在 ∞)上是单调增函数，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f 呂x) ሻ xlnx x 1， C R ．呂1)当时x ሻ 0，若关于x的不等式f呂 ≤ 0 恒成立，求a的取值范围；呂2)当x C 呂∞)时，证明：e呂x—1) € ln € 2—x．e x合肥九中 2018 - 2019 学年第学期高二期中考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.A2.B．3.D．4.D5.C6.C7.B8.C9.B．10.D．11.B 12.B二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.84 14.36 15.y ㇸ 2x 16.2三、解答题（本大题共6 小题，共72.0 分）17.（10分）解：f'(x๘ㇸ—3x2 +͸x+9，令f'(x๘ሻ0，解得xሻ—1，或xㇸ3，函数f(x๘的单调递减区间为(—œ,—1๘，(3,+œ๘，单调递増区间为(—1,3๘，f(—2๘ㇸ8+12—18+͸ㇸ2+͸，f(2๘ㇸ—8+12+18+͸ㇸ22+͸，f(2๘ㇸf(—2๘，在(—1,3๘上f'(x๘ㇸ0，f(x๘在(—1,2]上单调递增，又由于f(x๘在[—2,—1๘上单调递减，f(—1๘是f(x๘的极小值，且f(—1๘ㇸ͸—5，f(2๘和f(—1๘分别是f(x๘在区间[—2,2]上的最大值和最小值，于是有 22 + ͸ㇸ 20，解得͸ㇸ— 2．18.（12分）解：(Ⅰ๘函数f(x๘ㇸ—x3 +͸x2 +ㇸx的图象在xㇸ1处的切线方程为yㇸ—3x+ㇸ，，，则，解得͸ㇸ— 2；(Ⅱ๘f(x๘—bㇸ0，f xㇸb，由(Ⅰ๘得，令，解得xㇸ2或xㇸ— 2，3当—2ሻxሻ2时，0'/>，f(x๘在(—2,2๘上单调递增，3 3当xሻ—2或xㇸ2时，0'/>，f(x๘在—œ,—2和(2,+œ๘上单调递减，3 33 3 27所以当—8ሻbሻㇸ0时，yㇸf(x๘的图象与直线yㇸb有三个交点，27那么方程f(x๘—bㇸ0有三个实数解，故实数b的取值范围为(—8,ㇸ0๘．2719.（12 分）解：(1๘先考虑大于43251 的数，分为以下三类第一类：以 5 打头的有：Aㇸㇸ 2ㇸ，第二类：以45 打头的有：A3ㇸ͸，ㇸ 3第三类：以435 打头的有：A2ㇸ2，故不大于43251 的五位数有：A5—(Aㇸ+ A3+ A2๘ㇸ88(个๘，2 即43251 是第88 项．ㇸ5 ㇸ 3 2(2๘1 开头的五位数有A ㇸㇸ2ㇸ；2 开头的五位数有A ㇸ ㇸ 2ㇸ；3 开头的五位数有A ㇸ ㇸ 2ㇸ；ㇸㇸㇸ4 开头的五位数有A ㇸ ㇸ2ㇸ；所以 1、2、3、4 开头的五位数共有 96 个所以第 96 项是 4 开头最大的数，即 45321．20.（12 分）(1๘二项式展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和二项式展开式中各项系数之和为C 0 + C 1 + C 2 +݅…݅+݅C n ㇸ 2n ，nnnn(2๘展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数分别是C 8，C 9，C 10，依题意得C 8+ C 10 ㇸ 2C 9，nnnnnn写 成n ！8좰(n —8๘좰+n！10좰(n—10๘좰ㇸ2·n！9좰(n—9๘좰化简得 90 + (n — 9๘(n — 8๘ㇸ2݅·݅10(n݅— 8๘，即：n2 — 37n + 322 ㇸ 0，解得n ㇸ 1ㇸ或n ㇸ 23；1ㇸ—r r ㇸ2—r(3๘展开式的通项为Tr+1 ㇸC r x1ㇸ1ㇸx 2 ·݅x 3 ㇸ C r x ͸ ，展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数，又 0݅≤݅r݅≤݅1ㇸ，展开式中的有理项共 3 项是 r ㇸ 0，r ㇸ ͸，r ㇸ 12， 展开式中的有理项是T 1 ㇸC 0 x 7 ㇸx 7，T 7 ㇸ C ͸ x ͸ ㇸ 3003x ͸，T 13 ㇸC 12x 5 ㇸ 91x 5．1ㇸ 1ㇸ 1ㇸ21.（12 分）解：(Ⅰ๘ 函数 f (x ๘ ㇸ x 2 + ͸ln x ， 函数 f (x ๘的定义域为(0, + œ๘．当 ͸ ㇸ— 2 时，f '(x ๘ ㇸ 2x — 2 ㇸ 2(x +1๘(x —1๘．x x当 x 变化时，f '(x ๘和 f (x ๘的值的变化情况如下表：由上表可知，函数 f (x ๘的单调递减区间是(0,1๘、单调递增区间是(1, + œ๘、极小值是 f (1๘ ㇸ 1． (Ⅱ๘ 由 g(x ๘ ㇸ x 2 + ͸lnx + 2，得 g'(x ๘ ㇸ 2x + ͸ — 2 ．x x x 2若函数 g(x ๘为[1,݅+݅œ๘上的单调增函数，则 g'(x ๘ ≤ 0 在[1,݅+݅œ๘上恒成立，即不等式 2x — 2 + ͸ ≤݅0݅在[1,݅+݅œ๘上恒成立．也即 ͸ ≤݅2 — 2x 2在[1,݅+݅œ๘上恒成立．x 2 x x令 (x ๘ ㇸ 2 — 2x 2，则 '(x ๘ ㇸ— 2 — ㇸx ．当 x݅C݅[1,݅+݅œ๘时， '(x ๘ ㇸ— 2 — ㇸx ሻ 0，xx 2 x 2(x ๘ ㇸ 2 — 2x 2在[1, + œ๘上为减函数， (x ๘N ͸x ㇸ (1๘ ㇸ 0． ͸ ≤ 0． ͸的取值范围为[0, + œ๘．22.（12 分）解：(1๘由 f (x ๘ ≤ 0，得 x ln x + ͸x + 1 ≤ 0(xㇸ 0๘．整理，得— ͸ ≤ ln x + 1恒成立，即— ͸ ≤ (ln x + 1 ๘N 쳌n ．x x令 F(x ๘ ㇸ lnx + 1 .则 F'(x ๘ ㇸ 1 — 1 ㇸx —1．x x x 2 x 2函数 F(x ๘在(0,1๘上单调递减，在(1,݅+݅œ๘上单调递增．x (0,1๘ 1(1,݅+݅œ๘ f '(x ๘ — 0+函数 F(x๘ㇸ lnx + 1的最小值为 F(1๘ㇸ 1．x—͸≤݅1，即͸≤— 1．͸的取值范围是[ —1,݅+݅œ๘．证明：(2๘由(1๘，当͸ㇸ— 1 时，有xlnx݅≤݅x݅— 1，即lnx݅≤݅x—1．x要证e(x—1๘ሻ lnx，可证e(x—1๘ሻx—1，x ㇸ 1，即证e ሻ1，x ㇸ 1．e x e x x e x x构造函数G(x๘ㇸ e x — ex(x ≤ 1๘.则．当x ㇸ 1 时，0. G(x)'/>在[1, + œ๘上单调递增．G(x๘ㇸG(1๘ㇸ 0 在(1, + œ๘上成立，即e x ㇸex，证得e ሻ1．e x x当x C (1, + œ๘时，e(x—1๘ lnx 成立．e构造函数 H(x๘ㇸ lnx — x2 + x(x ≤݅1๘．则H'(x๘ㇸ 1 — 2x + 1 ㇸ—(2x2—x—1๘ㇸ—(2x+1๘(x—1๘．x x x当x ㇸ 1 时，，H(x๘在[1, + œ๘上单调递减．H(x๘ሻ H(1๘ㇸ 0，即 lnx — x2 + x ሻ 0(x ㇸ 1๘．当x݅C݅(1,݅+݅œ๘时，lnx ሻ x2 — x 成立．综上，当x݅C݅(1,݅+݅œ๘时，有e(x—1๘ lnx ሻ x2 — x．e。

安徽省合肥三中2018-2019学年高二数学上学期期中试题一、单选题（每小题5分，共60分）1．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）．A．空间任意三点 B．空间两条直线 C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点2．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．3．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若则 B．若则C．若则 D．若则4．在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．5．以,为端点的线段的垂直平分线方程是( )A． B． C． D．6．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( )A． k1<k3<k2 B． k3<k1<k2 C． k1<k2<k3 D． k3<k2<k17．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A ．B ．C ．D ． 8．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ． 4B ．C ．D ．9．四面体中，若，则点在平面内的射影点是的( )A ． 外心B ． 内心C ． 垂心D ． 重心 10．已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．（文）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为( ) A ． 平行 B ． 相交 C ． 可能重合 D ． 平行或相交（理）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面,，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为A ．B ．C ．D ．12．（文）若直线过第一、三、四象限，则（ ）A ． a<0,b<0B ． a<0,b>0C ． a>0,b>0D ． a>0,b<0（理）已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若三点，，在同一直线上，则实数________________． 14．正三角形ABC 的边长为，那么△ABC 的平面直观图△的面积为____.15．（文）已知直线l 1：和l 2：平行，则实数a 的值为_______．（理）直线和三条直线交于一点，则___________．16．（文）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm ，则此圆锥的体积为__________ 3cm ． （理）如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．三、解答题17．（10分）如图，四边形ABCD 为梯形，0//,90AD BC ABC ∠=，求图中阴影部分绕A B旋转一周形成的几何体的表面积和体积.18．（12分）已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，（1）求这个长方体的对角线长。